5.5用二次函数解决问题(1)
5.5用二次函数解决问题(1)【利润最值问题】
班级______学号_____姓名___________
【学习目标】
1. 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,了解数学的应用价值。
2. 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
【学前准备】
1. (2015江苏淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤。通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤。为了保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售。
(1)若将这种水果每斤的售价降低x 元,则每天的销售量是 斤(用含x 的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
2.某商店经营T 恤衫, 已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查, 销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内, 单价是13.5元时, 销售量是500件, 而单价每降低1元, 就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时, 可以获利最多?
问题(1)总利润= × ,单件利润= — 。
(2)在这个问题中有那些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(3)根据前面的分析我们若设每个涨价x 元,总利润为y 元,此时y 与x 之间的函数关系式是 ,化为一般式 。
这里y 是x 的 函数。现在求最大利润,实质就是求此二次函数的最值,你会求吗?试试看。
【合作探究】
例1. 某种粮大户去年种植优质水稻360亩,平均每亩收益440元.他计划今年多承租若干亩稻田.预计原360亩稻田平均每亩收益不变,新承租的稻田每增加1亩,其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元.该种粮大户今年应多承租多少亩稻田才能使总收益最大?
例2. 某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系:
(1)已知y 是x 的一次函数,求销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数表达式;
(2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P 元,根据日销售规律:试求出 日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数表达式,并求出日销售单价x 为多少元时,才能获得最大日销售利润?
例3. 某果园有100棵橙子树, 每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量, 但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计, 每多种一棵树, 平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量y 个与增种橙子树的棵数x 之间的关系.
⑵在上述问题中, 种多少棵橙子树, 可以使果园橙子的总产量最多?
⑶增种多少棵橙子, 可以使橙子的总产量在60400个以上?
【课堂练习】
1.函数y =(m -1) x m -2mx +1是抛物线,则m = .
2.抛物线y =-x 2-2x +3与x 轴交点为,与y 轴交点为3.二次函数y =ax 2的图象过点(-1,2),则它的解析式是,当x 时,y 随x 的增大而增大.
224.抛物线y =6(x +1) -2可由抛物线y =6x -2向平移个单位得到.
12225.在同一坐标系中,作y =2x 、y =-2x 、y =x 的图象,它们共同特点是 ( ) 2
A. 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B.都是关于y 轴对称,抛物线开口向下
D. 都是关于原点对称,顶点都是原点 D.都是关于y 轴对称,顶点都是原点
6.抛物线y =x -mx -m +1的图象过原点,则m 为( )
A .0 B.1 C.-1 D.±1
7.把二次函数y =x -2x -1配方成顶点式为( )
2222+1
A .y =(x -1) 2 B. y =(x -1) 2-2 C.y =(x +1) 2+1 D .y =(x +1) 2-2
8.已知原点是抛物线y =(m +1) x 2的最高点,则m 的范围是( )
A . m -1 D. m >-2
9.抛物线y =x 2+4x +3在x 轴上截得的线段长度是 .
10.某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增加承租x (100≤x≤150)亩,预计,原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收益为(440-2x )元,试问,该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻,才能使总收益y 最大?
11.某商店购进一批单价为20元的日用品, 如果以单价30元销售, 那么半个月内可以售出400件. 根据销售经验, 提高单价会导致销售量的减少, 即销售单价每提高1元, 销售量相应减少20件. 如果售价为x 元,总利润为y 元。
(1)写出y 与x 的函数关系式
(2)当售价x 为多少元时,总利润为y 最大,最大值是多少元?
【课后作业】
1.关于二次函数y=ax+bx +c 的图象有下列命题:
2①当c=0时,函数的图象经过原点;②当c >0且函数图象开口向下时,方程ax +bx +c=0必2
4ac -b 2
有两个不等实根;③当a <0,函数的图象最高点的纵坐标是;④当b=0时,函数的4a
图象关于y 轴对称.其中正确命题的个数有( )
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
2.某类产品按质量共分为10个档次,生产最低档次产品每件利润为8元,如果每提高一个档次每件利润增加2元.用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,每提高一个档次将少生产3件,求生产何种档次的产品利润最大?
3. 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元,其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少?
4. (2015江苏南通)某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元。若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元。已知该服装成本是每件200元。设顾客一次性购买服装x 件时,该网店从中获利y 元。
(1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
5.某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾,预计平均每千尾鱼的产量为1000kg .若再向该鱼塘里投放鱼苗,每多投放鱼苗1千尾,每千尾鱼的产量将减少50kg. 应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大?最大总产量是多少?