高等数学第三版上册 第三章第三节 习题3.3

第三节 函数的最值

习题3—3

求60—65题中函数的最大值和最小值。 60．

x ∈[0,4] 解：y '

值y=4+4=8

61．y=sin 3x+cos 3x, x ∈[

-π3π, ] 44

-π3π, 44

>0，函数为增函数，没有驻点。在x ∈[0,4]上，最小值y=0，最大解：y '=3sin 2xcosx-3co s 2xsinx=3sinxcosx（sinx-cosx ），令y '=0，在x ∈[内，得驻点x=0，x= f （

ππ

，x=。算出这些点和端点的函数值： 24

-ππ

3ππ

）=0,f(0)=1,f()=,f()=1.f()=0,得最小值y=0，最大值y=1。 44422

62．y=arctan

1-x

x ∈[0,1] 1+x

1-x 2x x (1+x ) 21

[1], 解：y '=（=，令y '=0，在x ∈0) '=⋅⋅222

21+x (1+x ) (1+x ) 2(1+x ) 1+() 1+x

内，

y '>0，函数为增函数，得最小值y=0，最大值y=

π 4

63．

x ∈[-1,1] 解：y '

13

最大值y=3。

64．y=x -(x -1) , x ∈(0,2) 解：y '=

222(x -1) -x x -x (x 2-1) =⋅1，令y '=0，在x ∈(0,2)有一个驻点

2333

x 3(x 2-1) 3

1-3

2

2-3

2

2343

x=

. 在（0

，）内，y '>0

，在（，2）内y '

11

（) 3 ，没有最小值。 2

65．y=x x , x ∈(0.1, +∞)

1

解：y '=lnx+1⇒y '=x x （lnx+1），令y '=0，在x ∈(01. , +) ∞

y

有一个驻点x=

111

，在（0.1，）内y '0，所以函数e e e

11

有最小值y=（ ) e ，没有最大值。

e

66．证明：若a>1,则对于任意的x ∈[0,1]均有 x a +(1-x a ) ≥

1 a -1

2

证明：设函数 f （x ）=x a +(1-x ) a ，f '(x ) =ax a -1-a (1-x ) a -1，令f '(x ) =0，对于任意的x ∈[0,1]，有x= 数有最小值y=

111

，在（0，）内y '0，所以函222

1

，即证之。 a -1

2

67．试证面积为定值的矩形中，正方形的周长最短。

证明：设矩形的面积为s ，矩形的边长分别为a 和b ，周长C 为

s

C=2（a+b），又是s=ab， C=2（a+），根据实际情况，矩形面

a

s

积一定，一定存在一个周长最小值问题，即：C '=2（1-2），令C '=0，得s= a 2，

a

证之。

68．下水道的截面是矩形与半圆所构成，当截面为定值A 时，试问矩形的底为多少时，该截面的周长s 最短。

解：设矩形的底为 x ，其另一条边为y ，根据题意：

2A 2A x 2

C '=1-2， A=xy+ π，而C=x+2y+ πx ，即C=x+ ，令C '=0，x x 2

得：

69．有一个半径为R 的圆形广场，在广场中心的上方设置一灯。问灯设有多高

使广场周围的环道最亮？已知当灯高为x 时，照明度y 有y=比例系数。

解：根据题意，照明度 y=

k cos α

，而cos α=22

x +R

k cos α

，其中k 为

x 2+R 2

x (x 2+R )

122

即y =

kx (x 2+R )

322

，

k (x +R ) (x 2-

2

y '=

3

x +R 2) 322，令y '=0，得x -x +R =0，解得

223

2(x +R ) 1

22

70．一炮艇停泊在距海岸（设之为直线）9km 处，派人送信给设在海岸线上距该艇

的司令部，若送信人步行速率为5km/h，划船速率为4km/h，问他在何处上岸到达司令部的时间最短？

解：如图设他在距司令部x km处上岸到达司令部的时间最短，所用全部时间为y ，则有

92+(15-x ) 2x y =

+

45

y '=1

5

令y '=0, 得:x=3,x=27(舍去)

根据实际情况知, 存在一个最小值问题, 故

当x=3时, 到达司令部的时间最短.

71．设有一个T 型通道，现在拟将一批长6米的管子由A 处移到B 处。移动时，要求管子与地面保持平行，若A 、B 处通道的宽度分别为2m 和3m ，试问这批管子能否按要求移位。 解:设MN 长l （m ），求线段l 的最小值，当 最小值≥6米，就能位移

l =

32⎛π⎫

+, α∈ 0, ⎪ sin αcos α⎝2⎭

l '=-3cot αcsc α+2tan αsec α,

令l '=0得cot α=2

，驻点唯一，且为最小值，

计3

算l 得

l =(9+4) 1. 5≈7>6

故, 这批管子能否按要求移位。

72．用直径为d 的圆柱木材加工横断面为矩形的梁，若矩形高为y ，宽为x ，则梁的强度与x y 2成正比，试问高与宽成什么比例时梁的强度最大？ 解：设梁的强度为L ，根据题意得：

L=k xy 2（k 为比例常数），d 2= x 2+y 2，（d 2-x 2）=kd 2x-k x 3， ∴L=kx L '=kd 2-3k x 2，令L '=0，解得：

梁的强度最大。

，即

∴当y ：

1时，