高等代数习题第二章
习题2-1
一、判断题
若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过n 2-n 个,则这个行列式的值等于零。( )
二、单选题
2-10
1.若行列式1x -2=0, 则x =( )
3-12
A. –2 B. 2 C. -1 D. 1
00 0100 10
2.n 阶行列式 的值为( )
01 0010 00A. (-1) B. (-1)
n
1
n (n -1) 2
C. (-1)
1
n (n +1) 2
D. 1
3.设A ij 是行列式A 的元素a ij (i , j =1,2, , n )的代数余子式,当i ≠j 时下列各式中错误的是( )
A. A =a i 1A j 1+a i 2A j 2+ a in A jn B. A =a i 1A i 1+a i 2A i 2+ a in A in C. A =a 1j A 1j +a 2j A 2j + a nj A nj D. 0=a i 1A j 1+a i 2A j 2+ a in A jn
b
4.行列式
00a c 0000d 000
的值等于( ) e f
A. abcdef B. -abdf C. abdf D. cdf
a 105.
a 2
0c 10c 2
b 10b 20
0d 1
=( ) 0d 2
A. a 1c 1b 2d 2-a 2b 1c 2d 1 B. (a 2b 2-a 1b 1)(c 2d 2-c 1d 1) C. a 1a 2bb 12c 1c 2d 1d 2 D. (a 1b 2-a 2b 1) (c 1d 2-c 2d 1)
a 16. 设行列式D =a 2
a 3
b 1b 2b 3c 1c 1c 2, 则 c 2c 3c 3
b 1+2c 1b 2+2c 2
b 3+2c 3
a 1+2b 1+3c 1
a 2+2b 2+3c 2 =( ) a 3+2b 3+3c 3
A. -D B. D C. 2D D. -2D
a 11
7.如行列式a 21
a 31a 12a 22a 32a 133a 31a 23=d , 则2a 21a 33-a 113a 32
2a 22-a 123a 33
2a 23=( ) -a 13
A . -6d B. 6d C. 4d D. -4d
三、填空题
9
1. 四阶行列式
[1**********]0
=( ). 00
2.排列a 1a 2a 3a 4a 5的逆序数等于3,排列a 5a 4a 3a 2a 1的逆序数等于( ).
3.n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的第一列移到最后一列,其余各列依次保持原来的次序向左移动,则得到的行列式值为( ).
4.n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的所有元素改变符号,得到的行列式值为( ). 5.n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个第(i , j )个元素a ij 换到第(n -i +1, n -j +1)个元素的位置上,得到的行列式的值为( ). 6.n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个a ij 换成(-1)7.n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个a ij 换成(b )
i +j
a ij ,则得到的行列式的值为( ). a ij (b ≠0),则得到的行列式的值为
i -j
( ).
8.n 阶行列式A 的值为c ,若从第二列开始每一列加上它前面的一列,同时对第一列加上A 的第n 列,则得到的行列式的值为( ).
习题2-2
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
201a b c
(1)1-4-1; (2)b c a
-183c a b 1(3)a
a 2
1b b 2
1x c ; (4)y c 2x +y
y
x +y x
x +y x y
2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1) 1234; (2)4132;
(3) 13 (2n -1)24 (2n ) ;(4) 13 (2n -1)(2n )(2n -2) 2 . 3. 计算下列各行列式:
⎢4⎢1(1)⎢
⎢10⎢⎣0
12512021
4⎥⎢21
⎢3-12⎥⎥; (2)⎢
⎢120⎥
⎥⎢7⎦⎣50
4
236
1⎥
⎢-ab ac
1⎥⎥;bd -cd (3)⎢⎢2⎥
⎢cf ⎥⎣bf
2⎦
ae ⎥de ⎥⎥ -ef ⎥⎦
⎢a 10
⎢-1b 1
(4)⎢
⎢0-1c ⎢
⎣00-11a
(7) 2
a a 4
1b b 2b 4
1c c 2c 4
0⎥
ax +by ay +bz az +bx a 2ab b 2
⎥0⎥
(5) 2a a +b 2b ;(6) ay +bz az +bx ax +by 1⎥
az +bx ax +by ay +bz 111⎥
d ⎦
1
0x
d
(8) 2d
00
d 4
a n a n -1
x
-1
0-1 0
00x
00 -1x +a 1
a n -2 a 2
4. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
a
1 1
a
(1) D n =
, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;
a n
a n -1
(a -1) n (a -n ) n (a -1) n -1 (a -n ) n -1 a -11
a -n 1
x a a a x a
(2) D n =;(3) D n +1=
a
a a x
1
5. 用克莱姆法则解下列方程组:
=1, ⎧5x 1+6x 2
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=5, ⎪x +5x +6x =0, 123⎪x +2x -x +4x =-2, ⎪⎪1⎪234(1)⎨(2)⎨x 2+5x 3+6x 4=0,
2x -3x -x -5x =-2, 234⎪1⎪x 3+5x 4+6x 5=0, ⎪⎪3x +x +2x +11x =0; 234⎩1
⎪x 4+5x 5=1. ⎩
⎧λx 1+x 2+x 3=0
⎪
6. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎨x 1+μx 2+x 3=0有非零解?
⎪x +2μx +x =0
23⎩1⎧(1-λ) x 1-2x 2+4x 3=0
⎪
7. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 ⎨2x 1+(3-λ) x 2+x 3=0
⎪x +x +(1-λ) x =0
23⎩1
有非零解?
习题2-3
a 11a 21
1. 确定六阶行列式D=
a 12a 22a 32
a 42a 52a 62
a 13a 23a 33a 43a 53a 63
a 14a 24a 34a 44a 54a 64
a 15a 25a 35a 45a 55a 65
a 16a 26
a 36
中以下各乘积的符号: a 46a 56a 66
a 31a 41a 51a 61
⑴ a
23
a 31a 42a 56a 14a 14a 65 ⑵ a 21a 13a 32a 55a 64a 46
2-2614-4-22-5231
0-4
173
7-2
2.计算行列式
D =
3.计算行列式
a 1-a 1-a 1 -a 1
a 20-a 2 -a 2
a 3a 30 -a 3
a n a n a n 0
a 11 111a 1 11 111 a 1111 1a
,
a 11
a 12a 22
a 1n a 2n
4.设D =a 21
a n 1
试用D 表示下列行列式之值:
a n 2 a nn
1)
a 21a 31 a n 1a 11a 22a 32 a n 2a nn
a 2n a 3n a nn a 1n
a 1n a 12 a 22
a n 2
a 11a 21 a n 1
; 2) a 2n
a nn
;
5.利用定义计算下列行列式.
a 11
a 12a 22 0
a 1, n -1 a 2. n -1
00
a 1n 0 00
1)
a 21 a n -1, 1a n , 1
2)
a n -1, 2
010 0002 0 000 n -n 00 0
习题2-4
1.计算行列式
21D 1=
2312
003
425
12-13
, D 2=
1413171-5
.
[1**********]343-
2. 计算行列式.
12⑴
233441; ⑵234149
36104916
; ⑶
16
[**************]64
[1**********]6
3224
3.
设A =5
312
,求 A 41+A 42+A 43+A 44.
11116478
4. 计算行列式
1α1
00 00-11-α1α20 00⑴
0-11-α2α3 00
;
0000 1-αn -1αn 0
-1
1-αn
a
a
0a 0 0a 0+x 2x 00a 011x 2
a 0⑵ x x 1+x 2
(2n阶) ⑶ 21
200a a 00
0a 0 0a 0x n x 1x n x 2
a
a
5.
计算行列式
a b
c
d D =
a a +b a +b +c a +b +c +d a 2a +b 3a +2b +c
4a +3b +2c +d
.
a 3a +b 6a +3b +c 10a +6b +3c +d
6.计算n 阶行列式 +a 111 111+a 21 1
1
11+a 3 1 111 1+a n
x 1x n x 2x n
1+x 2
n