一元三次方程与一元四次方程的根
3.6一元三次方程与一元四次方程的根
3.6.1 一元三次方程的根
一元二次方程的求根公式是众所周知的,下面我们给出一元三次与一元四次方程的求根公式.
设一元三次方程
y3ay2byc0 (立方和展开公式:
令yx
)
a
,得 3
x3pxq0 (5-1) 所以,所有一元三次方程均可化为无二次项的方程. 设x0是方程(5-1)的根,即
3
x0px0q0
现在讨论方程
ux0u
2
p
0 3
设它的两个根与,则
x0
·
p (5-2)
3
(5-3)
()3p()q0
(3p)()q0
33
由于3p0,所以
33q
p3
27
3
3
所以与是一元二次方程
33
p3
0 zqz27
2
的两个根.解此方程得
qq2p3
z
2427
23
qqp
2427
qq2p3
2427
2323qqpqqp
即 x0
24272427
这样,我们就把方程的根x0求出来了.这个公式称为卡丹公式.但是由于上式开了3次方,共有3个值,因而共有9个值,这9个值不可能都是方程(5-1)的根,对于取定的,
只能取,使得·
p
.设1是 3
qq2p3 2427
3个开方值中的一个,是1的立方根.
cos
221= isini
3322
而1是适合11
p
的值 3
如果11是方程(5-1)的根,则方程(5-1)的另外两个根为 现在讨论
11211
2
q2p3
(1)当 D 427
如D>0,则D是实数,实数
q
D的立方根有一个实数,两个共轭复数. 2
设1是
D中的实数,1是D中的实数. 22
p
是实数),其余两个根分别为 3
则r111是方程(5-1)的实数根(因为11 r2111(
113i)1() 2222
11
2
i32
11
2
r3
这里显然有1
11
i11
2
1,所以三次方程有一个实根和两个共轭复数根.
q2p3
0时, (2)当D
427
qq
,22
设1qqq
知,1=为实数值,由于·也为实数值,所以根为
322
r11121 另外两个根为
r21121(2)1r3111()1
2
2
所以三个根都是实数,且有两个根相同.
(3)当D0时,
qq
D与D是两个共轭复数.令Di·k,k为实数,所以 22
D,D 22
由于实系数三次方程必有一个根是实数,设 x1011
(复数的开方:设z = r (cosθ+ isinθ),其中r>0,则z的n次方根有n个,它们是
:
)
是实数根,因为11为实数根11程的另外两个根是 由于
p
也是实数,所以1与1是共轭复数,这时方3
x2112x311
2
112,121112与21
都是实数,所以三次方程的根都是实数,且是三个不同的实数.
例1 解方程 y33y23y140 解 用yx1代换,得 x6x190 这时 p6,q9,
3
q2p3490
4274
即方程有一个实根,两个共轭复数根:
q722q7322
12,11
x0213
x3i
1
3
2233x2i
22
原方程的根为 y02
5y1i
2
5y2i
2
例2 解方程
3
32 2
x12x160 解 这里p=-12,q=16,
q2p3162123
0 D=
4272427
所以
q82. 2
方程的根为x0(2)(2)4 x12,x22两个重根
3.6.2 一元四次方程的根
我们给出一元四次方程的求根公式. 设实系数四次方程为
y4ay3by2cyd0
利用代换 yx
q
,消去y3,得 4
x4px2qxr0 (5-2) 在上述方程加一参数得
pp22
xpxqxr(x)qxr22x2p0
24
2
pp(x2)2[2x2qxpr]0
24
4
2
2
取使得方括号里是完全平方项,这时判别式D=0,即
p2
)0 (5-3) qr2(pr4
2
2
方程(5-3)除外均为已知数,是一个一元三次方程的根.因此可以求出. 如果0是方程(5-3)的一个根,则 (x
2
pq20)220(x)0 240
即 x
2
pq20(x) 240
原方程变为解一元二次方程.
由此方程即解出.当然,这里0的求法有三种,而22又有两个解,这里不再叙述. 至于一元五次以上的方程,伽罗瓦理论告诉我们,一般并不存在根式解,即不会有求根
公式.