分式运算典型例题精解2

分式性质及运算

【基础精讲】 一、分式的概念

1、正确理解分式的概念： 【例1】有理式（1）

3xy11x2xy

； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）

3x－1x2xy

1



中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.

2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x为 时，分式错解：x3时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。

x2有意义．

x2x3例如 当x____

时，分式错解：由分母

，得

有意义？

3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．

x1x1x21

当x 时，分式有意义．当x 时，分式无意义．当x 时，分式值为0．

x－1x－1x－1

二、分式的基本性质：

1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程

基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：

①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M≠0．

③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）．

④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：

①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分

式的值不变．

②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是（ ）．

ababababaaabab

; B C D

ababccbcbcabab

5x

【例4】 如果把分式中的x,y都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．

2xy

AA.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变 2、约分

约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.

bababa2b2

【例5】（1）化简2的结果为（ ）A． B． C． D．b

aaaaab（2）化简

xxyyxy2y

的结果（）A．B．C．D．

x2 x2 x2 x2x24x4

x26x9x3x3x29x29

（3）化简的结果是（）A．B． C．D．

2x62 222

3、通分

通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：

（1）注意运算顺序．例如，计算计算的法则进行．错解：原式

11a

，应按照同一级运算从左到存依次(3a)

1a3a

11 (1a)21a(1a)

（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算

x

x1，出现了这样的解题错误：原式x1

=xx11．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆； （3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式．

2、分式的乘除

注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；

(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；

(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减

1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：

运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同； ③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简． 4、分式的混合运算

注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.

a241x2

a2x2； 【例6】计算：（1）； （2）a2a2x2x42x1（3）1 （4）已知113，则代数式2x14xy2y的值 2

xx2x2xxyx2xyy

【分类解析】

一、分式运算的几种技巧

1、先约分后通分技巧例1 计算x23x2+x24

分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算

x(x2)x1x解：原式=(x1)(x2)+(x2)(x2)=x2+x2=x2 221

2、分离整数技巧例2 计算x23x2-x25x6-x24x3

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

(x23x2)1

解：原式=

(x25x6)1

-

x23x2x25x6

-x24x3

111

=1+x23x2-1-x25x6-x24x3

=(x1)(x2)-(x2)(x3)-(x1)(x3)

x3(x1)(x2)=(x1)(x2)(x3)=(x1)(x2)(x3)=-(x1)(x2)(x3)

3、裂项相消技巧例3 计算x(x1)+(x1)(x3)+(x3)(x6) 11

分析：此类题可利用n(nm)=m（n-m）裂项相消计算。 111311解：原式=（x-x1）+2（x1-x3）+3（x3-x6）

61=x-x6=x(x6)

2114、分组计算技巧例4 计算a2+a1-a1-a2

分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a-4，第二项、第三项分母乘积为a-1，采取分组计算简捷。

2

2

解：原式=（a2-a2）+（a1-a1）

4=a24+a21=(a24)(a21)

1

5、变形技巧例5 已知x-3x+1=0，求x+x2的值。

2

2

1

分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+x，然后利用完全平方公式的逆用可求出

x+x2的值。

2

解：由x-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得

2

11x-3+x=0，即x+x=3

22

所以x+x2=（x+x）-2=3-2=7

2

二、分式求值中的整体思想

例1 若分式

112

的值为，则的值为（ ）

44y26y12y23y7

11 D、

57122

解：由已知=得2y+3y+7=8 2

2y3y74

1122

2y+3y=1，4y+6y=2所以==1，故选A。

4y26y121

A、1 B、-1 C、-例2 已知

114a3ab4b+=4，则= 。 ab3a2ab3b

分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。

解：由已知得

ab

=4 ∴a+b=4ab ab

194a3ab4b44ab3ab4(ab)3ab

===-

3a2ab3b3(ab)2ab34ab2ab10

点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到

441134()3baab= 33112()2baab

然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。

a2

例3 已知a-3a+1=0，求4的值。

a1

2

解：由已知a-3a+1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a得a-3+

2

11=0，∴a+=3 aa

121a4121a22

所以=a+=（a+）-2=3-2=7∴=

aa2a2a417

点评：①所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。

112

=（a±）2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。 2

aa

111111111abc

例4 已知+=，+=，+=，求的值。

ab6bc9ac15abacbc

②a±

2

分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到

1

，只要将已知式变换出

111abc

111

++即可。 abc

解：因为

2（∴

111111111+=①，+=②，+=③，将①、②、③左、右分别相加，得 ab6bc9ac15111111++）=++ abc6915

11131180abc1++= 所以==

111abc18031abacbc

cba

（

例5 有一道题：“先化简再求值：

x12x1

2)2，其中x=

x1x1x1

小明做题时把“x=

你通过计算解释这是怎么回事？

解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.

x12x1(x1)22x（2)2(x21)(x1)22xx21. x1x1x1(x1)(x1)

因为当x2008和x

2008时, x21的值都是2009,所以小明把

“x=

,计算结果也是正确的.

例6 已知x-3x+1=0，求x+x2的值。

2

2

分析：将已知两边同除以x（x≠0）可变出x+x，然后利用完全平方公式的逆用可求出

x+x2的值。

2

解：由x-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得

2

111222

x-3+x=0，即x+x=3所以x+x2=（x+x）-2=3-2=7

三、分式运算新型题

例2 请利用

1m3

和2这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分m3m3m9

式的商减去第三个分式的差,并化简.

解析:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选

取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.

如,

3m113m3

÷-= 

m3m29m3m3(m3)(m3)m

133m1,等等. ==

m(m3)m3m(m3)m

温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的. 例3 先化简代数式

12a

,然后选取一个合适的a值,代入求值. ÷2．．a4a2a2

解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的a的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.

原式=

a(a2)2(a2)

(a24)=a(a2)2(a2)a24.

(a2)(a2)

由题意知,a的值不能取2和-2,所以当a=0时,原式=4.

温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.

一、开放性问题

例1在下列三个不为零的式子 x24,x22x,x24x4中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .

分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.

解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.

x2x24x2

,,（1）2；（2）2; xx2x2xx4x4xx22xx,,（3）2； （4）2; x2x2x4x4x4x24x4x2x24x4x2,,（5）;(6) .

xx2x22xx24

x24

x22x

说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.

二、探索运算程序

例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）

A．m B．m

2

C．m+1 D．m-1

分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.

mm1m2m

2=m-1+2=m+1，故2，化简：原式= 解：计算程序可表示为：

mm

选C.

说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案. 三、自选数值求解 例3化简1



x1

，并选择你最喜欢的数代入求值． 2

x1xx

分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.

解：原式

1x(x1)x1x1

x，当x=2时，原式=-2.

1x1x(x1)x1

说明：这里的x不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了. 四、运算说理题

x24x4x22x1

1的值”时，例4在解题目：“当x1949时，求代数式

x24x2x

聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请

说明理由．

分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.

解：聪聪说的有理．

11x24x4x22x1(x2)2x21

11 1 1xxx24x2x(x2)(x2)x(x2)x

∴只要使原式有意义，无论x取何值，原式的值都相同，为常数1．

说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

11

1 122111

 2323

111

 3434

┅┅

(1) 计算

11111 ． 1223344556

（2）探究示）

（3）若 解：（1）

1111...... ．（用含有n的式子表122334n(n1)

171111......的值为，求n的值．

35133557(2n1)(2n1)

5n

（2） 6n11111......（3） 133557(2n1)(2n1)

[1**********]

) (1)()()+ ┄ +(

22n12n123235257

11n

)==(1

22n12n1n17由= 解得n17 2n135

=

经检验n17是方程的根，∴n17

【精练】计算：

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.

【解】

=

=

=

1．顺次相加法例1

：计算：

【分析】本题的解法与例1完全一样.

【解】=

=

=

2．整体通分法【例2

】计算：

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.

【解】=

=.

3．化简后通分

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．

4．巧用拆项法

例4

计算：.

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连

续整数的积（若a

是整数），联想到，这样可抵消一些项.

解：原式=

=

=

5．分组运算法

=

例5

：计算：

分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.

解：

=

=

=

=

=

【错题警示】

一、 错用分式的基本性质

例1

化简

错解：原式

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、 错在颠倒运算顺序

例2

计算

错解：原式出现错误.

分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果

正解：原式三、错在约分

例1 当

为何值时，分式

有意义？

[错解]

原式由

得

.

.

∴

时，分式有意义.

，扩大了未

[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、

分母的公因式知数的取值范围，而导致错误.

[正解]

由

得

且.

∴当

且

，分式四、错在以偏概全

有意义.

例2

为何值时，分式

，得，原分式有意义.

.

有意义？

[错解]

当

∴当

[解析]

上述解法中只考虑

的错误.

[正解

]

，得

的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全

，

由

∴当

且

，得.

时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3

计算[错解]

原式=

.

.

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

[正解]

原式

.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当

为何值时，分式[错解]

由

∴当

[解析]当

或

，得

.

的值为零.

时，原分式的值为零. 时，分式的分母

，分式无意义，谈不上有值存在，出错

的原因是忽视了分母不能为零的条件.

[正解]

由由

由

∴当

，得

，得

且

.

.

时，原分式的值为零.

类型一：分式及其基本性质

1．当

x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A.

B.

C. D.

2

．若分式的值等于零，则x＝_______；

3．求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．±１

（2）当x________时，分式没有意义． 【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

A

． B

． C

．

(一) 通分约分

4．化简分式:

【变式

1】顺次相加法 计算：【变式2】整体通分法

计算：（二）裂项或拆项或分组运算

5．巧用裂项法

计算：

【变式1】分组通分法 计算：

【变式

2】巧用拆项法

计算：

类型三：条件分式求值的常用技巧

6．参数法

已知【变式1】整体代入法

已知

，求

，求

的值．

的值.

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法． 已知：，求的值．

【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．

已知：

，求的值．

解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧． （一）与异分母相关的分式方程 7．解方程

=

【变式1】换元法 解方程：（二）与同分母相关的分式方程 8．解方程

11x

3 x22x

x3

2 x3x3

x81x5

8

【变式2】解方程1 【变式1】解方程

x2x552x

9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？

【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？

【变式2】 A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．

bcbc【主要公式】1.同分母加减法则:a0

aaa

bdbcdabcda

2.异分母加减法则:a0,c0;

acacacac

bdbdbcbdbd

3.分式的乘法与除法:,

acacadacac

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a

m

●

an =am+n; am÷ an =am－n

m

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)= a b, (a)

7.负指数幂: a

-p

mn m

n

= a

mn

=

1ap

a=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a

2

- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1

x1abx2y2xy

【例1】下列代数式中：,xy,，是分式的有： ,,

2abxyxy

.

【例2】当x有何值时，下列分式有意义 （1）

1x43x26x

（2）2 （3）2 （4） （5）

1x4|x|3x2x1xx

题型二：考查分式有意义的条件

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0. x1

（1）

x3

（2）

|x|2x4

2

（3）

x22x3x5x6

2

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式

（2）当x为何值时，分式（3）当x为何值时，分式

练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义： （1）

1

6|x|3

4

为正； 8x

5x3(x1)2

为负；

x2

为非负数. x3

（2）

3x(x1)21

（3）

111

x

2．当x为何值时，下列分式的值为零：

5|x1|（1）

x4

（2）

25x2x26x5

3．解下列不等式 （1）

|x|2

0 x1

（2）

x5x2x3

2

0

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：

AAMAM



BBMBMaaaa

 bbbb

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. 12

xy

（1）11xy34

0.2a0.03b

0.04ab

（2）

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）

xy

xy

a

ab

a b

（2）（3）

题型三：化简求值题

【例3】已知：

112x3xy2y

的值. 5，求

xyx2xyy

11

. xy

提示：整体代入，①xy3xy，②转化出【例4】已知：x

11

2，求x22的值. xx

【例5】若|xy1|(2x3)20，求练习：

1

的值.

4x2y

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

0.03x0.2y

0.08x0.5y

30.4ab

（2）11ab410

x21

2．已知：x3，求4的值.

xxx21

3．已知：

112a3ab2b

的值. 3，求

abbaba

2ab

的值.

3a5b

4．若a22ab26b100，求5．如果1x2，试化简

|x2|x1|x|

. 

2x|x1|x

（三）分式的运算

题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.

（1）（3）

abcba

,； （2）； ,2,

ab2b2a2ab3ac5b2c

1

x2x12xx2x2x2

,

x

,

2

； （4）a2,

1

2a

题型二：约分【例2】约分：

（1）

16x2y20xy3

x2x2n2m2

；（3）；（3）2.

mnxx6

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

a2b3c22bc4

（1）()()()；

cabam2nn2m

（3）； nmmnnm

3a33yx2

)(x2y2)()； （2）(

xyyx

a2

（4）a1；

a1

112x4x38x7

（5）； 1x1x1x21x41x8

（6）

111

； 

(x1)(x1)(x1)(x3)(x3)(x5)

x24

1x22x)() （7）(2

x1x4x4x2

题型四：化简求值题【例4】先化简后求值

x2411[(1)()]的值； （1）已知：x1，求分子12

4x2xx4

8

（2）已知：

xy2yz3xzxyz

的值； ，求2

234xy2z2

（3）已知：a23a10，试求(a2题型五：求待定字母的值【例5】若练习：1．计算

2a5a12a3

（1）； 

2(a1)2(a1)2(a1)

13xx21

1)(a)的值. 2aa

MN

，试求M,N的值. 

x1x1

1



a2b22ab

（2）； 

abba

abca2b3cb2c

（3）； 

abcbcacab

2b2

（4）ab；

ab

（5）(ab（7）

4ab4ab

)(ab)； abab

（6）

112

； 

1x1x1x2

121

. 

(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)

2．先化简后求值

a1a241

22（1），其中a满足a2a0. a2a2a1a1

x2y2xy3x

)[(xy)()]2的值. （2）已知x:y2:3，求(

xyxy

3．已知：

5x4AB

，试求A、B的值. 

(x1)(2x1)x12x1

399a805

的值是整数，并求出这个整数值.

a2

4．当a为何整数时，代数式

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）(a2)3(bc1)3 （3）[

(ab)3(ab)5(ab)

2

4

（2）(3x3y2z1)2(5xy2z3)2 （4）[(xy)3(xy)2]2(xy)6

(ab)

]2

题型二：化简求值题

【例2】已知xx15，求（1）x2x2的值；（2）求x4x4的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）(3103)(8.2102)2；（2）(4103)2(2102)3. 1111练习：1．计算：（1）()()2||(1)0(0.25)200742008

3553

（2）(3mn)

1322

(mn)（3）

23

(2ab2)2(a2b)2(3a3b2)(ab3)2

（4）

[4(xy)2(xy)2]2[2(xy)1(xy)]2

2．已知x25x10，求（1）xx1，（2）x2x2的值.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

13215xx5x14

；（2）（3）（4） 0；21；x1xx3xx34xx1x1

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程（1）提示：（1）换元法，设【例3】解下列方程组 111xy2

111yz3111zx4

(1)(2) (3)

x4x4x7x9x10x6

4； （2）

x1xx6x8x9x5

xx71y；1（2）裂项法，. x1x6x6

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x的分式方程【例5】若分式方程提示：x

2m

有增根，求m的值. 1

x3x3

2xa

1的解是正数，求a的取值范围. x2

2a

0且x2，a2且a4. 3

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x的方程

xac

(cd0) bxd

提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）cd0. 题型五：列分式方程解应用题

练习：1．解下列方程： （1）（4）（7）

x12xx42x3

（2）；（3）0；22；

x112xx3x3x2x2

7x2x



3xx2

1

7x2x21

（5）

5x42x51

 2x43x22

6）

1111



x1x5x2x4

xx9x1x8



x2x7x1x6

1121a1b(b2a)；（2）(ab). axbaxbx

2．解关于x的方程：（1）3．如果解关于x的方程

kx2会产生增根，求k的值. x2x2

4．当k为何值时，关于x的方程5．已知关于x的分式方程

x3k

1的解为非负数. x2(x1)(x2)

2a1

a无解，试求a的值. x1

（二）分式方程的特殊解法

一、交叉相乘法例1．解方程：二、化归法例2．解方程：

1x

3

x2

1220 x1x1

x81

8 x77x

三、左边通分法例3：解方程：

(ab)

四、分子对等法例4．解方程：五、观察比较法例5．解方程：六、分离常数法例6．解方程：七、分组通分法例7．解方程：

例1．若分式方程

1aa1bxbx

4x5x217



5x24x4x1x8x2x7



x2x9x3x8

1111



x2x5x3x4

x1m

无解，求m的值。 

x22x

xk2x2例2．若关于x的方程不会产生增根，求k的值。 x1x1x1

例3．若关于x分式方程例4．若关于x的方程

1k3

有增根，求k的值。 2

x2x2x41

k5xx

2

xx

1



k1x1

2

有增根x1，求k的值。

分式求值问题全解

1. 字母代入法

例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求

abcd

的值. adabcbcdad

【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3

所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简

abcd

 adabcbcdad

=

aa1a2a3



aa3aa1a2a1a2a3aa3aa1a2a3

 2a33a33a62a3

=

=

aa3a1a2



2a33(a1)3(a2)

=1 =

11 33

5 3

【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。 2. 设值代入法

xyzxyyzzxx2

 例2. 已知，求证：

abcabbccaa2

bc

x，zx，代入后分式的分

aa

xyz

子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、、连等，让它

abc

【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到y们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck

xyyzzxakbkbkckckak

=

abbccaabbcca

abbcca2

k =

abbcca

代入得

x2

=k2

a

2

【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设

xyz abc

bcx，zx

aa

则（1）y （2）设

xyz

k 则x=ak y=bk z=ck abcxyzxyz

k 其中abc0 （3）设k 则

abcabc

3. 整式代入法 例3. 已知：

112a3ab2b

3，求分式的值. abaabb

【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式，得

ba2(ab)3ab

3，再将分式稍化简变为，可以发ab(ab)ab

现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a ba3ab

2a3ab2b2(ab)3ab6ab3ab3



aabb(ab)ab3abab4

【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。 4. 变形代入法

这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。 例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求

abbcca

的值. 2

b

【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组

a+b+c=0 ==>a+2b+3c=0 a=c 用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来

abbcca2c22c2c23

=

b244c2

2a2ab6b2

例5（非负变形）. 已知：ab8a6b250，求2的值.

a4ab4b2

2

2

【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式

a2b28a6b25(a4)2(b3)20

其中(a4)0 (b3)0 所以(a4)=0 (b3)=0 得a4,b3

再带入原式很容易求出解。

2

2

2

2

例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则

111

0. 222222222

bcacababc

【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c代替a，但是代数式a的符号和位置在三个分式中不同，如果用a2(bc)2代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如： 用a=-b-c代入bca中的a，得到-2bc 用b=-a-c代入cab中的b，得到-2ac 用c=-a-b代入abc中的c，得到-2ab 原式=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

111abc

0 2bc2ac2ab2abc

例7（倒数变形）. 已知

2abcxyxzyz

a,b,c,且abc0.求证x

bcacabxyxzyz

【解析】已知条件是成

xyxy

a改写的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将

xyxy

1xy11

的形式，使得x、y相互独立，简化已知条件。 axyxy

111111111

写出变化后的形式，，

axybxzcyz

11111112()() cyzxyxzx

= 所以

112

 abx

2111 xabc

bcacab

abc2abc

则x，得证。

bcacab

=例8（归类变形）. 已知a

111

bc，且a、b、c互不相等，求证：a2b2c21 bca

【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数

式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：

ab

11bc，可以发现分式形式大致消失了， cbbc

剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc 将能从已知条件得到的关系列出来

ab

bccaab

,bc,ca bcacab

(bc)(ca)(ab)

，

a2b2c2

左边和左边相乘，右边和右边相乘得

(ab)(bc)(ca)

所以abc1

2

2

2

【结论】给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：

消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简 化简 结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简 代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。 【练习】

abc2a23bcb2

1、已知,则2 的值等于（ ） （设值代入） 2

234a2abc12319A． B. C. D.

235242b32b

)(1)的值等于（ ） （整式代入） 2、若a+b=3ab,则(1+3

ab3ab

12A． B. 0 C. 1 D.

23

111

3、已知：a+b+c=0,abc=8.求证：＜0. （非负变形）

abc

2

2

4、已知：a+b+c=0.

求证：a

111111

bc30. （代数式归类变形） bcacab

5、已知abc=1，求证：

复习引入：

abc

1（对应变形）

aba1bcb1acc1

1.计算：27÷23=_____，a9÷a4=_____；

（由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）

2.思考：22÷25=______；a2÷a4=_____；

在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题

22

113

a、

a322

p

二．学习新课：整数指数幂及其运算 1．负整数指数幂的概念：a



n

1

（a≠0，p是自然数） ap

2．整数指数幂：当a≠0时，a就是整数指数幂，n可以是正整数、负整数和零 将下列各式写成只含正整数指数幂的形式：

102

115

x、

x5102

2

变式训练1：(10)变式训练2：()



115

(x1)、 25

(10)(x1)

3

2

1



22272、()() 372

通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出

ab

()p()p ba

判断正误：

①2701②(2)24③(50)11

7x2

29⑤()234④7x2

例题讲解：

例题1 计算：（1）2÷2；（2）10÷10；（3）5÷5。 例题2 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：

6

8

101

104

12

12

1

50

(1) x；(2) ab；(3) 2(x+2y)； 例题3计算：（1）a÷a·a；（2）(-a)÷a； 3．整数指数幂的运算性质：

举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：

2

3

3

5

-3-34-2

①2225225

（5）

那么 222522

3232

（2）（2）（2）

②（23）23 （2）2

4那么 （23）24343（3）（22）22

4443232

归纳整数指数幂的运算性质：

（1）同底数幂的乘法性质：aa=a;（2）积的乘方性质：(ab)=ab; （3）幂的乘方性质：(a)=a;（上述性质中a、b都不为0，m、n都为整数） 例题4计算：（1）x·x；（2）(2)；（3）10÷3； 一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列计算正确的是( )

A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.32=－9

－

-5

2

-2

3

-3

mn

mnm

n

m+n

m

m

m

2.填空:(1)a·a5=________;(2)a0·a3=________;(3)a1·a2=________;(4)am·an=___________.

－

－

－

3.填空:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a2=____________;(3)a1÷a3=;(4)am÷an=_________.

－

－

－

4.某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.下列计算正确的是( )

1－1－－

)+(－π+3.14)0=－2 D.a+a2=a1 3

a－－－－

2.(1)(a1)2=_________(a≠0)；(2)(a2b)2=________(ab≠0)；(3)()1=________(ab≠0).

b

A.(a2)3=a5 B.(a2)3=a5 C.(

－

－

－

3.填空:(1)52=_____________；(2)(3a1b)1=_______________(ab≠0).

－

－

－

4.计算:(1)(

b－2a2x－－－－－

)·(); (2)(－3)5÷33. (3)a2b2·(ab1); (4)()2·(xy)2÷(x1y). aby

6.我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算当

水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示) 三、课后巩固(30分钟训练)

1.据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( )

A.2.5×103 B.2.5×104 C.2.5×10

－

－

－5

D.－2.5×104

－

2.下面的计算不正确的是( )

A.a10÷a9=a B.b6·b4=

－

1

C.(－bc)4÷(－bc)2=－b2c2 D.b5+b5=2b5 2b

x240

3.要使()有意义,则x满足条件_______________.

x21－－－－－－－

4.(1)()p=___;(2)x2·x3÷x3=_____;(3)(a3b2)3=;___(4)(a2b3)2=____.

a

5若x、y互为相反数，则(5x)2·(52)y=____________________. 6.计算:(

3－2222－2

)－(3)0+()·(). 222

－

－

7.计算:(9×103)×(5×102).

8.计算:(1)5x2y2·3x3y2; (2)6xy2z÷(－3x3y3z1).

－

－

－

－

－

－

9.已知m－m1=3,求m2+m

－

－2

的值.

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列计算正确的是( )

A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.32=－9

－

解析：A:任何一个非零数的零次幂都等于1，故A错； C:－2－(－3)=－2+3=1，故C错； D:32=

－

11

，故D错.答案:B 329

－

－

2.答案:(1)a6 (2)a3 (3)a3 (4)am+n

3.填空:(1)a÷a4=__________;(2)a0÷a2=_____________;(3)a1÷a3=;(4)am÷an=_________.

－

－

－

答案:(1)122m－n (2)a (3)a (4)a 3a

4.某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________.

解析：科学记数法就是将一个数写成a×10n(1≤a＜10)的形式.用科学记数法可以表示比1大的数，引入负整数指数幂后，也可表示比1小的数.

0.000 001 8=1.8×0.000 001=1.8×

答案:1.8×106 －1－=1.8×106. 1000000

二、课中强化(10分钟训练)

1.下列计算正确的是( )

A.(a2)3=a5 B.(a2)3=a5 －－－

C.(1－1－－)+(－π+3.14)0=－2 D.a+a2=a1 3

－－解析：A.应为a6,B.应为a6,D.不能加减,C.原式=(－31)1+1=(－3)1+1=－2.

答案：C

2.(1)(a1)2=___________(a≠0)；(2)(a2b)2=__________(ab≠0)；(3)(－－－a－1)=________(ab≠0). b

解析：幂的乘方、积的乘方以及商的乘方，当指数扩大到全体整数范围时，在正整数范围内成立的一切性质在保证分母不为零的前提下都成立.

1ba4

答案:(1)2 (2)2 (3) aab

3.填空:(1)52=_______________；(2)(3a1b)1=_______________(ab≠0). －－－

解析：(1)根据an=－111－2，得5=. an5225

(2)根据积的乘方，等于积中每个因式乘方的积可得

(3a1b)1=31(a1)1b1=－－－－－－11aa. 3b3b

答案:(1)1a (2) 253b

4.计算:(1)(b－2a2)·(); ab

－(2)(－3)5÷33.

解析：(1)根据an=－1a21b2()(). .nbaba()2

a

a

b4原式=()()().

(2)(－3)5÷33=－35÷33=－35－3=－38. －－－－ab2ab2

5.计算:(1)a2b2·(ab1);(2)(－－

－－x2－－)·(xy)2÷(x1y). y－－－解：(1)a2b2·(ab1)=(a2·a)(b2·b1)=a1b=b; a

x2x2

－2－2－1x2x2xy2y1x－2－1(2)()·(xy)÷(xy)=2·xy·xy=. yyy2y5

6.我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)

解析：用10年形成的小洞的深度÷时间即可得到结果，注意单位.

解：因为10年=120个月，1厘米=10

所以平均每个月小洞的深度增加

102÷120=(1÷120)×102≈0.008 33×102=8.33×103×102=8.33×105(米). －－－－－－－2米，

三、课后巩固(30分钟训练)

1.据考证，单个雪花的质量在0.000 25克左右，这个数用科学记数法表示为( )

A.2.5×103 B.2.5×104 C.2.5×10－－－5 D.－2.5×104 －解析：科学记数法就是将一个较大或较小的数写成a×10n(1≤a＜10)的形式.答案:B

2.下面的计算不正确的是( )

A.a10÷a9=a B.b6·b4=－14222 555 C.(－bc)÷(－bc)=－bcD.b+b=2b 2b

解析：运用幂的运算性质时一要注意符号问题，二要注意它们之间的区别，还要注意别与合并同类项混了.此题中A、B、D都正确，而C:原式=(－bc)2=b2c2.答案:C

3.3p=4,(1q－)=11,则32pq=_______________. 3

11－解析：32p=(3p)2=42=16,3q=q=()q=11. 33

原式=32p·3q=16×11=176.答案：176 －

x2404.要使()有意义,则x满足条件_______________. x2

解析：要使式子有意义,分母不为0,分子为0.

∴x－2≠0,x2－4=0.∴x=－2.答案：x=－2 5.(1)(1－p－－－－－－)=_______;(2)x2·x3÷x3=_____;(3)(a3b2)3=;____(4)(a2b3)2=_____. a

1－－－－－－－－解析：(1)()p=(a1)p=ap.(2)x2·x3÷x3=x5－(－3)=x2. a

(3)(a3b2)3=a9b6.(4)(a2b3)2=a4b6. －－－－－

答案：(1)ap (2)x2 (3)a9b6 (4)a4b6 －－－

6.若x、y互为相反数，则(5x)2·(52)y=__________.

解析：由x、y互为相反数得x+y=0，所以(5x)2·(52)y=52x·52y=52x+2y=52(x+y)=50=1.

7.计算:(443－2222－2)－(3)0+()·().解析：原式=11. 33222

－－8.计算:(9×103)×(5×102).

解：原式=(9×5)×(102×103)=45×105=4.5×10×105=4.5×104. －－－－－

9.计算:(1)5x2y2·3x3y2; (2)6xy2z÷(－3x3y3z1). －－－－－－

解：(1)原式=(5×3)(x2x3)(y2y2)=15x1y0=－－－

－－－15; x－(－3)(2)原式=［6÷(－3)］(x÷x3)(y2÷y3)(z÷z1)=－2x1－y(－2)－(－3)z1－(－1)=－2x4yz2.

－10.已知m－m1=3,求m2+m－－2的值.两边平方得m2－2+m2=9，所以m2+m2=11. －