高二数学8.4双曲线的第二定义

课 题：8．4双曲线的第二定义 教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、234．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的授课类型：新授课课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性

x2y2

由标准方程221，从横的方向来看，直线x=-a,x=a

ab

之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲

2．顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0 特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴虚轴：B1B2长为2b，b叫做双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的3．渐近线

x2y2

过双曲线221的两顶点A1,A2，作Y轴的平行线

abxa，经过B1,B2作

X轴的平行线yb，四条直线围成一

b

a

个矩 矩形的两条对角线所在直线方程是yx（

xa

y

0） b

4．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率

e

等轴双曲线可以设为：x2y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为

y

bkb

xx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：aka

x2y2x2y21(k0)或写成2222

ab(ka)(kb)

6．双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线

7．离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e范围：e1

2cc

，叫做双曲线的离2aa

bc2a2c2

双曲线形状与e的关系：k1e21，e2

aaa

越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就由此可知，双曲线的离心率越大，它

8．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的 区别：三量a,b,c中a,b

不同（互换）c 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为

共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特

x2y2征：可设为2(0)，当0时交点在x轴，当0

1k

时焦点在y

二、讲解新课：

9． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e(ca0) 其中，定

c

a

常数e

是双曲线的离心率． 10．准线方程：

x2y2

对于221来说，相对于左焦点F1(c,0)对应着左准线

aba2a2

l1:x，相对于右焦点F2(c,0)对应着右准线l2:x；

cca2b2

位置关系：xa焦点到准线的距离p（也叫焦

cc

y2x2

对于221来说，相对于上焦点F1(0,c)对应着上准线

aba2a2

l1:y；相对于下焦点F2(0,c)对应着下准线l2:y

cc

11 .双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线

x2y2

21 (a0,b0)， 2ab

F1,F2

则由第二定义：

MF1d1

e， 

MF1x0

ac

2

e MF1aex0

同理 MF2aex0即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aex0 MF2aex0

同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

MF1aey0

MF2aey0

（ 其中F1,F2分别是双曲线的下

上焦点）

点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值12．焦点弦：

焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点A(x1,y1)B(x2,y2) 当双曲线焦点在x轴上时， 焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

过左焦点与左支交于两点时： AB2ae(x1x2过右焦点与右支交于两点时：AB2ae(x1x2当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：2ae(y1y2)过右焦点与右支交于两点时：2ae(y1y2)13．通径：

2

直接应用焦点弦公式，得到 d三、讲解范例

a2

例 点p(x,y)与定点F2(c,0)的距离与到l:x的距离之比为

c

常数(ca0)，求Pca

解：设d是点P到直线l的距离．根据题意得

(xc)2y2a2

|x|

c

2



c a

xy

化简，得 221（a0,b0）

ab

2

四、课堂练习：

练习1

A

练习2：

D

练习3

26

练习4：

B

16

5．双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C）

（A）4, 3, 4, 3,

5

4

14

（B）8, 6, 7

1

45

（C）8, 6, （D）7

4

6．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8， e=的双曲线的标准方程为（A）

x2y2x2y2x2y2

（A）1 （B）1 （C）1 （D）

1691625916x2y2

1 2516

54

x2y2

7．双曲线1的两条准线间的距离等于（A）

34

（A）

67

7 （B）

37

7 （C）

1816 （D） 55

y2x2

8．若双曲线1上一点P到双曲线上焦点的距离是8，

6436

那么点P到上准线的距离是（D） （A）10 （B

32（C）27 （D）

59．经过点M(3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D）

（A）y2―x2=8 （B）x2―y2=±8 （C）x2―y2=4 （D）

x2―y2=8

10．以y=±x为渐近线的双曲线的方程是（D）

（A）3y2―2x2=6 （B）9y2―8x2=1 （C）3y2―2x2=1 （D）

2

3

9y2―4x2=36

11．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （2,900）

x2y2

12．从双曲线221 (a0,b0)的一个焦点到一条渐近

ab

线的距离是 .(b)

x2y2

13．与1有公共焦点，且离心率

4924

e=的双曲线方程

54

x2y2

是 (1)

169

14．以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为

x2y2

1) 焦点的双曲线的方程是 . (

35

y2x2

15．已知双曲线1上一点到其右焦点距离为8，求其

6436

96

） 5

五、小结 ： 六、课后作业：

1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B）

x2x2x2x2y2222

（A）―y=1与y―=1 （B）―y=1与1

33393

x2y2x2y2x222

（C）y―=1与x― （D）―y=1与1

33339

2

2．若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则必有（D） （A）e1= e2 （B）e1 e2=1 （C）

1

e1

111

=1 （D）22=1 e2e1e2

1

3

3．若双曲线经过点(6, )，且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是（C）

x2y2x2y2x2

（A）1 （B）1 （C）y21 （D）

9369819x2y2

1 183

4．双曲线的渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为（C） （A） （B）2 （C）或 （D）

x2y2

5．如果双曲线1右支上一点

169

54

54

53

12

34

5

或

3

P到它的右焦点的距离

等于2，则P到左准线的距离为（C） （A）

2469

（B） （C）8 （D）10 510

6．已知双曲线kx22ky24的一条准线是y=1，则实数k的值是（B）

（A） （B）― （C）1 （D）―1

x2y2

7．双曲线1的离心率

4k

23

23

e∈(1, 2)，则k的取值范围

是 .(12,0)

x2y2

8．若双曲线1上的点

169

M到左准线的距离为，则M

89) 8

52

到右焦点的距离是 .(

9．双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(3:1)

y2x2

10．在双曲线1的一支上有不同的三点

1213

A(x1, y1),

B

6), C(x3, y3)与焦点F间的距离成等差数列，则y1+y3

等于 .(12) 七、板书设计