[学生宿舍设计方案的分析与研究]

学生宿舍设计方案的分析与研究

丁小红，唐海均，罗文苏

贵州商业高等专科学校，贵州 贵阳 550004

摘 要：高校扩招，使得高校教育大众化,学生宿舍的建设是保证教学质量的物质条件之一，如何建设满足广大师生需求的宿舍是众多高校研究的课题。本文运用数学建模思想、方法对四种设计方案的经济性，舒适性，安全性三大指标的进行综合分析、研究，对学生宿舍的设计方案及其他建设方案的选择有一定的指导意义。

关键词：设计方案；数学模型；层次分析法；最优化方法；MATLAB软件

Student Dormitory Design Analysis and Research

Author：DingXiao-Hong, TangHai-Jun, LuoWen-Su

（Commercial College of Guizhou，Guiyang， Guizhou， 550004）

Abstract: Enrollment of students in colleges and universities, colleges and universities,

education popularization makes the construction of students' dormitory is to ensure the quality of teaching, how to build one of the material conditions satisfy our teachers and students demand dorm is numerous universities of research. This paper USES mathematical modeling ideas and methods of four design program of the economy, comfort, safety of three index analysis, research, the design scheme of students' dormitory and other construction scheme selection has certain directive significance.

Key word: Design project; Mathematical model. Analytic hierarchy process (ahp); Optimization methods; MATLAB software

一、问题分析

学生宿舍是学生在校最主要的居住地，因此，宿舍的设计时刻影响着学生在校期间的生活品质, 直接或间接地影响到学生的学习、生活和健康成长。关于学生宿舍设计方案的最优选择的研究，是一个适用性较强的，具有推广价值的社会问题。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要便于学校管理, 同时也要考虑成本与收费之间的平衡, 当然，这些和所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有着密切的联系。因此，学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。鉴于此，我们给出了四种比较典型的学生宿舍设计方案（附件见原始附录1）。用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。

高校的大规模扩招，导致大学生人数日益剧增，使高校的可使用的学生宿舍紧缺，为了解决学生宿舍的紧缺问题，学校可以适当考虑新建学生宿舍。因为新建学生宿舍主要涉及到学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计，所以在考虑让学生生活舒适的同时，也要着重考虑到学校的管理问题, 当然也要考虑成本和收费平衡的问题。因此，学生宿舍的设计方案必须综合考虑三个方面的问题：第一、经济性，包括建设成本、运行成本和收费标准等；第二、舒适性，包括人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等；第三、安全性，发生意外时的人员紧急疏散和日常生活的防盗等。

本文中的模型是采用Saaty等人提出一种有效地处理多目标决策问题的实用方法，即层

次分析法，将定性因素转化为可以衡量的定量因素，系统化，层次化。因此本模型利用此优点进行综合量化，对各层逐一攻破，围绕目标层，构成

A(aij)nm

矩阵，运用MATLAB软件

T

W(0.2786,0.1892,0.1739,0.3584)进行运算求解出最终可作为决策的权向量：在最终

作为决策的权向量中，权重系数对应于相应的方案，在我们对四种方案编号后，由作为决策

的权向量可知第四种方案（面积为1886.64平方米）为最优建设方案。此模型也可应用于学校教学评估、大型运动会团体参赛成绩评价、学生综合素质的评价等多目标决策问题。

为了解决这个问题，我们首先画出其层次结构图，此结构图中分四个层次：目标层、准则层、子准则层和决策方案层，如图（1）所示。

关于新建学生宿舍的最优设计方案的经济性、舒适性和安全性问题的综合考虑，需要对各因素重要性进行分析：

（一）准则层对目标层的分析

由于建筑的经济性主要涉及到建筑材料，包括钢材、木材、水泥、砖、砂石、防水材料等，且在经济发展水平一般的情况下分析的，再者安全性是对学生们的人身保障，只有在安全有保障的情况下再去考虑环境的舒适性，因此我们可将经济性放在首位，其次是安全性，最后是舒适性。

（二）子准则层对准则层的分析

1.经济性（建设成本、运行成本、收费标准）

在经济性内建设成本远远比收费标准高，比运行成本略高，因此可得建设成本放在首位，其次是运行成本，最后是收费标准。

2.舒适性（人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风）

通过网上查找资料（见参考文献[1]）及生活体验，我们可以类推，从居民的角度考虑住房，首先会考虑采光和通风，如果采光和通风方面条件很差，那么房间内很容易潮湿且空气不清新，光线暗，影响居民的身体健康。其次考虑的是使用方便，该因素可以为居民节约许多时间，对居民间接产生经济效益。这种情况同样适用于学校的宿舍设计。

3.安全性（人员疏散和防盗）

考虑学生宿舍安全性的因素：发生意外时的人员紧急疏散主要考虑到发生紧急事件时所采取措施时的有效性，更强调效率，防盗则是对于预防外来的侵害人身以及财产的行为。根据建筑知识和生活中的常规理论，可得出人员疏散比防盗略重要。

（三）决策方案层对子准则层的分析

通过给定的四张学生宿舍设计方案图中的各个指标对子准则层因素进行分析讨论，并给予相应的重要性标度。在此，我们列举其中一种因素分析如下：

一般来说，房间的平面尺寸过于狭长的房间空间给人的感觉不好，也会直接影响良好的天然采光，根据建筑学知识，可知长宽比最好控制在1.5：1为好，因此从学生宿舍的设计

66005400

1.91.534003600方案中进行对数据的比较：方案1为，方案2为，方案3为69003300

1.913600，方案4为3300，得到方案2的采光最好。

同理，用以上的方法分别对各因素进行比较，得到方案的最优因素。

对于以上问题，为了方便计算，我们引入一个衡量每个标准的相对权重w及相对重要性标度

aij

，得出矩阵

A(aij)nm

的特征向量。并采用两两因素进行比较时得到的权重组成

的两两比较矩阵

A(aij)nm

会存在着这么一个问题：成对比较矩阵通常不是一致阵。但是

为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较因素的权向量，再次引入一致性指标

CI，随机一致性指标RI，通过一致性指标与随机一致性指标之比得到一致性比率CR，即

CR

是：

CI

0.1RI来判断两两比较矩阵是否是一致阵。如果在满足一致阵的条件下，再由

(2)(3)

ww(k1，2，3m)，各方1k各标准层对目标层的权向量，子准则层对准则层的权向量(4)w(k1，2，3m)，并计算各方案对目标层的权向量，即为组合k案对子准则层的权向量

权量w

(4)

。

二、模型假设

1、该学生宿舍设计方案是在经济发展水平一般的地区实施；

2、住宿费按普通高校学生住宿费收费标准收取； 3、修建进程如期完成不受天气的影响；

4、每平方米的建筑面积费用相同，且每一层楼的费用也相同；

5 建筑设计的依据：人体和家具设备所需的空间尺度，自然条件，技术要求等方面都

符合标准要求；

6、运行成本与所建寝室的房间数，以及将来容纳的人数有关； 7、学校宿舍建设地属自然灾害很少的地方；

8、在建筑业中必须共同遵守《建筑模数协调统一标准》。

三、符号说明

四、模型建立

X(x1,x2xn)对某因素的影响

根据问题分析以及图（1）分析，采用比较n个因子

大小，进行两两比较建立成对比较矩阵的办法，得到一个两两比较的矩阵每次取两个因子

A(aij)mm

，即

xi和xj，以aij表示xi和xj对某的影响大小之比，并求出矩阵A(aij)mm

xi与xj对某因素的影响之比为aij，则xj与xi对某的影响之比

的特征向量。容易看出，若

aji

应为

1aij

(2)w1。而一个满意的学生宿舍方案是标准层与目标层的权向量、子标准层与

(3)(4)

wwnn标准层的权向量、方案层对子标准层的权向量综合衡量的，通过计算两两比较矩阵

(k)

w得到其相对权向量 n

。为了使各个标准，或在某一标准下各方案两两比较以求得其相

对权重，我们引入了相对重要性标度表（见附录2）。如特征根

k对应的特征向量为

kkT

wk(w1k,w2,wm)，则

aij

wi

wj

，且i,j1,2,,m，即为：

w1w1w2Aw1

wmw1

w1w2w2w2wmw2

w1

1/n

wm1/n

w2

1/n

wmN0



wm1/nwmmm

..................（1）

N1'AN0||N1'||AN0N'

N1

||N1'||

..................（2）

又由于在层次分析法中采用两两因子进行比较时得到的权重组成的两两比较矩阵

A(aij)nm

在很多这样的比较中，往往可能得到一些不一致的结论。而本题又属于多目标

决策模型，在因素数目多的情况下更容易发生，因此为了解决此问题我们又引入在层次分析中saaty法检验一致性的方法，可得如下两个公式：

CI

一致性指标：

n

n1 ………………………………（3） CI

RI ………………………………（4）

CR

一致性率：

对于多层的结构，设上一层（设为k），经过用以上的方法得到的权值为又设其后的下一个层次（设为S）包含n个因素，它们关于

k1,k2,k3,km，

kj

的层次单排序分别为

S1j,S2j,S3j,,Snj

，得到S层中各因素的总目标的权值，最后，对也要进行一致性的检验，

其所得的公式如下：

CI(j)k

CR

组合一致性率：

mj

mj

j

RI(j)k

j

………………………………（5）

其中：RI是随机一致性指标，saaty对于不同的n层多次实验得出的结果其表见附录3。

（一）准则层的数学模型建立

根据建筑的相关知识，可以得到经济性、舒适性、安全性三种情况的相互影响程度及两两情况相对的重要标度如下： 表（1）：

根据式子（1）、（2）得到准则层两两对比矩阵如下：

132

A11/311/2

1/221 ………………………………（6）

131N0

313

 ……………………………（7） （二）子准则层的数学模型建立 （1）对经济性中各因素重要性标度

由经济性中的几种情况，根据建筑学知识,可知建设成本是运行成本的三倍，是收费标准的两倍可得如下相对的重要标度：

表（2）：

根据式子（1）、（2）得到准则层两两对比矩阵如下：

351

B11/312

1/51/21 …………………………………（8）

131N0

313

 ……………………………………（9）

（2）对舒适性中各因素重要性标度

在舒适性的几种情况中，由建筑设计学科的相关知识可知人均面、使用方便、互不干扰、采光和通风等几个因素之间的比较，可得如下相对的重要标度： 表（3）：

根据式子（1）、（2）得到准则层两两对比矩阵如下：

11/531/75151/2B2

1/31/511/87281 …………………………（10）141N04

141

4 …………………………（11） （3）对安全性中各因素重要性标度

根据建筑知识和生活中的常规理论，可粗略得出人员疏散比防盗略重要，所以得如下相对的重要标度：

表（4）：

根据式子（1）、（2）得到准则层两两对比矩阵如下：

13B3

1/31 ……………………………………（12）

1

2N0

12 ……………………………………（13） 

（三）决策方案数学模型建立

我们将学生宿舍设计方案相关数据作出下表如图所示：

表（5）：

Cn如下：

11/5C1

1/31/221

11/21/31/5

C2

1/3211/2

3211

53

111/71/31/7



11/21/57131C3

31/311/3211/2

5217131

5

731

53

11/31/21/711/51/31/711/51/33121/2511/21/3513C4C5C621/211/33231/3111/5723173511/51/71/3

11/71/51/511/51/51/7171335111/3C8C91/7C7

51/31511/5111/351/31173311/5

755



11/31/3311



311

……………………………（14）

1

41N04

141

4 ……………………………（15） （四）组合权向量的模型建立

由准则层和子准则层可以共同指向目标层，从而导出组合权向量。 组合权向量：

w(k)W(k)w(k1) (3kS) ………………………（16）

通过准则层与子准则层的决定的组合权向量，再与方案层形成最终的组合权向量，也就是可以作为最终决策依据的权向量：

w(s)W(s)W(s1)W(3)w(2) ………………………（17）

五、模型求解

（一）准则层模型求解

根据式子（1）、（2）、（6）、（7），由MATLAB软件计算得到相关权重系数如下：

w1(2)=( 0.5396 ,0.1634 ,0.2970) （程序参见附录4） （二）子准则层模型求解 （1）对经济性求解

根据式子（1）、（2）、（8）、（9），由MATLAB软件计算得到子准则层，相关权重系数如下：

(31)w2(0.5396,0.2970,0.1634) （程序参见附录5）

（2）对舒适性求解

根据式子（1）、（2）、（10）、（11），由MATLAB软件计算得到相关权重系数如下：

(32)w2(0.0935, 0.3158, 0.0514, 0.5393) （程序参见附录6）

（3）对安全性求解

根据式子（1）、（2）、（12）、（13），由MATLAB软件计算得到相关权重系数如下：

(33)w2(0.7500, 0.2500) （程序参见附录7）

（三）决策方案层求解

在层次分析决策模型中，通过matlab软件求解可得：

1 3.0092、23.0092、34.1477

将

1、2、3分别代入(3)、(4)式得到

CR10.0460.1；CR20.00460.1；CR30.05470.1；

(2)(31)(32)(33)

wwww所以一致性检验通过，上述的1、2、2、2可作为权向量

(4)

CCIwn3由第四次的成对比较矩阵计算出权向量、最大特征根n和一致性指标n结果

列入下表：(表中数据由以上九个矩阵通过MATLAB软件计算所得程序见附录8)

(2)(31)(32)(33)wwww1222将、、、代入（16）式可得（由matlab软件求解得到如下结果）

(31)(32)(33)(2)

w,w,ww2221

W

(3)

=[0.2912, 0.1603, 0.0882, 0.0153, 0.0516, 0.0084, 0.0881, 0.2228 ,0.0742]

最终求得方案层对目标层的作为决策的权向量为：

W(4)(0.2786,0.1892,0.1739,0.3584)T

即方案一、二、三、四的权重系数分别为：0.2786,0.1892,0.1739,0.3584。 所以根据以上结果表明方案四，在四种方案中考虑经济性、舒适性、安全性的综合量化标准最优,所以，最优的选择是方案四。

六、模型检验

通过对模型的求解，我们最终求得方案层对目标层的组合权向量，即为最终组合权向量，但是每一个模型并不是一开始就正确的，而对本题的模型是否能作为最终的决策依据。根据层次分析理论，接下来我们就作组合一致性检验：

组合一致性检验逐层进行

k

CI(k)[CI1kCId]w(k1) kRI(k)[RI1kRId]wk1

（d为第k-1层的因素的数目） 则第k层的组合一致性比率为：

CR

(k)

CI(k)(k3,4S)RIk

k

第k层通过组合一致性检验的条件为CR0.1 最下层对第1层的组合一致性的比率为：

CRCRk



k2

S

当CR适当地小时，则认为整个层次的比较判断通过一致性检验。

为了检验模型的正确性，以学生宿舍设计方案中各层次的一致性指标和一致性率的数据作为检验数据：CI

(2)

0.00268,RI(2)0.58,CR(2)0.005,CI(3)0.0276，

0.019，CI



S

(4)

RI(3)1.4500，

=0.08，RI

(4)

1.7400,CR

(4)

0.05

将以上检验数据代入

CRCRk

k2

得：CR0.074





CR0.074

因为CR适当的小，所以前面所建立模型所求得的权向量W可作为最终的决策依据。 通过仔细研究通过研究省内与省外的各大高校的学生宿舍的设计方案，其中的典型的设

计方案着重考虑到了经济性、舒适性和安全性的综合量化，验证了我们推出的最优方案。



七、模型评价与推广

（一）模型的评价

1、模型的优点

①本题模型运用解决多目标决策问题的层次分析法，对四个方案进行逐一的讨论，对每一方案的每一层各因素之间的相对重要标度进行详细分析，综合评价，具有较强的实用性。

②采用图论的方法对两两因子之间进行对比、整合，便于观察和数据拟合。

③本题分别建立了准则层、子准则层和方案层的模型，对问题的逐一攻破，各项权重均要可由编程实现，决策者评估时只要输入两两对比的相对重要性比值，计算机就会完成权重的计算，方便高效。

④本题考虑到各因素的权重以及涉及到经济性、舒适性和安全性的综合量化，对问题逐一攻破，从而可避免了问题上的复杂性和思维上的混乱，从而得到最优的设计方案。学生宿舍的设计方案的最优选择的研究，是一个应用性较强的，具有推广价值的实际问题。

2、模型的缺点

①对于多目标决策问题的层次分析法，两两因子对比构成的重要性标度含有人为因素和思想、生活习惯等因素。同时忽略了地域，该城市发展水平等因素对相对重要标度的影响，因此本模会受到地区与城市发展水平的影响。

②本模型主要考虑权重，来选择最优方案，而对设计布置、设置、使用面积等数据，却作为分析所用，使得模型失去了联系实际性。

（二）模型的推广

本题模型运用层次分析法，逐一对每一层进行讨论，具有规律性和一般性原则，规律性：可以推广到S层。一般性：又由于可用计算机编程实现计算，计算方便、高效，便可应用于学校教学评估、大型运动会团体参赛成绩评价、学生综合素质的评价等多目标决策问题。

八、模型改进

对于论文中的模型，具有一定的局限性，模型是通过理论与题目所给的数据分析整理，最终以权向量来衡量四种方案。从题目中的要求中我们知道，本题的最终要求是选出最优方案，在满足经济性、舒适性、安全性的多个目标下。

设

opt

fi(x)为所需的三个目标则可得到：

F(x)(f1(x),f2(x)fp(x))T

gi(x)0s..t

hi(x)0

在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲,按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和评价函数

U(x)wifi(x)

i1

p

则多目标问题化为如下的单目标问题

maxU(x)wifi(x)

i1

p

gi(x)0s..t

hi(x)0

在此模型中所用到的数据可通过如下作量纲化处理

aij

其中

99(fijfj)fjfj

fjmaxfij

i

1

fjminfij

i

参考文献

[1] http://wenku.baidu.com/view/7005b4c789eb172ded63b735.html，

2010年9月12日

[2] 雷功炎，数学模型讲义，北京：北京大学出版社，2005年8月

[3] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年8月 [4] 徐春波，建筑工程概论，北京：机械工业出版社，2007年7月

[5] http://wenku.baidu.com/view/86562775a417866fb84a8e7e.html， 2010年9月11日

[6] 韩伯棠，管理运筹学，北京：高等教育出版社，2005年7月

附录

原始附录1：

附录3：

附录4：

A=[1 3 2;1/3 1 1/2;1/2 2 1]; [x,y]=eig(A); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1);

CI=(l-3)/2; CR=CI/0.58

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

附录5：

B1=[1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1]; [x,y]=eig(B1); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-3)/2; CR=CI/0.58

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

附录6：

B2=[1 1/5 3 1/7;5 1 5 1/2;1/3 1/5 1 1/8;7 2 8 1]; [x,y]=eig(B2); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3; CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

附录7：

A=[1 3;1/3 1]; [x,y]=eig(A); eigenvalue=diag(y); w=x(:,1)/sum(x(:,1))

附录8：

C1=[1 5 3 2;1/5 1 1/2 1/3;1/3 2 1 1/2;1/2 3 2 1]; [x,y]=eig(C1); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C2=[1 5 3 1;1/5 1 1/2 1/5;1/3 2 1 1/2;1 5 2 1]; [x,y]=eig(C2); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90;

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C3=[1 1/7 1/3 1/7;7 1 3 1;3 1/3 1 1/3;7 1 3 1]; [x,y]=eig(C3); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C4=[1 1/3 1/2 1/7;3 1 2 1/2;2 1/2 1 1/3;7 2 3 1]; [x,y]=eig(C4); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C5=[1 1/5 1/3 1/7;5 1 1/2 1/3;3 2 1 1/5;7 3 5 1]; [x,y]=eig(C5); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C6=[1 1/5 1/2 5;5 1 3 7;2 1/3 1 3;1/5 1/7 1/3 1]; [x,y]=eig(C6); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C7=[1 1/7 1/5 1/5;7 1 3 3;5 1/3 1 1;5 1/3 1 1]; [x,y]=eig(C7); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C8=[1 1/5 1/5 1/7;5 1 1 1/3;5 1 1 1/3;7 3 3 1]; [x,y]=eig(C8); eigenvalue=diag(y);

l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))

C9=[1 7 5 5;1/7 1 1/3 1/3;1/5 3 1 1;1/5 3 1 1]; [x,y]=eig(C9); eigenvalue=diag(y); l=eigenvalue(1) CI=(l-4)/3 CR=CI/0.90

w=x(:,1)/sum(x(:,1))