数学是一门严谨的学科

初中数学中空间与图形学习的

难点和解决策略

数学是一门严谨的学科，它对逻辑推理能力的培养起着独特的作用，经过严格的训练，可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据，初中数学中空间与图形的学习 ，从“图形的认识 ”、“图形与变换 ”、“图形与坐标 ”、“图形与证明 ”四个方面展开学习 . 空间与图形的学习更能突出对学生逻辑推理能力的培养 . 但逻辑推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出现大面积的分化现象 . 因此，对于初中数学空间与图形的学习，很多教师感到难教，学生感到难学 . 本人就这个问题谈谈个人想法：

（一） 空间与图形学习难点产生的主要方面

初中学生开始学习空间与图形的相关知识时确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手 . 具体表现在：

1 、不会用几何语言进行描述；

常用的几何语言，如“两两（相交）”、“任意（取）画”、“任何一个”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些语言 . 又如“任意画一条直线垂直于已知的直线”这句话中，“任意”画并不完全是“任意取”的意思 . 对此，学生有时分不清楚 . 表示图形位置或大小关系的词语，如“相邻”、“互相”、“互为”、“等角”、“等边”等，学生则常常分不清这些词语表述几个图形或几个量 . 如分不清“互为余角”表示的是两个角（不是一个角，也不是多于两个角）的关系 .

2 、不会正确画出合乎要求的几何图形；

表示画图的语言 . 如直线 AB 与 CD 相交于 B 点，学生们总在一条直线上标出两个 B 点 . 再如 “过点×作直线××，使它平行（垂直）于直线××”等，学生难以根据这类文字语言做出正确的画图动作；把画图过程表述为文字语言时，又往往不会使用规范的语句 .

3 、不会根据题意分析探索解题途径；

对于几何推理的思考，对学生是一个很大的挑战 . 学生如何将学

习过的定理应用于证明过程中，如何在一个几何图形中寻找到熟悉的基本图形，如何去解决图形运动后的变化，都是在几何推理中遇到的困难 .

4 、不会合乎逻辑地有条理的写出解题过程 .

如何将几何证明推理过程书写清楚、准确，对学生是一个更大的挑战 . 过分专业而严密的叙述要求是不少学生无法逾越的语言表述的障碍 . 本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了 . 很多学生一见几何就发怵，久而久之一部分学生放弃了几何的学习 .

（二）空间与图形学习难点产生的主要原因

1 、学科内容变了，而学生的学习方法没变 .

在小学数学和初中代数的学习阶段，主要是研究数与式的计算和恒等变形，始终围绕着数量关系进行，虽然也有对图形面积的计算，但仍是对几何量的运算 . 在学习方法上，以模仿、反复训练为主，达到熟练掌握的目的 . 学生往往比较重视运算的结果，而对为什么这样计算重视不够 . 而初中增加了平面几何以后，研究对象由研究“数与式的运算”为主，转到研究“图形性质”为主，不但要得到结论，更要说明道理 . 要学习大量的几何概念和几何定理，需要逐字逐句的理解，理解定理的证明和作用；还要接触大量的几何图形，需要观察图形的特点，认识图形的性质；使用的语言由以“代数语言”为主，转到了以“几何语言”为主，要学会使用几何语言对命题进行有条理清 晰的论证 . 学生对由数到形，由计算到推理的变化开始很不适应 . 这是学生认为几何难学的原因之一 .

2 、思维特点变了，而学生的思维方法没变 .

学生在小学的几何学习分为两个阶段，小学的第一学段研究简单图形主要是通过实物和模型辨认简单几何体和平面图形，感受图形变换现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行一些简单的测量活动 . 小学的第二学段主要是了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，进行一些观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，并侧重于面积和体积的计算 . 对一些图形性质的认识往往通过观察、实验操作等手段获得，在思维方法上以形象思维为主 . 而初中平面几何却不但要“知其

然”，还要“知其所以然”，要从逻辑关系上来认识图形的性质 . 在这一学段学生将探索基本图形的基本性质和相互关系，要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；在探索图形性质中，发展合情推理，要学习有条理地思考与表达，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；要从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性，理解证明的基本过程 . 在思维方法上转到以抽象思维为主 . 从通过观察、实验操作获得一些图形性质的认识到通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明获得图形的性质，学生对这一变化开始很不适应，对逻辑关系搞不清楚，抓不住要领，表达混乱 . 这是学生认为几何难学的原因之二 .

3 、学生年龄特点变了，教材及教法不适应 .

初中学生的好奇心、好强心明显增加，但又不稳定，常常随着兴趣而转移 . 刚开始学习平面几何时，有新奇感，并表现出一定的兴趣 . 但几何入门阶段概念多，学生容易感到枯燥无味，加之难度不大，因而往往在学习中掉以轻心；由于部分教师驾驭教材的能力不够，不能对教材进行再加工，照本宣科，不能把知识讲活、讲出趣味，从概念到概念，从定理到定理，讲得枯燥乏味，无法激发学生的学习兴趣 . 老师们也常常感到起始阶段内容零碎，对这些零碎的几何知识的重要性认识不够，因而压缩教学时数，尽早进入平面几何的推理阶段 . 也是造成几何难学困难的一个原因 .

由平面几何学科特点，在不同的学习阶段学生会遇到不同困难，但这些困难是可以克服的，只要处理得法，不但使学生克服了畏难情绪，而且学习几何的积极性大大提高，学习的效果也十分明显 .

（三）空间与图形学习难点解决的主要策略

1 、精心设计，激发兴趣 .

在初中数学中，几何主要研究图形的形状、大小和位置关系，虽然小学阶段学生接触过一些简单的几何图形，但比较粗浅，属于感性认识阶段 . 升入中学后，学生开始系统地学习几何图形，教师要千方百计在教学中精心设计教学环节， 从激发兴趣入手，唤起学生的求知欲 .

利用动手实践活动可以消除学生对几何的畏惧感，一开始就乐学 . 实践活动留给学生的感受和印象是深刻的，在学习平面几何的教学过程中，教师要充分利用实践活动，注意对学生非智力因素的开发，用具有趣味性、启发性、思考性和知识性的活动，叩开学生思维的大门 .

（1）找中学 .

初中数学中许多几何概念的学习，一般都可从生活实例中引入 . 学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到的和概念相关的几何图形，如衣服上纽扣的形状、茶几面的形状、建筑物的形状、交通标识、国旗图案、钟表形状、花瓶形状、花瓣形状等等，让学生感受到我们周围存在着千千万万美丽而神奇的图形，帮助学生消除对几何的距离感 .

（2）拼中学。

初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手的机会。 例如：七巧板是我国古代发明的一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生的思维能力、开发智力。七巧板是由七块图形组成的，有 5个三角形、 1个正方形和 1个平行 四边形。学生用它们可以拼出平面图形。如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形。也可以拼出特殊图形。

（3）折中学。

几张纸片，一把剪刀，简单的工具包含丰富的内涵。图形折叠，它主要培养学生的动手操作与空间想象能力，培养学生的创新精神和实践能力。图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性。在几何教学中，充分利用图形的折叠，可以突破教学的难点。

2 、培养能力，循序渐进。

当学生有了强烈的求知欲望，便会在教师的指导下，在几何的王国中漫游。但能力的培养还有待于深化和提高，是贯穿几何教学的一个重要方面。下面谈谈在平面几何教学中如何培养学生的能力。

我在平面几何教学中意识到，一方面要激发学生的学习兴趣，另一方面，要循序渐进的引领学生走进推理之门。这需要一个过程，于

是 , 我不失时机地结合教学内容 , 注重不同能力的培养，开发学生的智力。

（1）观察能力的培养。

观察是人们认识事物的重要方法，在现实生活以及数学中应用十分广泛。锐敏的观察力能使学生抓住本质，产生联想，发现解决问题的途径；还能启发学生辩证思考，展开创造性思维活动．

（2）归纳能力的培养。

归纳是一种推理方法。包括不完全归纳法和完全归纳法（又称枚举法）。平面几何阶段侧重于引导学生用不完全归纳法找出图形间的内在规律去解决问题。我在教学时特别注重引导学生参与归纳的过程，逐步熟悉和掌握这种归纳方法。

（3）分类思想的培养。

由于平面几何的研究对象主要是图形之间的数量关系和位置关系。不同位置往往决定了不同的数量。按照图形的位置进行分类是十分必要的。我通过提问学生“平面上有四个点，过每两点画一条直线，那么一共可以画多少条直线？”引导学生考虑这个问题时，要将平面上四点按其不同的分布位置加以分类才能得到不重不漏的结论。 这样，正确的答案应为一条、四条或六条。

（4）推理能力的培养 .

数学思维能力是数学素质的重要表现，如何在几何课中培养学生的逻辑推理能力是需要认真探索的 . 几何的学习和研究时时刻刻在概念、判断、推理过程中运动着，而概念、判断、推理是逻辑思维的基本形式，其它知识内容，如性质、定理、公式等无非是一种判断 .

培养学生逻辑思维能力有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识 . 然而培养学生逻辑思维能力又是初中几何课教学的一个难点 . 所以在几何入门阶段，教师应该首先激发学生的学习兴趣，然后从概念、作图、推理这三个环节中着手，重视逻辑思维能力的启蒙，帮助学生打好学习几何的基础 . “推理与证明”是人们在感性认识的基础上，运用逻辑的方法使自己对事物的认识上升到理性认识 . 它必须是一个熟悉的过程，不能操之过急，需分三个阶段培养 .

第一阶段，培养学生的判断能力 . 这一阶段主要是通过直线、射

线、线段、角几部分的教学来培养 . 要求学生在搞清概念的基础上，通过图形直观能有根据地作出判断 . 如 “对顶角是相等的角 ”、 “两点确定一条直线 ”、“两直线相交，只有一个交点 ”，等等 . 这个阶段，学生从 “数 ”的学习转入对 “形 ”的研究是很大的变化，而对形的学习开始又接触较多的概念，所以使学生理解所学的概念是一个难点，学生难以适应，不少小学时的优等生适应不了这一转变，以致学习掉队了 . 解决的办法，主要是 注意从感性认识到理性认识，即从感性认识出发，充分利用几何的直观性，再提高到理性认识，从特殊的具体的直观图形抽象出一般的本质属性 . 并注意用生动形象的语言讲清基本概念 .

第二阶段，培养学生简单推理论证的能力 .

这一阶段主要是通过定义、定理、平行线、等腰三角形几部分的教学来培养，要求学生能正确地辨别条件和结论，掌握证明的步骤和书写格式 . 做法是：

①分步写好推理说明过程，让学生在括号内注明每一步的理由； “ 加注理由 ”的练习题，主要在第三章，这无疑把学生引入逻辑推理的王国，教师在教学中应十分重视它的作用，指导学生认真阅读教材中每个例题，认真完成教材中每一个练习，并强调推理论证中的每一步都有根据，每一对 “∵∴ ”都言必有据，都是有定义、定理、公理做保证的 . 此外，还要学生象学写作文一样背记一些证明的 “范句 ”，熟悉一些 “范例 ”，做到既掌握证明方法步骤和书写格式，也努力弄清证题的来龙去脉和编写意图 .

②让学生论证一些写好了已知、求证并附有图形的证明题，先是一两步推理，然后逐渐增加推理的步数，主要是模仿证明.

③让学生自己写出已知、求证、并自己画出图形来证明，每一步都得注明理由 . 另一方面通过例题、练习向学生总结出推理的规律，简单概括为 “从题设出发，根据已学过的定义、定理用分析的方法寻求推理的途径，用综合的方法写出证明过程 .

第三阶段，培养学生对较复杂证明题的分析能力 .

这一阶段主要通过全等三角形以后的教学来培养 . 要求学生对题中的每个条件，包括求证的内容，要一个一个地思考，按照定义、

公理或定理把已知条件一步步推理，得出新的条件，延伸出尽可能多的条件，避免忽视有些较难找的条件，同时不要忽视题中的隐含条件，比如图形中的 “对顶角 ”、 “三角形内角和 ”、 “三角形外角 ”等等 . 此外，教师要注重“图形变换”在证明中的应用 . 新课程标准下的初中数学课程增加了图形变换的内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何证明问题打开了一扇找到解题思路和方法的窗户．平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变图形的位置的同时，保证图形变换前与变换后的对应元素的大小不发生变化．这三种变换有利于培养学生的空间感、丰富学生的解题方法，因而教师在教学中应加以注意．

平面几何教学并不是难不可攀，不可逾越，只要我们掌握了平面几何教学的规律，不但学生不会感到困难，而且相当多的同学会对几何的学习产生浓厚的兴趣，收到良好的成效 .

初中数学中，在空间和图形的学习过程中，难点很多，解决策略也很多，我们可以归纳为：在平面几何教学中力求做到三个“突出”，三个“克服” .

1 ．突出一个“趣”字，克服一个“难”字 .

突出一个“趣”字，克服一个“难”字，就是要培养学生学习平面几何浓厚的兴趣，调动学生的非智力因素，要精心设计教学情境，把几何课讲得活灵活现，使学生爱学、乐学 .

2 ．突出一个“动”字，克服一个“灌”字 .

突出一个“动”字，克服一个“灌”字，就是要根据学生的年龄特征，给学生创造动手、动口、动脑的问题情境 .

3. 突出一个“思”字，克服一个“死”字 .

突出一个“思”字，克服一个“死”字，就是要设计问题情境，给学生的头脑插上思维的翅膀 .