2014-2015学年九年级数学上册期中综合检测

期中综合检测

第二十一、二十二章 (120分钟 120分)

一、选择题(每小题3分, 共30分)

1. 下面关于x 的方程中:①ax 2+x+2=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3=; ④(a2+a+1)x2-a=0; ⑤

=x-1.一元二次方程的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B. 方程①与a 的取值有关, 当a=0时, 不是一元二次方程; 方程②经过整理后, 二次项系数为2, 是一元二次方程; 方程③是分式方程; 方程④的二次项系数经过配方后可化为

+, 不论a 取何值, 都不为0, 所以方程④是一元二

次方程; 方程⑤不是整式方程, 故一元二次方程有2个. 【知识归纳】判断一元二次方程的几点注意 (1)一般形式:ax2+bx+c=0,特别注意a ≠0. (2)整理后看是否符合一元二次方程的形式.

(3)一元二次方程是整式方程, 分式方程不属于一元二次方程. 2. 若(x+y)(1-x-y)+6=0,则x+y的值是( ) A.2 B.3 C.-2或3 D.2或-3

【解析】选C. 设x+y=a,原式可化为a(1-a)+6=0,解得a 1=3,a2=-2.

3. 如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 那么k 的取值范围是( )

A.k>- B.k>-且k ≠0 C.k

【解析】选B. 依题意, 得k 2≠0,(2k+1)2-4k 2〓1>0,解得k>-且k ≠0. 故选B. 4. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价 ( ) A.10% B.19% C.9.5% D.20%

【解析】选A. 设平均每次降价x, 由题意得,(1-x)2=0.81,所以1-x=〒0.9, 所以x 1=1.9(舍去),x 2=0.1,所以平均每次降价10%.

5. 在平面直角坐标系中, 抛物线y=x2-1与x 轴的交点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】选B. 把a=1,b=0,c=-1代入b 2-4ac 得0+4>0,故与x 轴有两个交点. 6. 已知二次函数y=ax2+c,当x 取x 1,x 2(x1≠x 2) 时, 函数值相等, 则当x 取x 1+x2时, 函数值为( )

A.a+c B.a-c C.-c D.c

【解析】选D. 由题意可知

=, 又x 1≠x 2, 所以x 1=-x2, 即x 1+x2=0,所以当x 取x 1+x2时, 函数值为c.

7.(2013·宜宾中考) 若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围是( )

A.k1 C.k=1 D.k ≥0

【解析】选A. ∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根,a=1,b=2,c=k,

∴Δ=b2-4ac=22-4〓1〓k>0, ∴k

8. 关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x 1,x 2, 且+=7,

则(x1-x 2) 2的值是( )

A.1 B.12 C.13 D.25

【解析】选C. 由根与系数的关系可以知道:x1+x2=m,x1·x 2=2m-1.

又+=7,所以(x1+x2) 2-2x 1x 2=7. 把x 1+x2=m,x1·x 2=2m-1代入上式, 可以得到m 2-2(2m-1)=7.

解这个关于m 的方程:m=5或m=-1.

当m=5时, 一元二次方程x 2-mx+2m-1=0没有实数根; 当m=-1时, 一元二次方程x 2-mx+2m-1=0有实数根. 所以m=5舍去, 此时(x1-x 2) 2=+-2x 1x 2=13.

9.(2013·乌鲁木齐中考) 已知m,n,k 为非负实数, 且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k 2-8k+6的最小值为( )

A.-2 B.0 C.2 D.2.5 【解析】选D. ∵m,n,k 为非负实数, 且m-k+1=2k+n=1,

∴

解得0≤k ≤.

∵y=2k2-8k+6=2(k-2)2-2中, 当k

-2=2.5.

10.(2013·聊城中考) 如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=x 2经过平移得到抛物线y=x 2-2x, 其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为(

)

A.2 B.4 C.8 D.16

【解析】选B. 如图, 抛物线y=x 2-2x 的对称轴是x=2,由对称性可知, 图形M 与图形N 的面积相等, 点C 的坐标是(4,0),点B 的坐标是(2,2),D点坐标是(0,2),E点坐标是(2,-2),抛物线y=x 2-2x 是由抛物线y=x 2经过平移得到的, 因此图形M 与图形Q 的面积相等, 所以P 与N 的面积和等于P 与Q 的面积和, 因此所求阴影部分的面积是

4.

二、填空题(每小题3分, 共24分)

11. 若(m+1)xm(m+2)-1+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程, 则m 的值是 . 【解析】由答案:-3或1

12. 已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数), 当a 取不同的值时, 其图象构成一个“抛物线系”. 如图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象. 它们的顶点在一条直线上, 这条直线的解析式是y=

.

得m=-3或m=1.

【解析】由抛物线顶点式y=(x-2a)2+(a-1)可知顶点坐标为(2a,a-1),即顶点的横坐标x=2a,变形的a=0.5x,纵坐标y=a-1,所以y=0.5x-1.

答案:0.5x-1

13. 关于x 的一元二次方程(p-1)x2-x+p2-1=0的一个根为0, 则实数p 的值是 .

【解析】∵关于x 的一元二次方程(p-1)x2-x+p2-1=0的一个根为0, ∴x=0满足方程(p-1)x2-x+p2-1=0, ∴p 2-1=0,解得p=1或p=-1.

又∵p-1≠0, 即p ≠1, ∴实数p 的值是-1. 答案:-1

【变式训练】关于x 的一元二次方程x 2-mx+2m=0的一个根为1, 则方程的另一根为 .

【解析】把x=1代入x 2-mx+2m=0,得m=-1,所以方程x 2-mx+2m=0化为x 2+x-2=0,解这个方程得x 1=1,x2=-2,所以方程的另一根为-2. 答案:-2

14. 若a+b+c=0且a ≠0, 则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一个定根, 它是 .

【解析】由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化为ax 2-(a+c)x+c=0, 解得x 1=1,x2=. 答案:1

【一题多解】由一元二次方程ax 2+bx+c=0知, 当x=1时, 原方程可化为a+b+c=0,所以一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一个定根1. 答案:1

15.(2013·荆门中考) 设x 1,x 2是方程x 2-x-2013=0的两实数根, 则

+2014x2-2013= . 【解析】x 2-x-2013=0, ∴x 2=x+2013,x=x2-2013.

又∵x 1,x 2是方程x 2-x-2013=0的两实数根, ∴x 1+x2=1,

∴+2014x2-2013 =x1·+2013x2+x2-2013 =x1·(x1+2013)+2013x2+x2-2013 =+2013x1+2013x2+x2-2013 =(x1+2013)+2013x1+2013x2+x2-2013 =x1+x2+2013(x1+x2)+2013-2013 =1+2013 =2014. 答案:2014

16. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0),则抛物线的解析式为 .

【解析】设抛物线解析式为y=a(x+2)2+3,把点A(-3,0)代入上式, 得a=-3,所以抛物线解析式为y=-3(x+2)2+3=-3x2-12x-9. 答案:y=-3x2-12x-9

17.(2014·湖北安陆质检) 抛物线y=ax2+bx+c如图所示, 则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是 .

【解析】由图知抛物线y=ax2+bx+c过点(0,3),(1,0),(3,0),所以它关于y 轴对称的抛物线过点(0,3),(-1,0),(-3,0),

设所求抛物线解析式为y=a(x+1)(x+3),把(0,3)代入上式, 得a=1,所以y=(x+1)(x+3)= x2+4x+3. 答案:y=x2+4x+3

【易错提醒】求关于y 轴对称的抛物线的解析式, 应先求出新抛物线经过的点, 再求新抛物线的解析式, 本题易误认为求原抛物线的解析式.

18. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A 是抛物线y = a(x-3)2+ k与y 轴的交点, 点B 是这条抛物线上的另一点, 且AB ∥x 轴, 则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为

.

【解析】因为点A 是抛物线y=a(x-3)2+k与y 轴的交点, 所以AB 中点的横坐标为3, 所以B 点的横坐标为6, 所以AB=6,所以以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为18. 答案:18

三、解答题(共66分)

19.(6分)(2014·长春二中月考) 在实数范围内定义运算“⊕”, 其法则为:a⊕b=a2-b 2, 求方程(4⊕3) ⊕x=24的解.

【解析】∵a ⊕b=a2-b 2, ∴(4⊕3) ⊕x=(42-32) ⊕x=7⊕x=72-x 2. ∴72-x 2=24,∴x 2=25,∴x=〒5.

20.(8分) 已知关于x 的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1, 两根之差为1, 其中a,b,c 是△ABC 的三边长. (1)求方程的根. (2)试判断△ABC 的形状.

【解析】(1)设方程的两根为x 1,x 2(x1>x2), 则x 1+x2=-1,x1-x 2=1, 解得x 1=0,x2=-1. (2)当x=0时,

(a+c)〓02+2b〓0-(c-a)=0,所以c=a. 当x=-1时,

(a+c)〓(-1)2+2b〓(-1)-(c-a)=0, 即a+c-2b-c+a=0, 所以a=b,所以a=b=c, 所以△ABC 为等边三角形.

21.(8分) 心理学家发现, 在一定的时间范围内, 学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间(单位:分钟) 之间满足函数关系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x ≤30),y 的值越大, 表示接受能力越强.

(1)若用10分钟提出概念, 学生的接受能力y 的值是多少?

(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念, 那么与用10分钟相比, 学生的接

受能力是增强了还是减弱了? 通过计算来回答.

【解析】(1)当x=10时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1〓100+2.6〓10+43=59. (2)当x=8时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1〓82+2.6〓8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比, 学生的接受能力减弱了; 当x=15时,y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1〓152+2.6〓15+43=59.5, ∴用15分钟与用10分钟相比, 学生的接受能力增强了.

22.(8分)(2013·来宾中考) 某商场以每件280元的价格购进一批商品, 当每件商品售价为360元时, 每月可售出60件, 为了扩大销售, 商场决定采取适当降价的方式促销, 经调查发现, 如果每件商品降价1元, 那么商场每月就可以多售出5件.

(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?

(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价多少元?

【解析】(1)由题意, 得60(360-280)=4800元. 答:降价前商场每月销售该商品的利润是4800元.

(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价x 元,

由题意, 得(360-x-280)(5x+60)=7200, 解得:x1=8,x2=60.

∵有利于减少库存, ∴x=60.

答:要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元, 且更有利于减少库存, 则每件商品应降价60元.

23.(8分)(2013·温州中考) 如图, 抛物线y=a(x-1)2+4与x 轴交于点A,B, 与y 轴交于点C, 过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D, 连接BD, 已知点A 的坐标为

(-1,0).

(1)求抛物线的解析式. (2)求梯形COBD 的面积.

【解析】(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4, 得0=4a+4,∴a=-1,∴y=-(x-1)2+4. (2)令x=0,得y=3, ∴OC=3.

∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1, ∴CD=1.

∵A(-1,0),∴B(3,0),∴OB=3, ∴S 梯形COBD =

=6.

24.(9分) 有一批图形计算器, 原售价为每台800元, 在甲、乙两家公司销售. 甲公司用如下方法促销:买一台单价为780元, 买两台每台都为760元. 依次类推, 即每多买一台, 则所买各台单价均再减20元, 但最低不能低于每台440元; 乙公司一律按原售价的75%促销. 某单位需购买一批图形计算器: (1)若此单位需购买6台图形计算器, 应去哪家公司购买花费较少?

(2)若此单位恰好花费7500元, 在同一家公司购买了一定数量的图形计算器, 请

问是在哪家公司购买的, 数量是多少?

【解析】(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6〓(800-20〓6)=4080(元); 在乙公司购买需要用75%〓800〓6=3600(元)

(2)设该单位买x 台图形计算器, 若在甲公司购买则需要花费x(800-20x)元; 若在乙公司购买则需要花费75%〓800x=600x元.

①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器,

则有x(800-20x)=7500,解得x=15或x=25.

当x=15时, 每台单价为800-20〓15=500>440,符合题意.

当x=25时, 每台单价为800-20〓25=300

②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器,

则有600x=7500,解得x=12.5,不符合题意, 舍去.

故该单位是在甲公司购买的图形计算器, 买了15台.

25.(9分)(2013·哈尔滨中考) 某水渠的横截面呈抛物线型, 水面的宽为AB(单位:m),现以AB 所在直线为x 轴, 以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设坐标原点为O, 已知AB=8m,设抛物线解析式为y=ax2

-4.

(1)求a 的值.

(2)点C(-1,m)是抛物线上一点, 点C 关于原点O 的对称点为点D, 连接CD,BC,BD, 求△BCD 的面积.

【解析】(1)∵AB=8,由抛物线的对称性可知OB=4,∴B(4,0),0=16a-4,∴a=. - 11 -

(2)过点C 作CE ⊥AB 于E, 过点D 作DF ⊥AB 于

F,

∵a=, ∴y=x 2-4.

令x=-1,∴m=〓(-1)2-4=-, ∴C

∴D . ∵点C 关于原点对称点为D, , ∴CE=DF=,S △BCD =S△BOD +S△BOC =OB ·DF+OB ·CE=〓4〓+〓4〓=15.

∴△BCD 的面积为15m 2.

26.(10分)(2013·乌鲁木齐中考) 某公司销售一种进价为20元/个的计算器, 其销售量y(万个) 与销售价格x(元/个) 的变化如表:

同时, 销售过程中的其他开支(不含进价) 总计40万元.

(1)观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系, 用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个) 与x(元/个) 的函数解析式.

(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元) 与销售价格x(元/个) 的函数解析式, 销售价格定为多少元时净得利润最大, 最大值是多少?

(3)该公司要求净得利润不能低于40万元, 请写出销售价格x(元/个) 的取值范围, 若还需考虑销售量尽可能大, 销售价格应定为多少元?

- 12 -

【解析】(1)表中的y 与x 之间的对应关系为一次函数关系, 设y=kx+b, 由题意得解得

故y(万个) 与x(元/个) 的函数解析式为y=-0.1x+8.

(2)由题意得z=(x-20)y-40= (x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10x-200,

即z=-0.1x2+10x-200为这种计算器的净得利润z(万元) 与销售价格x(元/个) 的函数解析式.

∵z=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2+50,

∴当x=50时,z 最大值=50,即销售价格定为50元时净得利润最大, 最大值是50万元.

(3)当z=40时,-0.1(x-50)2+50=40,(x-50)2=100,解得x=40或60.

又∵该公司要求净得利润不能低于40万元,

∴40≤x ≤60.

又∵还需考虑销售量尽可能大, 即y 尽可能大,x 尽可能小, ∴x=40.

∴销售价格x(元/个) 的取值范围是40≤x ≤60, 若还需考虑销售量尽可能大, 销售价格应定为40元/个.

- 13 -