第五节收敛准则
第五节 收敛准则
一、 收敛准则
我们希望，当单元的划分逐渐加密的时候，位移、应变和应力能收敛到精确值，而且收敛得越快越好。这样就要求所选择的位移模式满足某些条件：
1. 位移模式必须包含单元的刚体位移和单元的常应变。 ——该条件是收敛准则的必要条件，称为完备条件。满足该条件的单元称为完备单元。
当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。
每个单元的应变一般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的，即所谓的常应变。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常数。除非我们的位移模式包含着这些常应变，否则就没有可能收敛与正确解。
例题6 试证明3节点三角形单元是完备单元。
证明：3节点三角形单元的位移模式
⎧⎪u=α1+α2x+α3y ⎨v=α+αx+αy⎪546⎩ （3-1）
1. 单元刚体运动时，有 εx=εy=γxy=0 ，即
du=0,dv=0,du+dv=0 代入式（3-1），得
图3.18 i α2=0,α6=0,α3+α5=0 则有
⎧α-α⎪u=α1+α3y=α1-⎪⎨⎪v=α+α-αx4⎪⎩y+α+αy=α1-α-αy （a）
设三角形单元沿x轴的刚体平移u0和y轴的刚体平移v0，
三角形单元绕z轴作刚体转动w0角度。由于w0引起单元内任意点A(x,y)的位移
x:u'=-rω0sinθ=-ω0y y:v'=rω0cosθ=ω0x
则A(x,y)点的总位移为
⎧⎪u=u0+u'=u0-ω0y ⎨v=v0+v'=v0+ω0x⎪⎩ （b）
比较（a）式和（b）式，得
α1=u0,α4=v0,α-α=ω0
这说明位移模式包含单元的刚体位移。
2. 单元应变
⎧⎪εx=du=α2⎪⎪dv=α⎪ε=⎨y6⎪⎪du+dv⎪γxy=⎪⎩ 都是常数，满足常应变条件 =α3+α5
2. 位移模式应当保证在单元内部及相邻单元的边界上位移连续。
——该条件是保证弹性体受载时，在单元内部和相邻单元之间不会出现开裂和重叠现象。它是收敛准则的充分条件，称为协调或相容条件。满足该条件的单元称为协调单元。
同时满足收敛准则条件1和2的单元称为完备协调单元。
注：（1）3节点三角形单元是完备协调单元。
（2）通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，可以保证位移的协调性。
（3）在某些梁、板以及壳分析中，要使单元满足协调性（单元之间的斜率连续）比较困难，实践中也出现只满足完备性的单元，其收敛性也是令人满意的。尤其是完备而不协调的单元（不满足协调条件），已经获得了很多成功地应用。不协调的单元的主要缺点是，不能事先肯定其刚度矩阵与真实刚度的大小关系；但另一方面，不协调的单元一般没有协调的单元那么刚硬（换句话说，一般比较柔软），因此可能比协调的单元收敛的快。
（4）单元内假定了位移，限制了单元的变形形式，相当于附加了约束。因此，在给定的载荷下，位移法有限元分析高估了结构的刚性，也就是低估了变形量。因而，基于位移法有限元的位移解都是偏小的。
二、 多项式位移模式阶次的选择
位移模式的选择，除要考虑到解的收敛性（完备性和协调性）外，还必须考虑到另一个因素，即：位移模式应该与局部坐标系无关——几何各向同性
对于线性多项式，几何各向同性的要求通常就等阶于必须包含常应变状态；
对于高阶模式，几何各向同性的要求就是不应有一个偏惠的坐标方向，也就是位移形式不应随局部坐标的更换而改变。
实践证明，实现几何各向同性的一种方法是，根据巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。
1 常数项
y x
x2
x3
x4
x5 一次项 y2 xy 二次项 y3 x2yxy2 三次项 y4 x3yx2y2x2y3xy3xy4 四次项 五次项 x4yx3y2y5
图3.19
在二维多项式中，若包含三角形对称轴一边的任意一项，则必须同时包含另一边的对称项。
例如，要构造一个有八项构成的三次多项式位移模式，则有以下两种方法：
（1）常数项、线性项、二次项，再加上x3与y3项；
（2）常数项、线性项、二次项，再加上x2y与xy2项。 对于不完全多项式，要求一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。所以，应选择方法（2）来构造八项构成的三次多项式位移模式——8节点四边形单元的位移模式。
三、 多项式位移模式的项数
选择位移模式要考虑到最后一个因素，就是多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是：
位移模式的项数=单元边界上的外节点的自由度数 取过多的项是不恰当的。