ASME应力线性化

第一部分 ASME应力线性化

1.1 路径的定义

MSC.Nastran for Windows/ASME/Stress Linearization的计算是基于美国ASME 锅炉和压力容器规范及中国JB4732-95《钢制压力容器-分析设计标准》中的规范研制开发的，适用于压力容器的分析设计

Stress Linearization模块借助于MSC.Nastran for Windows中建立直线的功能来定义应力的线性化路径， 定义方法较多, 详见 MSC.Nastran for Windows的使用手册 。图1所示的三种路径都是可取的 。

(i) 一般位置 (ii)部分在有限元网格外 iii) 通过节点或在单元的边上

图1 线性化路径 N1 -> N2

路径上的积分点数 n 可由用户自己定义（缺省值为50）， MSC.Nastran for Windows线性化模块只要求每条路径的积分点数不超过100个。

积分点位置用该点离路径起点的距离ξ 来表示，如图2所示。每个积分点的ξ 值由MSC.Na-stran for Windows线性化模块自动按公式 (1-1) 确定：

ξ

i

=

i -1

⨯t n -1

(1-1)

其中: ξi : 第 i 个积分点的值

n : 定义在路径上的积分点数 t : 路径长度

i : 积分点编号

i = 1,2,3,....n

图 2. 积分点位置

对轴对称问题, MSC.Nastran for Windows线性化模块还将进一步自动计算每个积分点 ξi 所对应的全局坐标r i , z i , 如图 3 所示，以供线性化时用。

()

图 3.

1. 2. 计算积分点应力

一旦确定积分点位置, MSC.Nastran for Windows线性化模块便会自动按以下步骤获取每个积分点的应力张量。 下面以一个简单的模型为例, 详述积分点 应力张量的获取过程:

步骤一: 确定相关单元, 计算权重因子

如图 4 所示, 对路径上的每个积分点ξi , MSC.Nastran for Windows线性化模块将找到其所在的单元号; 根据该单元的映射关系, 积分点ξi 被变换到相应的参数坐标中, 确定其参数坐标；用该参数坐标及该单元的插值函数, 计算出该积分点对该单元各个节点 (例如Na, Nb, Nc, Nd) 的权重因子Wi (例如Wa, Wb, Wc, Wd)。

如果积分点恰好在二个单元的边或节点上, 则该积分点将属于最早搜索到的那个单元。 如果积分点不属于任何单元, 则MSC.Nastran for Windows线性化模块将显示提示信息, 并将积分点排除。

图 4

步骤二: 确定节点应力张量

若结果数据库中已直接含有节点应力张量, 则直接读取即可, 否则 MSC.Nastran for Windows 线性化模块将按以下步骤自动外推出节点应力张量:

(1) 确定外围单元

如图 5 所示, 通过步骤一, 已找到路径所经过的单元 m1, m2 , m3 , m4 。 本步操作将找出有限元模型中与 m1→ m4 相邻的所有单元, 即 m5→ m12 。

(2) 外推节点应力

对每个找出的单元 (m1, m2, ....., m12), 根据各自的插值函数, 如图6所示, 用外推方

法, 由单元积分点应力求得各节点上的应力, 并将该应力变换到统一的应力输出坐标中。

图5 图 6

(3) 均化节点应力

σ

∑σ

ik

N K

j =1

ijk

=

N

(2-1)

k

其中: σik : 均化后第 k 号节点上的第 i 应力分量值 N k : 与节点 k 相连的单元数

σijk : 第 j 号单元在其 k 节点上的第 i 应力分量值

步骤三 内插求积分点应力

将均化后的节点应力与对应的权重因子相乘, 即可得到积分点上的各应力分量。

1. 3 应力线性化

定义线性化路径, 积分点数, 并求得所有积分点应力分量后, 如何进一步作线性化, 还根模型是否为轴对称 (axisymmetric)有关。

对于非轴对称模型, 用户可以选择一个直角坐标系来确定线性化应力分量 σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx 具体方向。缺省值为全局坐标系 Coord 0。

对轴对称, 情况较非轴对称复杂：

(1) 随着半径的增大, 单位面积所对应的材料量增加, 致使中性面位置会沿半径向外移动

一段距离Xf 。

(2) 必须将应力分量变换到截面坐标系 (Section coordinate) 中, 如图 7 所示, 使

x(或r) 方向跟路径N1N2平行, y (或z) 方向垂直于路径 N1N2。

图 7

(3) 中性面处几何的曲率半径对线性化有影响。 MSC.Nastran for Windows线性化模块要求用户选择中性面为 straight section, 还是 curved section, 缺省为straight section 。 若为curved section, 则还要求输入曲率半径。

(1) straight section ρ=∞ (2) curved section ρ=R

图8

下面按轴对称, 非轴对称二种情况， 分别说明线性化的基本计算公式:

1.3.1 非轴对称

如图 9 所示, 薄膜应力的计算公式为

σ

m i

1

=⎰2t σi (ξ)d ξ (3-1) t -2

t

图 9

在N1 处, 弯曲应力的计算公式为:

6

σ=-2

t

b i 1

⎰σ(ξ)ξ⋅d ξ

i

t 2t -2

(3-2)

在N2处, 弯曲应力的计算公式为:

σi 2=-σi 1 (3-3)

其中 σi : 第 i 应力分量的薄膜应力 σi 1 : 第 i 应力分量在N1处的弯曲应力 σi 2 : 第 i 应力分量在N2处的弯曲应力 t : 路径的长度

σi (ξ) : 路径上ξ 处的第 i 应力分量值

ξ : 沿路径的坐标

i : i = 1-6, 分别代表 σx , σy , σz , τxy , τyz , τzx

在应力线性化模块中, 按梯形积分公式 (3-4), (3-5) 分别对式 (3-1), (3-2) 进行积分:

b b m

b b

σ

m i 1

n ⎫1⎛σσi , 1i , n =++∑σi , j ⎪ (3-4)

⎪n -1 2j =2⎝2⎭

n -1⎫6⎧1

-+σi , n ξ-ξ+∑σi , j ξ-ξ⎬ (3-5) σi 1=-t (n -1) ⎨σi , 1ξo ξm n m i m 2j =2⎩⎭b

[()()]()

其中 σij : 第 j 个积分点上的第 i 应力分量 n : 积分点数

ξo , ξm , ξn : 沿路径起始点, 中点和终止点的坐标值. 其 中ξm =

ξn -ξo

p

某一点的峰值应力σ (Peak Stress) 定义为该点的实际应力 (Total Stress) 与薄膜加弯曲应力值之差, 所以 :

m b

在 N 1 处 , σi p =σ-σ-σi i i 1 (3-6) 11 在 N 2 处 , σi p =σi 2-σi m -σb i 2 (3-7) 2

1.3.2 轴对称

1.3.2-1 沿路径方向上应力分量

薄膜应力计算公式为:

σ 的线性化

x

σ

其中

x

m n

1

=⎰2t σx (ξ)d ξ (3-8) t -2

t

σ(ξ) : ξ 处沿路径方向的应力分量

σ

m x

: 路径方向上的薄膜应力

t : 路径的长度

由于截面上沿路径方向的应力分量一般变化较小, 所以可近似将二端的弯曲应力取为:

σx =σx 1-σx b m

=-σx σx 2σx (3-9)

b m

σx 起始点处沿路径方向应力分量的弯曲应力值

σ 终止点处沿路径方向应力分量的弯曲应力值

x

σ 起始点处沿路径方向应力分量的总应力值

x

σ 终止点处沿路径方向应力分量的总应力值

x

其中:

1

b b

2

1

2

1.3.2-2 垂直路径方向上应力分量σy 的线性化

(i).薄膜应力 如图9所示, 由路径 N1N2所定义的旋转面上在Y 方向的合力Fy 为：

F

y

=⎰

y

t 2t -2

σ(ξ)∙R (ξ)∙2πd ξ (3-10)

y

其中:

R (ξ) : 路径上ξ 处半径

σ(ξ): 路径上ξ 处垂直路径方向的应力分量

t : 路径长度

由路径N1N2所定义的旋转面面积Ay 为:

A y =R c ⋅. 2π⋅t (3-11) 其中: R C =

1

(R 1+R 2) 2

R 1: N1处的半径 R 2: N2处的半径

所以, 薄膜应力

σ

m y

为:

F σ=A

m y

y y

=

⎰σ(ξ)⋅R (ξ)d ξ

y

t 2t -2

R

c

⋅t

(3-12)

(ii).弯曲应力

如图9 所示, 在轴对称问题中由于随半径增加, 单位面积所对应的材料量增大, 致使弯曲中性面将外偏移一段距离x f ,

x

f

cos ϕ

(3-13) =12c

t 2t -2

2

由路径N1N2所定义的旋转面上Y 方向的合力矩M 为: M =

惯性矩I 为:

⎰

t 2t -2

(x -x f ) dF =⎰

(x -x )σ(ξ)R (ξ)2πd ξ (3-14)

f

I =

1

⋅2πR c t 3-2πR c tx 2f (3-15) 12

所以, N1处的弯曲应力σb y 1 为:

N2处的弯曲应力 σ

σy

b

b

=

M

(x -x )

1

f

1

I M

(3-16)

b

y 2 为:

σ=

(x -x )

2

f

(3-17)

y

2

I

1.3.2-3 环向应力分量σh (或称σz ) 的线性化

(i). 薄膜应力σ

m h

m t

σ

h

=1t ⎰2

⎛ξ⎫-t σn (ξ) ⎝

1+ρ⎪⎪d ξ (3-18) 2⎭ 其中

σm h : 环向应力分量值

ρ : 截面上中截面处的曲率半径

ξ : 沿路径的坐标 t : 路径长度

(ii). 弯曲应力

σb

h

σb

t 1h

h =-

21

⎛2

⎰(ξ-x h )σh

(ξ)⎛ 1+ξ⎫⎪t -x

2⎫⎪-t 2

⎝ρ⎪⎭d ξ ⎝

12h

⎪⎭

σb

t 2-

h

h =22

2

-t (h h

()⎛ξ⎫t ⎛ξ- 2

x )σξ 1+-2⎫ρ⎪⎪d ξ ⎪⎰⎝⎭⎝12x h

⎪

⎭

其中: x

h

=122

ρ

σb

h N1处的环向弯曲应力

1

σb

h N2处的环向弯曲应力

2

1.3.2-4 剪切应力σxy

t

σm xy

=12R t σxy (ξ)⋅R (ξ)⋅d ξc t ⎰ -2

其中 σ

m xy

: 薄膜剪切应力

σxy

(ξ) : 路径上ξ 处的剪切应力

在N1N2二端的弯曲剪切应力σh h

xy 1, σxy 2 均取为0。

1.4. 线性化结果的输出

(3-19)

(3-20)

一旦线性化完成后, 用户可以根据自己的需要, 方便地在交互方式下显示其结果

1.4.1 x-y 坐标曲线显示应力的线性化过程

如 图10 所示, 通过三条曲线, MSC.Nastran for Windows线性化模块在 xy 坐标图上同时显示了某应力分量沿路径上的分布曲线(包括积分点), 及线性化以后所得的薄膜应力线 (水平线) 和弯曲加薄膜应力线 (斜直线)

图 10 图 11

1.4.2 用滚动柜显示应力线性化的结果

如图11 所示, MSC.Nastran for Windows线性化模块显示了在该路径上的线性化结果, 其中包括:

S m : 薄膜应力

S b (@End 1) : 路径起始点的弯曲应力值 S b (@End 2) : 路径终止点的弯曲应力值

S m +S b (@End 1) : 路径起始点的薄膜加弯曲应力值 S m +S b (@End 1) : 路径终止点的薄膜加弯曲应力值 Peak (@End 1) : 路径起始点的峰值应力 Peak (@End 2) : 路径终止点的峰值应力

Total (@End 1) : 路径起始点的总应力值 Total (@End 2) : 路径终止点的总应力值

另外各应力符号的意义如下: Sxx : σx Syy : σy

Szz Sxy Syz Szx S1 S2 S3 S.I. SIGE

: σz : τxy : τyz

: τzx

: σ1 第一主应力 : σ2 第二主应力 : σ3 第三主应力

: 根据Tresca 准则求得的应力强度因子 : 根据Misis 准则求得的应力强度因子

1.4.3. 应力线性化报告

Results Along Curve 1 - Section Type:Constant

Load Case: 1.1-Default, Static Subcase

End 1 of Curve: X= 550.000 Y=1120.000 Z= -0.000 End 2 of Curve: X= 500.000 Y=1120.000 Z= 0.000

========================================================================

Sm Sb Sb Sm+Sb Sm+Sb Peak Peak Total Total @End1 @End2 @End1 @End2 @End1 @End2 @End1 @End2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sxx 31.96 45.95 -45.95 77.91 -13.99 107.32 16.08 185.23 2.09 Syy 89.28 170.84 170.84 260.12 -81.56 124.78 12.10 384.90 -69.47 Szz 341.70 24.49 -24.49 366.19 317.21 72.15 10.29 438.34 327.49 Sxy -24.23 -35.87 35.87 -60.10 11.63 -58.32 -5.36 -118.42 6.27

Syz -0.18 0.31 -0.31 0.13 -0.49 0.52 0.07 0.65 -0.41 Sxz -0.29 -0.28 0.28 -0.57 -0.01 -1.08 -0.13 -1.64 -0.14

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ S1 341.70 366.19 317.21 440.64 327.49 S2 98.15 278.16 -12.05 437.66 2.64 S3 23.09 59.87 -83.51 130.17 -70.01 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ S.I. 318.61 306.32 400.72 310.47 397.50 SIGE 288.50 273.16 370.19 308.99 366.62 ========================================================================