现代数学专论简介

现代数学专论

周**纺织学院纺织材料与纺织品设计专业纺硕1507班学号c21500**

摘要现代数学中，建立在测度论基础上的概率论与数理统计在理论研究和实际

工业、经济、管理等领域应用起到了重要作用。故加深对其认识也显得愈加必要。作为以前没有深入了解过数学专业的工科学生，我想在这篇文章中扼要厘清测度论及其相关的知识板块，并证明部分基础定理。希望没有浑浑噩噩的混过这门严肃而又有趣的课程，希望能小有所学，希望能通过对测度论（包括概率论和数理统计）的基础认识，对以后的学习、研究生涯做一定铺垫。而且对于数学的崇敬和向往也使我对这门课程和闫老师有所期待和相当感激。限于自己在这个领域的能力，本文可能有较大篇幅参考其他专著和文献，恳请闫老师和其他读者宽谅。本文讲述基础概念，如集合论、概率、随机变量与分布函数、数学期望和条件数学期望和中心极限定理，把测度论的基本内容和概率论的基本内容结合在一起讲述, 在本文后半部分主要解决闫老师课上布置的几道题目。

关键词集合论测度论概率论随机过程习题证明

一、背景基础知识（集合论）

在建造房子时，建设者会用与其他部分不一样的材料来打造地基，同样对于每一个数学分支都以公理集合论作为其理论基础，这个基础被大多数关注基础理论的逻辑学家和数学家所接受，但是只有少数数学家有时间或意愿去详细研究公理集合论。

作用另一个比喻，高级计算机语言和他们编写的程序建立了计算机软件的基础。但是编写高级计算机语言的人需要了解多少计算机操作系统的知识则取决于他手边的问题。

在现代实分析、测度论中，集合论的问题要比以前代数、复分析、几何和应用数学中的问题要多。例如，在实分析中相对较近发展的“非标准分析”允许正数可以无限小但不为零。非标准实分析比早期发展的实分析更强的依赖于集合论的特性。这里给出集合论的最基本知识。 1、集合论的定义和实数系

定义至少有两个目的。首先，就像一本普通字典一样，定义试图给出见解，传达一种思想，或者用熟悉的概念去解释陌生的概念，但并不详尽说明或彻底研究所定义单词的全部意义，我们称这种定义为非形式定义。但在大多数数学和其它科学领域中，形式定义实完全准确的，因此，人们可以科学地判断一个有关命题的真伪。在形式定义中，一个熟悉的术语（例如，普通的长度单位或是数字）可以用不熟悉的术语定义。集合论中大多数定义都是形式的。其次集合论的另一个目的是不单为自己也为所有数学分支提供清晰的逻辑结构，由此就产生从哪里开始

定义的问题。

非形式的字典定义常常有一些同义词组成。例如，字典中“渺小”与“微小”相互定义，这种定义对于知道其中一个词的人来说有帮助，但是对于一个通过字典来学习汉语的人来说，这种定义是无效的。这种情况在一定程度上反映了人们在学习中所遇到的困难，因为字典中所有单词都是用其他单词来定义的。因此人们在开始时至少弄清字典中一些单词的意思，而不是在用到时才去翻字典。

有些单词（例如“与”、“或”和“但是”这三个连接词）非常常见，但很难用另外的词来定义。这是我们通过一些规则来定义含有连词的句子的含义，其中用这些连词连起来的单词或短语的词义我们已经给定。

乍一想，你也许认为集合论最重要的定义是“集合”，但是恰恰相反，因为数学的整个逻辑结构规约为集合或是由集合来定义，因此不能给出它的一个形式的定义。相反，有一些规则（公理、推理规则等）能起到定义集合的作用。一个初步的、非形式的集合定义是“任何数学对象的全体”，但是随着学习的深入我们对这个定义不断地加以明确和修正。

在某些方面，定义集合的问题类似于定义数的问题。经过几年的学习之后，学生们知道了0、1、2、3，... 这些数，并且知道了它们之间的运算规律，但是很多人还是很难确切地说明什么是数，即使人们完全同意算术规律，但是不同的人可能会给出数字“1”的不同定义。

一种方法是从0开始，通过取“后继者”或下一个更大的数。如果定义了0，那么0之后的数也就确定了。如果用0及它的后继者来定义一个序列0，0',0",0"',... 我们可以得到通常的整数定义。为了做到这一点，我们将在等号之前加上冒号“：=”表示“定义为相等”，例如1:=0'，2:=0"，3:=0"',等等，这样一直做下去，这些定义都是精确的，这样人们可以得到一本厚厚的字典，相当精确（尽管不太实用）但还不完整，因为0和后继者运算没有被形式定义。大多数数系结构可以通过给定的0和后继者的规则来确定。例如，一种规则是：假如m'=n'，则m=n.

简言之，如果我们想要尽可能精确地建立严格的数学逻辑结构，那么非形式的定义会帮助人们解释结构。然而，我们至少还要保留一些未被定义的基本概念。下面给出公理体系和其他规则。这里再次给出集合的非形式定义：一个集合是任何对象的全体。在数学上，这种对象将是数学对象，例如数、点、向量，或者其他的集合。（实际上，从集合论观点来看，所有的数学对象都是一种集合。）如果对象x 是集合y 中的元素，记做“x ∈y ”，读作“x 属于y ”或者“x 在y 中”，如果集合S 是一个有限集，那么集合S 中的元素可以排列成一个有限列x 1. x 2..... x n, 那么S 可以写作S={x1,x 2,...x n }。集合A 包含于集合B 中，或者A 是B 的子集，记做A ⊂B ，当且仅当A 中的每一个元素都是集合B 中的元素。“if and only if”有时简记为“iff ”.

集合论中有一个重要的规则称为“外延性”。它是说，如果两个集合A 和B 有完全相同的元素，即对于任意的元素x,x ∈A 当且仅当x ∈B, 那么两个集合相等。记做A=B.没有任何元素的集合称为空集，记做“∅”，即对于所有的x, 都有x ∉∅. 由外延性，这个集合是唯一的。A ∩B 称为A 与B 的交集，定义为A ∩B:={x∉A: x ∉B}.换句话说，A ∩B 是所有既属于A 又属于B 的x 所组成的集合。A ∪B 称为A 和B 的并集，表示对任意的x ∈A ∪B 当且仅当,x ∈A 或x ∈B(或两者同时属于) 。A ∖B(读作”A 减B”) ，表示所有在A 中而不在B 中的x 所组成的集合。对称差A △B 定义为（A ∖B ）∪（B ∖A ）. 用ℕ表示所有的非负整数0，1，2，3„的集合。有序对非形式定义为由一对给定次序的数学对象组成，例如,这里x 称为有序对

的第一个元素，y 为第二个元素。数学中的主要概念之一是函数。函数的非形式定义是，给定两个集合D 与Ｅ，Ｄ上函数定义为：对于Ｄ中的每一个元素x ，在E 中有唯一的元素f （x ）和他对应。函数的形式定义为，一个函数定义为有序对的一个集合f ，使得对于任意的x,y 和z ，如果∈f 且∈f ，则y=z.函数的有序数对的集合非形式定义称为函数的图形。函数f 的定义域是使得对某些y ，∈f 的所有x 的组成的集合，记做dom f.由函数的定义，y 是唯一确定的。

如果X 是任意一个集合，A 是X 的任意一个子集，A(在X 上) 的示性函数（indicator function）定义为

⎧1, x ∈A I A (x ) :=⎨0, x ∉A

⎩

（许多数学家称这个函数为A 的特征函数（characteristic function.）在概率论里，“特征函数”是指傅里叶变换）

一个序列（sequence ）是定义在ℕ或者所有正整数集合{1，2，3，4 … }上的函数。对所有的n ，满足f (n ) =x n 的序列f 通常写为{x n }n ≥1。

在形式场合下，每个集合都是集合的集合（集合的每个元素也是一个集合）。如果一个集合被非形式的看做由一些集合所组成的，那么我们称之为集族、集类，或者集合的全体。设ν是一个集族，那么ν的并集（union ）定义为

∪ν：={x:对某些A∈ν，x ∈A+

同时，非空集的交集（intersection ）定义为

∩ν：={x:对某些A∈ν，x ∈A+

于是，对于任意两个集合A 和B ，∪{A，B+=A∪B，∩{A，B+=A∩B。

更一般地，令I 是任意一个集合，设A 是定义在I 上的函数，其值是集合

A i :=A (i ) ，那么所有的这些集合Ai 的并集写为

A := A := {x:对某些i ，x ∈A }。

i

i

i

i ∈I

在这种情况下，集合I 称为指标集（indexset ），这意味着I 是函数i A i 的定义域。

同样的，交集可以写为

A = A := {x:对某些i ，x ∈A }。这里的I 通常是一个非空集合。在I 是空

i

i

i

i ∈I

集的情况下，我们可以令 A i =X 。

i ∈∅

2，关系和序、势、选择公理及其等价形式的基本概念

一个关系（relation ）就是有序对的任意集合。对于任意的关系E ，逆关系定义为

E

-1

:={:∈E }因此，函数是一种特殊的关系，它的逆不必是一个函数。一

个关系E ⊂X ×X 称为等价关系（equation relation），当且仅当它在X 上是自反的、对称的和传递的。等价关系的特例是等式。给定一个等价关系E ，一个等价类（equivalence class）是具有如下形式的集合。：对任意的x ∈X , {y ∈X :yEx }。从等价关系的定义可以推出，两个等价类或者不相交，或者相等。一个关系E 称为是反对称的（antisymmetric ）, 当且仅当若xEy, 且yEx, 则x=y.给定一个集合X ，一个偏序（partial ordering）是一个传递的、凡是对称的关系E ⊂X ×X ，那么 称为偏序集（partially ordered set）。

两个集合X 和Y 有相同的势（same cardinality）, 当且仅当它们之一存在一个从X 映射到Y 的一对一对应的函数，我们说这两个集合的元素个数相同。等价定理：设A,B 是两个集合，f 是A 映射到B 的1-1的函数，g 是从B 映射到A 的1-1的函数，则集合A 和B 有相同的势。实数集ℝ和区间[0,1]:={x∈ℝ: 0≤x ≤1}的势均为c. 对于任意的集合X ，X 的势小于

2

x

的势。

选择公理AC ：设A 是集合I 上的函数，且对于所有的x ∈I ，有A (x ) ≠∅，则存在函数f ，使得所有x ∈I ，有f (x ) ∈A (x ) 。

笛卡尔积

∏A

x ∈I

函数f 满足对于一切(x ) 定义为I 上所有函数f 的集合，

x ∈I ，f (x ) ∈A (x ) 。

那么AC 公理说明：非空集合的笛卡尔积是非空的。这里一般称I 为指标集，f 为选择函数。下面三个命题可以证明与AC 等价：

良序定理（WO ）每一个集合都能被良序化

豪斯多夫极大定理（HMP ）对于每个偏序集（P , ≤）, 存在极大链L ⊂P

佐恩定理（ZL ）设（P , ≤）是偏序集，使得对每个链L ⊂P ，存在上界y ∈P ，即对于一切x ∈L, 有x ≤y, 则P 有极大元素[2]。

二、集函数、测度与概率

1. 基本概念与性质

在建立了随机事件类和基本事件集合Ω的某一字集类的对应关系之后，概率就是以集类为定义域的函数，这种函数叫做集函数。

Ⅰ. 若A ∈E , B∈E ，A ⋃B ∈E ，A ⋂B ∈∅, 有

φ（A+B）=φ（A ）+φ（B ），则称φ具有可加性，或称φ为可加集函数；

Ⅱ. 若对任意正整数n 及任意A k ∈E , k =1,..., n , ∑A k ∈E , 两两不相交且

k =1

n

∑A ∈E ，均有 ϕ(∑A ) =∑ϕ(A ) 成立，则称φ具有可加性，或称φ有可加集函

k

k

k

k =1

k =1

k =1

n n n

数；

Ⅲ若An ∈E，n=1,2,„两两不相交且∑An ∈E , 则ϕ(∑An ) =∑ϕ(An ), 就

n =1

n =1

n =1

∞∞∞

称φ具有σ-可加性，或称φ有σ-可加集函数；

Ⅳ. 若每一个φ（A ），A∈E，都是有限值，则称φ为有限集函数。若对每一个A∈E，

有E中的集序列*An+⊂E存在，使得A=集函数；

An 且φ（An ）,n=1,2,… 有限，则称φ为σ-有限

n =1

∞

Ⅴ. 若集函数为有限可加的且只取非负值，则称有限可加测度，若集函数为

σ-可加的且只取非负值，则成为测度（一般用μ，ν表示）. 具有性质μ（Ω）=1的测度称为正规测度，亦称概率，一般用P 表示。

对于可加集函数（包括有限可加与σ-可加集函数），为了要使和数永远是有意义的，必须排除出现+∞，-∞的可能。

区间长度是关于测度的一个典型例子。现代测度论是由博雷尔和勒贝格大约在1990年发展起来的，首要任务就是把长度的概念拓展到实直线的一般子集上，在把区间长度表示为其他区间的有限不相交的并时，用左开右闭的区间比较方便。对于a ≤b ，长度是通过λ((a , b ]):=b -a 来定义的。在扩充的实数体系

[-∞, +∞]:={-∞} {+∞}中，-∞和+∞不是两个真正的实数。+∞通常简单地

记做∞。对于任意实数x ，令-∞

定义给定一个集合X ，集类A⊂2称为环（ring ），当且仅当∅∈ A，且对所有的A ，B∈A，有A∪B⊂A。一个环A称为代数当且仅当X∈A，一个代数A称为是σ-代数（σ-algebra ），如果对任意的集合序列*An+⊂A，有 A n ∈A。

n ≥1

x

测度空间与概率场

设Ω是一个集合，A是Ω的一些子集构成的σ-代数，μ是A上的测度，则称Ω是空

间，（Ω，A）是可测空间，（Ω，A，μ）为测度空间，A中的元称为A=可测集或简称可测集。

设Ω是一个基本事件集合，A是Ω的一些子集构成的σ-代数，P 是A上的概率，则称Ω是基本事件空间，（Ω，A）是可测空间，（Ω，A，μ）为概率空间或概率场，则

a ）非负性. 对一切A ∈A，P(A)≥0； b ）正规性.P （Ω）=1,；

c ）σ-可加性. 若An∈A，n=1,2,…n两两不相交，则P (

∑An ) =∑P (An );

n =1∞

n =1∞

∞∞

d ）有限可加性. 若Ak∈A,k=1,2,…n两两不相交，则P (e ）可减性. 若A,B∈A，B⊃A，则P(B-A)=P(B)-P(A). f ）不降性. 若A,B∈A，B⊃A，则P(A)≤P(B).

∑Ak ) =∑P (Ak );

k =1

k =1

g ）加法公式：. 若A,B∈A，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

2. 分布函数

随机变量是可测空间上具有极限值的可测函数。从概率论的观点主要是研究随机变量取值的概率规律。我们将会看到，随机变量的分布函数完全描述了随机变量取值的概率规律，而且他是我们比较熟悉的欧氏空间上的点函数，较之抽象空间上的集函数易于掌握。由于只有实随机变量才有分布函数，因此将实随机变量一律简称为随机变量。将（ξ1，…，ξn）的分布函数一律记作F （x1,„,xn ） 分布函数具有以下性质： a ）∆

x k b k , a k

F ≥0. 其中a=(a1,„,an ),b=(b1,„,bn ),a k ≤b k ,k=1,„,n;

b ）F （x1,„,xn ）对每一个自变量左连续；

c ）对于任意1≤k 1

d ）F （∞，„，∞）=1. 在下面将逐条给出证明。 3. 特征函数

定义设（ξ1，…，ξn）是n 维实随机变量，则称

f (ξ1,..., ξn ) (t 1,..., t n ) E (exp{i ∑t k ξk }),(t 1,..., t n ) ∈R (n )

k =1n

为（ξ1，…，ξn）的特征函数。

为了书写简单，常采用矩阵的符号. 以t,x 及ξ分别表示一行n 列矩阵（t 1,„,tn ）, （x1,„,xn ）及（ξ1，…，ξn），用A /表示矩阵A 的转置矩阵。

分布律与特征函数之间存在一一对应的关系。因此求出了随机变量的特征函数，便可知其分布律，有特征函数的某些性质便可推知分布律的相应性质。不仅如此，在分布律的某种收敛意义下的极限分布与特征函数的极限之间也存在着对应关系。因此由特征函数的极限函数有时可以推知极限分布律，因而推知随机变量序列的极限分布。特征函数是一种有界连续函数，比分布函数及分布律更易应用分析工具。独立随机变量，特别是独立随机变量和以及与之有关的问题在概率论的发展中有重要地位，为要研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数。

三、所留作业题的证明

问题一F （x1,„,xn ）对每个自变量x k 是不降的，即对于一切1≤k ≤n,b k ≥a k , 有∆

x k b k , a k

F ≥0.

证 由分布函数的定义和概率论的非负性可知

x k ∆F =F (...x k -1, b k , x k +1,... ) b k , a k

-F (...x k -1, a k , x k +1,... )

=P (...,ξk -1

当存在k, 使a k =bk 时，∆ba F=0.[1]

问题二 设a km ≤b km ,m=1,„,l,k1,„,kl 是1，„，n 中l 个不同的数，则

P ( {a k m ≤ξk m

m =1

h ≠k m

l

=∆因而

∆

x kl x kl

... ∆F , l =1,..., n ------(6) b kl , a kl b kl , a kl

x kl x kl

... ∆F ≥0------(7) b kl , a kl b kl , a kl

特别，若a k ≤b k ,k=1,…,n,则Δb,a F≥0—————（8）

证：只要证明（6）式成立，其他结论立刻得到。由上面的问题一知，当l=1时，（6）式成立。设（6）对l-1成立，则由概率的性质、

{a k m ≤ξk m l -1

P ( {a k m ≤ξk m

m =1

h ≠k m

-P ( {a k m ≤ξk m m =1

h ≠k m

l -1

=∆=∆

x kl b kl , a kl x kl b kl , a kl

[∆

x kl -1b kl -1, a kl -1

x k 1b k 1, a k 1

F .

... ∆

x k 1b k 1, a k 1

F ]

... ∆

此即（6）式对l 的情形也成立。

问题三 设k 1,„,kl 是1，„，n 中l 个不同的数，b k1,„,bkl 是任意给定的l 个实数，则

a ki →b ki i =1,..., i

lim ∆

x kl b kl , a kl

... ∆

x k 1b k 1, a k 1

F ------(9)

对一切实数x h (h ≠k 1,..., k l ) ，因而F (x 1,..., x n ) 对每一个自变量是左连续的，即对任一k(1≤k≤n)

`x k →x k -0

lim F (...x k -1, xk `,x k +1, ...) =F (...x k -1, xk , x k +1, ...) ------(10)

证：令{εm }为趋于零的递减正数序列，我们先证

m →∞

lim ∆

x kl x k 1

... ∆F =0------(11)

b kl , b kl -εm b k 1, b k 1-εm 1

由（6）知

x kl x k 1

∆... ∆F b kl , b kl -εm b k 1, b k 1-εm 1

=P ( {b ki -ξm ≤ξki

i =1

h ≠ki

l

记上式右端括号中的事件为Am ，则由εm ↓知Am↓ Am , 再由εm →0，易证

m =1

∞

Am =∅，因此由概率的连续性及（12）式知（11）式左端等于

m =1

m →∞

∞

lim P (Am ) =P ( Am ) =0

m =1

∞

今再应用（11）式来证明（9）式. 设ε为任意整数，则由（11）式知必有一εm 存在，使

0≤∆

x kl x k 1

... ∆F

b kl , b kl -εm b k 1, b k 1-εm 1

于是当b ki -ξm

0≤∆

x kl x k 1

... ∆F b kl , a kl b k 1, a k 1

=P ( {b ki -ξm ≤ξki

i =1

h ≠ki

l

其中用到事件的关系式

{b

i =1

l

ki

-ξm ≤ξki

h ≠ki

及概率的不降性. 故（9）式获证。在（9）式中，令l=1,k1=k, ak = a`k , bk =xk , 即得（10）式.

问题四 F （x1,„,xn ）还满足

F （„，x k1-1,-∞,x k1+1,„,xkl-1,+∞，x kl+1,„）=0-----------（14） F ξk1, …,kl(xk1,…,xkl )

=F(…,∞,xk1, ∞,…∞,xkl ,∞),----------------------(15) F(∞,…∞)=1,-----------------------------------(16)

其中，k 1, …,kl 是1，…，n 中的l 个不同的数，而（14）的左端，（15）的右端及（16）的左端分别表示下列三极限：

lim F (x 1,..., x n ), lim F (x 1,..., x n )

x km →-∞m =1,..., l x k →∞m =1,..., l

x h →∞m =1,..., l

lim F (x 1,..., x n ).

证：（14）到（16）的证明与问题三完全类似。这里只证（15） 为了证明（15），先证：若{r}是正整数序列，则 F ξk1, …,kl(xk1,…,xkl )

=lim F (...r , x k 1, r ,..., r , x kl , r ,...). --------(17)

r →∞

为此令

Br = {ξkm

m =1

k ≠k m

l

则易见B1⊂B2⊂…，且由ξk 有限知

Br = {ξ

r =1

m =1

∞l

km

于是由分布函数的定义及概率的连续性知（17）的右端等于

lim P (Br ) =P ( {ξkm

r →∞

m =1l

因而式（17）获证。

设ε为任意正数，则由式（17）知必有-r 使

P(Br)≤F ξk1, …,kl(xk1,…,xkl )

则当x k >r, k≠k1,…,kl 时，Br ⊂ {ξk

k =1

m =1

n

l

P (Br ) ≤P ( {ξk

k =1

n

于是由（19）知

0≤F ξk1, …,kl(xk1,…,xkl )

问题五设（ξ1，ξ2）是按二维正态N （a 1,a 2, σ12, σ22,r ）分布的随机变量，且|r|

2

⎧-1(μ-a 1) 2x 1x 21(μ-a 1) ⨯(ν-a 2) (ν-a 2) ⎫

F (x 1, x 2) =exp [-2r +]⎬d μd ν⎰22⎰-∞2πσ1σa 1⨯a 2σ1σ2⎭-∞而

-

12(1-r )

2σ12σ1

222

[

(μ-a 1)

2

σ1

--

2

-2r [

(μ-a 1)(υ-a 2)

σ1σ2

+

(υ-a 2)

2

σ2

2

]

=-=-

(μ-a 1) (μ-a 1)

2

2

υ-a 2(μ-a 1) 2

-r -]2

2(1-r ) σ2σ1

112(1-r ) σ1

2

],

[υ-a 2-

2

r σ2(μ-a 1)

σ1

且由分布函数的性质四知

F ξ1(x 1) =lim F (x 1, x 2)

y →∞

-(μ-a 1)

=

e -∞

x 1

2

σ1

⨯⎰

+∞

-∞

exp{-

1r σ2(μ-a 1) 2

⨯[υ-a 2-]}d υ]d μ. 22

2(1-r ) σ2σ1

对于任意给定的μ来说，令

t =

+∞

υ-a 2-

r σ2(μ-a 1)

σ1

],

则易知上方括号中的积分等于

⎰

-∞

e dt =

-t 2

+∞

e -t dt =1,

2

从而可知ξ1是按N （a 1, σ12）分布的，同样可证ξ2是按N （a 2, σ22, ）分布的.

问题六设{ξn}是独立同分布随机变量序列，且它们的数学期望有限，E ξn=a,则对任何ϵ>0，

lim P (|

n →∞

1

∑ξk -a |

n

证：a ）首先注意，若能证明

ηn =1(ξ

∑

k =1

k -a )

的特征函数

f ηn (t ) →1，----------------------------（5）

则定理即可获证。若（5）式成立，则有一R （1）上的L-S 测度μ，使

P ηn →μ

w

且μ的特征函数是恒为1的函数. 由特征函数和L-S 测度相互唯一决定，显然μ是集中在原点的概率测度，即

μ(R (1)) =μ({0})=1.

于是不以原点位端点的任何区间都是μ的连续区间。由P ηn →μ知对任何ϵ>0，

lim P (|

n →∞

w

1

P ηn ((-ε, ε)) ∑ξk -a |

≥lim P ηn ([-, ε)) =μ[-, ε)) =1.

n →∞22

εε

又因为P 是概率，故

lim P (|

n →∞

1

ξk -a |

b ）往证（5）式. 令ξ' n =ξn -a , n =1,2,... 则由假设知{ξ' n }独立同分布且数学期望为零的随机变量序列，且ηn =∑

k =1n

ξ' k

n

。于是，

f ηn (t ) =∏f

1

f ξ'

t n t

(t ) =f ξ' () =[f ()] ∏k k

n

其中f(t)为ξ' k 共同的特征函数。由于E ξ' k =0，故

t t t

f () =1+ο()(→0) 。于是当t 给定时， n n n

t t

log f ηn (t ) =log(1+ο()) n =n log(1+ο())

n n

t

=n ο() →ο(n →∞)

n

故（5）式获证. 即（4）式成立。

问题七 设ξnk ，k=1,„,kn 是独立随机变量, a nk E ξnk , σ2nk D ξnk 存在且有限，并满足

max σ2nk →0, ∑σ2nk ≤c

k

k

则

如果∏f nk (t ) →g (t ) , 则g(t)必是特征函数, 而且具有e ψ(t ) 的形式，其中ψ

κ

（t ） 形如（12）。从而满足条件（C ）的独立随机变量和一切可能的极限分布律的特征函数与一切形如e ψ(t ) 的函数类重合 证：若∏f nk (t ) →g (t ) ，即e

κ

i

∑a nk t

k

∏f

k

-

nk

(t ) →g (t ) 。由引理1，知对每一个固定

-

的t, 存在

-

n t , 当

-

n ≥n t 时，

∑log f

k

nk

(t ) 有意义且有界，

∑l o f g

k

k

n k

t -(∑)

k

f f f

--nk

[t n l -k o →g 于是(

exp{i ∑a nk t +∑log

k

(t )}→g (t ),

exp{i ∑a nk t +∑log

k

k

nk

(t ) -1}→g (t ).

即

exp{ψnk (t )}→g (t ).

于是由引理3’知g(t)=e ψ(t ) ,ψ(t)具有（12）定义的形式，因而连续。于是

ψ(t )

f (t ) →e ∏nk κ

e ψ(t ) 连续，因而是随机变量的特征函数。得证。

以上为闫老师布置的作业中一部分。但由于现实、本身专业知识限制，

学生本人不能按要求完成闫老师布置的全部作业，故不得不从闫老师上课讲的内容中挑选一部分测度和概率方面的定理、引理、推论、性质的证明，一来是可以回顾温习、二来是可以解决应该完成的工作，三来是可以对类似证明做参考、了解和学习。恳请闫老师谅解。以下不是闫老师布置的直接作业，但应该都是上课时提到过的定理、引理的证明。

拓展一若ξn →ξ ,则|ξn|r 一致可积.

证明：对ξn χA , ξχA 利用C r -不等式，

r

⎰|ξ

A

n

|≤C r ⎰|ξ|+C r ⎰|ξn -ξ|

A

A

r

r

A

r r r

≤C r ⎰|ξ|+C r ⎰|ξn -ξ|

r

由于ξn →ξ，当n >n 0（与A 无关）时，⎰|ξn -ξ|

r

ε

2Cr

，而由⎰|ξ|dP →0（当

A

r

⎰|ξ

A

n

|dP n 0

r

A

r

对于前面有限个积分⎰|ξn |dP , n =1,..., n 0，由于当P(A)→0时，它们分别以零为极限，所以存在δ2，使得当P(A)

⎰

A

|ξn |dP

r

A

r

于是当P(A)

⎰

A

|ξn |dP

r

r

r

r

⎰|ξn |dP ≤C r ⎰|ξ|dP +C r ⎰|ξn -ξ|dP

不难看出⎰|ξn |dP 一致有界，因而利用引理1，|ξn|r 一致可积.

拓展二如果{Xn}是(上）鞅,T 是马尔可夫时间（停时），则对任意n=1,2，„，

E [X 0](≥) =E [X T ∧n ](≥) =E [X n ]

r

证明：利用引理3.1，

E [X T ∧n ]=∑E [X T I {T

k =0

n -1

=k }

]+E [X n I {T

≥n }

≥n }

]

[当T=k时，X T =Xk]

=∑E [X k I {T

k =0

n -1

n -1

=k }

]+E [X n I {T ]

(≥) =∑E [XnI {T

k =0

=k }

]+E [X n I {T

≥n }

]

=E [Xn ] .

对于鞅，E [Xn ]=E [X 0]，在这种情况下已证得结论。对于上鞅情况，已证明了

E [X T ∧n ]≥E [Xn ]，尚需证明E [X 0]≥E [X T ∧n ]. 这里不妨假设对于所有n ，有

一般情况可由引理2.2所提示的截断法推得。 E [|Xn |]

Xn =∑{X k -E [X k |Y 0,..., Y k -1]}

k =1

n

是一个鞅(Xn =0) 。这样， 0=E [X T ∧n ]

=E [∑{X k -E [X k |Y 0,..., Y k -1]}]

k =1T ∧n

≥E [∑{X k -X k -1]}]=E [X T ∧n ]-E [X 0]

k =1

T ∧n

因此，

E [X 0]≥E [X T ∧n ]

这就完成了证明。

问题三假设Y 0=0，和Y 1，Y 2，„是独立同分布的随机变量，E[Yk ]=μ且Var[Yk ]=

σ2

证明：应用定理于鞅{Sn -n μ}.令Y`0=0,Y`k =Yk -μ,k=1,2,...为证明E[|XT |-

E [|X T |]≤E [∑|Y ' k |]

k =1

T

=E [∑∑|Y ' k |I (T =n )]

n =1k =1∞

∞n

=E [∑|Y ' k |I {T

k =1

≥k }

]

因为I {T ≥k }=I {T >k -1}仅仅依赖于{Y 0,... Y k -1}，于是独立于Y`k. 因此

E [∑|Y ' k |I {T

k =1∞

≥k }

]=E [|Y ' 1|]∑Pr {T

k =1

∞

≥k }

=E [|Y ' 1|]E [T ]

利用施瓦茨不等式有，

2

(E [X n I {T >n }])2≤E [X n ]E [I {T >n }]

≤n σPr{T ≥n }.

∞

2

但是，∞>E[T]=∑k Pr{T =k },所以

k =0

0=lim ∑k Pr{T =k }

n →∞

k ≥n

≥lim n Pr{T ≥n }≥0

n →∞

拓展四设{Yn}是上鞅，T 是停时，如果Pr{T-W对任意n 成立，则

E [X 0]≥E [X T ]

c c

证：设c>0是固定的，并定义X n }关于{Yn}也是=min{c , X n }，n,1,2,„,则{X n

上鞅。所以，

c E [X 0]≥E [X T c ∧n ]

由于

E [X T c ∧n ]≤max{c , W }

对任意n 成立，当n →∞时，我们可以交换极限与期望，导出

c E [X 0]≥E [X T c ]

c 然而，显然E [X 0]≥E [X 0]，而

lim E [X T c ]=lim ⎰xd Pr{X T ≤x }E [X T c ]

c →∞

c →∞-∞

c

这样，即可得到E [X 0]≥E [X T ]

拓展五设{Yn}是上鞅，T 是关于{ℱn}的停时，对于所有的n ≥k, 有

E [X n I {T

=K }

]=E [X k I {T

=K }

].

[3]

（I{.}是由{.}所描述的事件的示性函数. ） 证：利用事实：I {T=k}是F k 可测的. 则

E [X n I {T

=K }

]=E {[X n I {T

=K }|

F k ]}（由大数定律）

=E {I {T

=k }

E [X n |F k ]}].

=E [X k I {T

=k }

三，结尾（课程感悟）

在现代数学专论这门课程上，有很多令人尊敬的数学家（伊藤青、马尔科夫等）和新奇的数学定理（遍历定理、鞅收敛定理等）出现，尤其是在随机过程里的关于马尔科夫链、鞅、布朗运动、平稳过程等等高深的理论。虽然有很多听不懂的地方，但是接触到数学这门严肃而又有趣的学问，心里还是比较满足和开心的。也希望自己今后能够在专业研究中多多学习和应用概率相关的知识。但无论如何，这短短一个学期中学到的还只是皮毛中皮毛，这就要求我在以后更要自觉地加强数学知识的补充了。

参考文献：

[1]. 严士健 汪涓骧 刘秀芳. 概率论基础（第二版）. 科学出版社. 北京. 2008

[2]. R.M.Dudley[著] 赵选民 孙浩[译]. 实分析和概率论. 机械工业出版社. 北京. 2008

[3]. Samuel Karlin Howard M.Taylor[著] 庄兴无 陈宗洵 陈庆华[译]. 随机过程初级教程.

人民邮电出版社. 北京. 2007