极少失效数据的可靠性评估和寿命预测_傅惠民
第25卷第8期2010年8月
文章编号:1000-8055(2010) 08-1855-05
航空动力学报
Journal of Aerospace Power
Vol. 25No. 8
Aug. 2010
极少失效数据的可靠性评估和寿命预测
傅惠民, 岳晓蕊, 张勇波
(北京航空航天大学小样本技术研究中心, 北京100191)
摘 要:针对高可靠性产品寿命试验中经常出现只有极少失效数据的情况, 提出一种可靠性评估和寿命预测方法. 在W eibull 分布形状参数下限已知的情况下, 给出使用寿命和可靠度的单侧置信下限, 该方法具有能将所有失效数据和未失效寿命数据进行累加的优点. 文中还建立不同状态之间不完全数据的损伤等效折算公式, 实现不同状态之间不完全数据的整体推断, 增大了信息量, 提高了预测精度. 本文方法易于计算, 便于工程应用.
关 键 词:寿命试验; Weibull 分布; 极少失效数据; 整体推断; 可靠性评估; 寿命预测中图分类号:O211; T B301 文献标识码:A
Reliability assessment and life prediction for very few failure data
FU H u-i min, YU E Xiao -rui, ZHA NG Yong -bo
(Research Center of Sm all Sample Technolog y,
Beijing U niversity of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China) Abstract:Aiming at the ver y few failure data w hich w as usually found in life test of hig h reliability product, a method of reliability assessm ent and life prediction w as put fo r -w ard. T he o ne -side low er confidence limits of the serv ice life and reliability w ere derived un -der the condition o f know ing the low er limit of shape parameter of Weibull distribution. It has the merit of that all the failur e data and suspension data can be accumulated. Further -m ore, the convert formula of the data among different states w as established by the principle of dam ag e equivalence. T hus, the data am ong different states can be analyzed to gether and the prediction precisio n is improv ed. T he presented method is a practical appro ach w ith sim -ple calculation and convenient application.
Key words:
life test; Weibull distr ibution; very few failure data; integral inference; reliability assessment; life pr ediction
随着产品服役时间的延长和可靠性的提高, 在寿命试验中无失效数据或仅有极少试样发生失效的情况经常出现[1-6], 工程上迫切需要建立能够根据无失效数据或极少失效数据对产品的可靠度和使用寿命进行评估的有效方法. 由于未失效数据往往是人为中止试验得到的, 它通常不包含寿命随机分布的正确信息, 所以当不完全数据中失
收稿日期:2010-04-12; 修订日期:2010-06-30
基金项目:国家自然科学基金(10472006) ; 北京市教育委员会共建项目(XK100060418)
作者简介:傅惠民(1956-) , 男, 浙江遂昌人, 长江学者 特聘教授, 博士, 从事小样本技术、软校准技术、数据融合方法及可靠性
研究.
效数据极少的时候, 对寿命分散性的估计误差较大. 鉴于工程中寿命的Weibull 分布形状参数下限 0已积累大量试验统计数据(铝合金结构: 0=4; 钛合金结构: 0=3; 钢结构: 0=2. 2)
[7-10]
,
文献[7-8]建立了无失效数据的可靠性评估和寿命预测方法, 本文进一步提出极少失效数据的可靠性评估和寿命预测方法, 给出满足工程要求的
1856
使用寿命和可靠度的单侧置信下限.
航 空 动 力 学 报第25卷
即
P t R t R low
下面给出简单证明.
证明:对式(4) 进行对数变换, 并取关于 的偏导, 可得
R low =-2 +ln
(2r +2)
*
1 Weibull 分布极少失效数据的
寿命预测
Weibull 分布在工程中应用相当广泛. 大量工程实践表明, 产品寿命通常遵循Weibull 分布
F(t) =1-ex p -
(8)
(1)
ln -式中 0为形状参数, >0为特征寿命, 分布记为W ( , ) .
设t 1, t 2, , t n 为来自Weibull 分布的一组不完全数据, 其中r 个为失效数据, n -r 个为未失效数据. 当形状参数 已知时, 可令
z =t =
则, 式(1) 转化为
F (z ) =1-ex p -
21-
i=1
t
n
i
-
i=1
t ln t
i i=1
n
i
n
t i
由此可知, 当
(2r +2)
(2)
ln -
1-
+ln
i=1
t
n
n
i
i =1
t
n
i
ln t i t i
i =1
即
(3)
(2r +2)
R exp -exp 2
21-
i=1
t i ln t i
即z =t 服从指数分布. 因此, 根据指数分布置信水平为 的可靠寿命单侧置信下限公式可知[11], 对于Weibull 分布随机变量t, 当形状参数 已知时, 其给定可靠度R 的可靠寿命t R 置信水平为 的单侧置信下限为
t R low =
式中
21-
i=1
t i
-ln t i
i=1
n
(9)
成立时, t R low 为形状参数 的单调增函数, 因此,
0时有当
-
2
1- (2r +2)
i=1
2
n
1/
t i
(4)
t R low =
-1- (2r +2)
i =11/
t
n
1/ i
(10)
(2r +2) 是自由度为2r +2的 分布的
P t R t R low =
(5)
即有
1- 上侧分位点, - 1- (2r +2)
i=1
t
n
i 0
=t *R low
P t R t R low P t R t R low =
*
(11)
在工程实际中, 形状参数 通常是未知的, 因此无法根据式(4) 求得可靠寿命置信下限, 但在许多情况下, 可以知道 大于等于某一常数 0, 即形
0已知. 可以证明, 当给定的可靠度状参数下限
R 满足
同样可以证明, 式(9) 中不等式的右边为形状参数 的单调减函数. 因此, 当 0时, 式(6) 成立, 式(9) 也必然成立, 同样有式(10) 和式(11) 成立. 证毕!
2(2r +2) 1-
R ex -exp 2
i=1
t
n
n
i 0
ln t
i 0
i 0
i=1
t
-ln t i 0
i=1
n
2 Weibull 分布极少失效数据的
可靠性评估
与第1节类似证明可知, 对于Weibull 分布随机变量t, 当形状参数 已知时, 其给定寿命t 的可靠度R (t) 置信水平为 的单侧置信下限为
R low ((6)
时, 其可靠寿命t R 的置信水平为 的单侧置信下限为
第8期傅惠民等:极少失效数据的可靠性评估和寿命预测
1857
1/
同样, 虽然在工程上形状参数 通常是未知
0( 0) , 可以证明, 当给的, 但对于已知的常数
t k -i, j =c k -i
t ks k
t ij t is i
(17)
定的寿命t 满足
t ex p
i=1
j =1, 2, , n i
n
t i 0ln t i
式中
(13)
s
i =1
t
2
i 0
c
-i k
=
l=h k
(n
i
i
i
-l +1) -1
(18)
-l +1) -1
时, 可靠度R (t) 置信水平为 的单侧置信下限为
R
*
low
l=h k
(n
k
(t) =ex p -
t 0 1- (2r +2)
2 t i 0
i=1
(14)
其中s i (h i s i r i ) 和s k (h k s k r k ) 的选择应使c k -i 不大于1, 且尽量接近于1.
证明:根据累积失效概率等效的原则
[12]
:产
即有
P R (t) R *low (t)
(15)
品在第i 个状态下试验时间t ij 的累积失效概率F i (t ij ) 等于在第k 个状态下试验时间t k -i , j 的累积失效概率F k (t k -i, j ) , 即
F i (t ij ) =F k (t k -i, j )
由式(1) 和式(19) 可知
t k -i, j =
k ij i
3 不同状态之间不完全数据的
整体推断方法
工程中经常需要在不同状态(如不同温度、压力、载荷等) 下进行截尾试验. 通常单个状态下的试验数据极少, 若将不同状态之间的不完全数据进行损伤等效折算, 则可大大增加单个状态下的数据量, 实现不同状态之间不完全数据的整体推断.
3 1 各个状态下均只有一个失效数据的
等效折算
设t i 1 t i 2 t in i 为来自第i 个状态下W ( , i ) 的一组不完全数据, 其中只有t ir (1 r i i n i ) 一个失效数据, 其余n i -1个均为未失效数据, i =1, 2, , m. 根据累积失效概率等效的原则, 可以将第i 个状态下第j 个数据t ij 折算为第k (1 k m) 个状态下的数据t k -i , j , 折算公式为
t k -i, j =
k k n i -r i +1
1/
(19)
(20)
^i 和 由于 i 和 k 未知, 工程中常用其估计值 ^k 代替, 得
^k
t k -i, j =^ij
i
令
Z i =t i i = i
统计量Z is i 的均值为
s
(21)
(22)
则Z i 服从均值为 i 的指数分布, 其第s i 个顺序
i
E (Z is i ) = i
(n i -l +1)
l=h
i
-1
h i s i r i
由此可知
^i =
z is i
s l =h
i
(23)
t kr k
t ij t ir i
(16)
j =1, 2, , n i
3 2 各个状态下多个连续失效数据的
等效折算
(n
i
i
-l +1) -1
(24)
h i s i r i
为 i 的无偏估计量, 即
^i ) = E ( i
由式(24) 和式(22) 可知
^i =
设不完全数据t i 1 t i 2 t in i 中有多个连续失效数据t ih i t i(h i +1) t ir i , 其余均为未失效数据, 1 h i
t is i
1/
i
l=h
(n
i
i
-l +1)
-1
i i i
1858
将上式代入式(21) 可得
s
航 空 动 力 学 报第25卷
根据工程经验, 该型卫星推力器寿命遵循
-1
1/
t
k -i, j
=
l=h k
(n
i
i
i
-l +1) -l+1)
Weibull 分布, 其失效模式主要为燃烧室或喉管
t ks t ks k 1/ k
ij k -i =c t is t ij t is i i
(27)
烧穿. 燃烧室和喉管所用材料为钛铌合金, 根据波音公司对大量钛合金结构试验数据的统计分析结
果, 建议取 0=3 0.
采用本文第2节方法对表1中数据进行处理, 得
exp
i =1
l=h
(n
k
k
-1
/ 1/
当c k -i 不大于1时, c 1k -i 0 c k -i ( 0 ) , 因此将式
(27) 中c 替换为c 所得的等效折算时间t k -i, j 更为保守, 式(17) 证毕!
将各个不同状态下的试验数据等效折算到第k 个状态后, 再结合第k 个状态原有数据, 采用本文前两节方法进行整体推断.
1/ k -i 1/
-i 0k
t
n
i 0
ln t i
=46. 82
i 0
i=1
t
因此, t =20
*low
4 工程实例
表1给出了某型卫星推力器稳态连续点火试验结果, 其中仅有1台推力器发生失效, 其余15台均未做到失效即中止试验. 现要求在置信水平 =60%下对该型卫星推力器t =20h 稳态点火的可靠度进行评估.
表1 某型卫星推力器稳态连续点火试验结果Table 1 Results of steady continuous ignition test of
som e satellite engine
序号i [***********]41516
稳态连续点火时间
t i /h >12>40>40>40>40>40>46. 663. 6>20>12. 3>20>20>20>50. 8>48. 3>40
是否发生失效否否否否否否否是否否否否否否否否
(20) =exp -
20 0. 4(4) 2 t
i=13i
32
=98. 43%
因此, 在置信水平60%下, 可以断定该型卫星推力器稳态连续工作20h 小时的可靠度大于98%.
5 结 论
1) 提出了极少失效数据可靠性评估和寿命预测方法, 该方法能够充分利用以往积累的大量试验统计数据, 确定W eibull 分布形状参数下限, 给出使用寿命和可靠度的单侧置信下限. 2) 本文方法能将所有失效数据和未失效寿命数据进行累加, 从而提高可靠性分析精度.
3) 建立了不同状态之间寿命的损伤等效折算公式, 提出不同状态下不完全数据的整体推断方法, 增大了信息量, 提高了预测精度.
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