内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓参数化设计分析
第３４卷第２期
文章编号：１００４—２５３９（２０１０｝０２—００３５—０３
内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓参数化设计分析
３５
内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓参数化设计分析
王振刘忠明
（郑州机械研究所研发中心，河南郑州４５００５２）
摘要利用齿轮啮合原理推导出了摆线齿轮的齿廓曲线方程，讨论了两种齿根过渡曲线的处理方法，并利用Ｖｉｓｕａｌ
Ｂａｓｉｃ
６．０在ＡｕｔｏＣＡＤ平台上实现了齿轮完整齿廓曲线的参数化绘制，这对于进一步分
析齿轮的啮合特性及力学性能具有重要的意义。
关键词齿轮泵摆线轮啮合原理ＣＡＤ
Ｐａｒａｍｅｔｅｒ
ＤｅｓｉｇｎａｎｄＡｎｌａｙｓｉｓｏｆＩｎｔｅｒｎａｌＭｅｓｈｉｎｇＣｙｃｌｏｄｉａｌＧｅａｒ
Ｐｕｍｐ
ＷａｎｇＺｈｅｎ
（Ｚｈｅｎ乎，ｈｏｕＲｅｓｅａｒｃｈ
Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
ＬｉｕＺｈｏｎｇｍｉｎｇ
ＥｆＩｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００５２，Ｃｈｉｎａ）
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎｔｅｒｎａｌｍｅｓｈｉｎｇｃｙｃｌｏｉｄａｌｇｅａｒｐｕｍｐｈａｓｍａｎｙａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ：ｓｍａｌｌｓｉｚｅ、ｌｉｇｈｔｗｅｉｇｈｔ、ｌｏｗ
ｏｎ
ｎｏｉｓｅ、ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ∞ｌｆ—ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ、ｓｏｏａｆｌｏｗ
ｔｈｅｐｕｌｓｅａｎｄ
ｏｎ
ＳＯ
ｏｎ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｓｈａｐｅｏｆｔｏｏｔｈ
ｐｒｏｆｉｌｅ，ｔｈｅｍａｃｈｉｎｉｎｇｉｓｍｏｒｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔ．Ｂａｓｅ
ｔｈｅｇｅａｒｍｅｓｈｉｎｇｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｙｃｌｏｉｄａｌｇｅａｒｔｏｏｔｈｐｒｏ—
ｆｉｌｅｈａｓｂｅｅｎｄｅｒｉｖｅｄｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ，ａｎｄｔｈｅａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｗｏｔｙｐｅｆｉｌｌｅｒｓｉｓＣＡＤｐｌａｔｆｏｒｍ，ｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｄｒａｗｉｎｇｏｆｔｈｅｆｕｌｌｇｅａｒｔｏｏｔｈ
ｃｕｒｖｅ
ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｕｓｉｎｇ
ＶｉｓｕａｌＢａｓｉｃ６．０ｉｎＡｕｔｏ－
ｉｓａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｉｔｉｓｏｆｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅｆｏｒｆｕｒｔｈｅｒ
ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｍｅｓｈｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒａｎｄｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｇｅａｒ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
Ｇｅａｒｐｕｍｐ
Ｃｙｃｌｏｄｉａｌ
Ｍｅｓｈｉｎｇｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ＣＡＤ
ｐｕｍｐｓ．
Ｏ引言
齿轮泵分外啮合和内啮合两大类。内啮合齿轮泵具有体积小、重量轻、噪声低、自吸性好、流鼍脉动小等优点，但由于齿廓形状复杂，所以加工较为困难。目前，发达国家的内齿轮设计制造技术已经比较成熟，产量与外齿轮相当，我国内啮合摆线齿轮泵的开发还较为落后。在内啮合齿轮泵结构中，相互啮合的齿轮是核心部件，尤其小齿轮（摆线轮）的加工较为困难，这就需要精确绘制轮齿的齿廓曲线。现有的绘图软件具有一些简单图形的绘制功能，但对于轮齿齿廓曲线的绘制足无能为力的。为解决这个问题，我们利用齿轮啮合原理推导出了齿轮的齿廓曲线方程，并利用Ｖｉｓｕａｌ
Ｂａｓｉｃ
顶部和齿根部的非完整的短幅外摆线的等距曲线作为摆线轮的理论齿廓，与之共轭的齿轮采用相邻针齿交叉后消去根部和齿顶部的一段圆弧作齿廓，通常称该轮为大轮［１Ｊ。
囊
６．０在ＡｕｔｏＣＡＤ平台上进行了程序实现。输入齿
图１内、外转子坐标系
轮的基本参数，程序可以自动绘制出齿轮的完整齿廓曲线，这对于进一步分析齿轮的啮合特性及力学性能具有重要意义。
如图ｌ所示的传动中，轮ｌ为摆线轮（小轮），轮２是弧齿齿轮（大轮）；Ｏｌ、０２分别为两轮的回转中心，Ｐ为节点；大轮齿数与小轮齿数之差称为齿数差，记作
△Ｚ。
１传动分析
内啮合齿轮泵属少齿差摆线齿轮泵，采用消去齿
大轮轮齿为跨齿圆弧，设圆弧所在的圆周包含的大轮齿数为磊，称磊为跨齿数。
万方数据
机械传动２０１０定
称大轮节圆半径和弧齿圆弧圆心分布圆半径之比为短幅系数蜀，Ｋｌ＝ｒ２／Ｒ。。
称弧齿圆弧半径与弧齿圆弧圆心分布圆半径之比为弧径系数砭，Ｋ２＝Ｌ／Ｒｃ。
首先建立固定坐标系ｘｐｙ和动坐标系菇１０ｌＹｌ、菇２０２Ｙ２，０ｌＹｌ轴过小轮的轮齿或齿槽中心（视五取值而定），０２Ｙ２轴过大轮的齿槽或轮齿中心（视磊取值而定）。
在起始位置，０ｌ，，ｌ和０２，，２轴均通过连心线
０１
０２。当齿轮１、２分别自起始位置转过妒ｌ、Ｐ２时肘
点进入啮合，根据啮合原理，弧齿上肘点法线ＯｃＶｌ一定通过节点Ｐ。
设０彤和０２Ｙ２轴的夹角为ｒ，过Ｄ２作０２Ｐ的垂
线，该垂线与０２Ｐ的夹角为驴。由图１中几何关系易知
ｒ
，ｒ
，
、
｛Ｐ２２百一Ｌ妒¨’
（】）、。
【ｃ∞驴：。ｉｎｒ／Ｋｌ
在Ａ０２ｐｏ：中，根据正弦定理得
ｒ
ｒ：ａｘｃｔａｎ芒ｔ！－＝ｔ…２）２旃ｃ而
式（２）建立了转子转角与齿廓公法线方向角之间的联系，使摆线齿廓方程的形式和计算变得简单。
弧齿上肘点在Ｘ２０２Ｙ２坐标系中的方程为圆方程
茗２
＝
ｍ
ｆ
ｙ２
＝
秘恐
一
匕
Ｃ
∞
（３）
ｒ
摆线轮上肘点在茗１０ｌＹｌ中的坐标可通过变换矩
阵肘１２求得
‰＝阵螭誓－ａ＿ｓｉｎ９妒０１。）
＝｛嘲。三？≥，｛！『：捌＿‘三：；：二：；，Ｊ］
限‰㈢
Ｅ＝竺轰Ｚ二＝
【
、…
＝一
ｘ２ｓｉｎ（妒ｌ—Ｐ２）＋ｙ２ｃｏｓ（妒ｌ一９２）一ａｃｏｓ。ｏ。ｃ４，ｌ
万
方数据把式（３）代人式（４）得
铲蹦ｎ（晋）叫ｉ如一晋）…ｉ嘞（５）
），－：恐ｃ∞（晋）一Ｌｃｏｓ（ｒ一晋）…嘞
上式中若ｒｚ＝０，即仍为在菇１０１），ｌ坐标系上的轨迹
铲见ｓｉｎ（罟）一汹９ｌ
。
（６）
，，ｌ＝兄ｃｏｓ（塑ｒ２）一口ｓｉｎ９ｌ
式（６）为短幅外摆线方程，可见摆线轮的齿廓为短幅外摆线的等距曲线。按照式（５）可以绘出小轮完整单支摆线，如图２所示。
Ｊ
—／／、
／‘
（１）摆线轮单齿齿廓
ｙ
ｙ
（ｂ）两齿差摆线轮完整单支摆线（ｃ）三齿差拯线轮完整单支摆线
图２摆线轮齿廓图
２齿根过渡曲线
通过上述的分析，已经可以按照小齿轮的摆线齿形方程式，绘出理论摆线等距曲线的齿廓。由图２所示，小轮理论摆线齿形是一个连续的摆线等距曲线，而实际的摆线齿轮齿形是由齿根圆、摆线齿廓曲线和齿顶圆３部分组成的ｌ条连续曲线。小轮完整理论齿形的绘制除了和圆弧啮合的摆线部分外，还应考虑齿根的过渡曲线以及齿廓曲线有效部分的范围［２｜。理论上摆线轮齿根曲线为大轮齿顶圆弧的共轭曲线，但由于齿根曲线不参与啮合，而且实际上为避免齿根干涉，小轮的齿根与大轮齿顶之间留有一定的间隙，鉴于此，为方便小轮齿根曲线的处理，我们编制程序时采用单圆弧和双圆弧两种方式来构成小轮的齿根曲线。２．１齿根单圆弧曲线
图３中，Ｅｌ、Ⅳ１、如、肥分别为小轮相邻的右左齿
廓曲线上的两个计算点；Ｅ为摆线终止点，Ⅳ为次终
第３４卷第２期内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓参数化设计分析
止点。由于数值计算时，所采用的点数较多，所以可用直线ＥｌⅣＩ、Ｅ２Ⅳ２近似代表摆线轮的相应摆线段。由图
√＿。‘。‘、
３中可知，所求圆弧为ＥＩＦＥ２，其圆心为Ｄｃ，半径为％。图３中ｐ为齿距角，圆弧可按用户给定圆弧半径ｒｃ和不给定ｒｃ两种情况确定。当用户给定ｒｃ时，所给定的数值应不小于点Ｅｌ和Ｅ２间距的一半；当用户不给定矗时，ｏ由程序自动计算，此时，所求过渡圆弧与
面瓦、—Ｅ２—１Ｖ２相Ｎ。
图３小轮齿根单圆弧曲线
２．２齿根双圆弧曲线
图４中圆弧为用户给定的齿根圆弧，Ｅ。Ｆｌ、Ｅ２Ｆ２为所求圆弧。与２．１节所求齿根圆弧过渡曲线不同，
√＿‘‘。～
双圆弧齿根实际上是由３段圆弧组成，分别是Ｅ１Ｆ１、
，＿＿－、，‘＿ｏ、，＿＿ｏ、，‘‘ｏ、
ＦｌＦ２和Ｆ２Ｅ２，其中Ｅ１Ｆｌ和凡Ｅ２关于齿槽对称线ＤｌＣ对称，设计时程序可以根据求出的Ｅｌ、Ⅳ１点和给定的
／＿ｏ。、
齿根圆弧半径ｒｌ自动计算ｒｃ和圆心０。，使Ｅｌ，ｌ同时与Ｅ１Ⅳ１、Ｆｌ兄相切。
一／＿—、
崩
图４小轮齿根双圆弧曲线
３摆线轮齿廓的参数化实现
３．１程序设计
程序编制原理：由于参数方程中只有一个变量，因此可以根据展角的变化范围进行编程。思路如下：根据９２的取值范围将其分成Ⅳ等分，Ⅳ的多少代表齿廓的计算精度；由参数方程求得曲线上一系列点的坐标值，并用样条曲线连接所有点即得到单侧齿廓曲线；
万
方数据当所取的点足够多时，就能绘出精确的齿廓曲线［３－４］。程序的主界面如图５所示。
该程序只需要输入大小轮齿数、中心距、弧齿圆弧圆心所在圆半径、弧齿圆弧半径、大小轮顶圆半径等基本参数，并选择齿根单或双圆弧处理和单侧齿廓计算点数，就可以完成齿廓上点的坐标计算，自动绘出齿轮的
所有齿廓，并计算出啮合界图５内啮合摆线齿轮泵ＣＡＤ
限各点对应的单齿极限啮合
界面
相位角、重合度和极限重合度等。３．２程序设计实例
ｙ
ｙ
Ｌ…～一三Ｌ一一一』
Ｃａ）双圆弧齿根
ｆｂ）单圆弧齿根
图６小轮单齿齿廓
（１）齿根单圆弧摆线轮ｙ（”齿根双圆弧摆线轮
Ｃ一
ｐ‘
ｉ々．
ｊ
一
７
∽卜
广一
＜
（ｃ）圆弧齿轮
图７小、大齿轮完整齿廓图
根据上述分析选用一组齿轮参数：小轮齿数名ｌ－８，大轮齿数：２＝１１，中心距ｏ＝２８．５７５ｍｍ，小轮齿顶圆
如ｌ＝１５２．３５ｍｍ，大轮齿顶圆屯＝１４６ｍｍ，大轮齿根圆
勘＝２０９．５５ｒａｍ，大轮弧齿圆弧包含齿数缸＝３，大轮弧
齿中心圆直径见＝３７２ｍｍ，大轮弧齿圆弧半径ｒｘ＝１３３ｍｍ。齿根过渡曲线按两种情况，（下转第４０页）
机械传动２０１０矩
ＭＰａ，如图９所示。此时，口＝３．１０９４、ｂ＝４．２４６８。优化结果与采用标准滚刀加工的计算结果（ｉｎ图７所示）比较可知，齿根最大ＹｏｎＭｉｒｅｓ应力降低了２５．１％，由此可知齿根过渡曲线对齿轮的弯曲强度有很大影响，运用本文的优化结果可明显降低齿根弯曲应力。
［２］
参考文献
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究［Ｊ］．中国机械工程，１９９５，（０２）：５９—６０．
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ｓＩＩａｐｅ
ｍｅｔｈｏｄｆｏｒ
图８初始ＹｏｎＭｉｅｅｓ应力分布
图９优化后ＹｏｎＭｉｓｅｓ应力分布
Ｙ．Ａ
ｐｈｙｓｉｃｓ—ｂａｓｅｄｐａｎｅｎｅｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ
ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ．ＭｅｔｈｏｄｓＡｐｐｉ．Ｍｅｃｈ．Ｅｎ嬲．１９９９，
４结束语
以“超椭圆”曲线方程描述的齿根过渡曲线形状优化，明显降低了齿根弯曲应力（２５．１％），又能保证齿廓的连续性和光滑性。由于设计变量很少，可以方便地利用内嵌于一般通用有限元分析软件中的优化设计模块描述和求解，所以这种描述最优过渡曲线的参数化方法具有很大的实用性。
另外需要说明的是，根据优化得到的齿根过渡曲线在实际中如何加工也是值得讨论的问题。假设齿廓由标准滚刀加工而成，则滚刀刀顶圆角部分切出过渡曲线为一外摆线［１０】１１４７。如果已知齿根过渡曲线为“超椭圆”曲线，如何运用齿廓运动学方法反求滚刀刀顶曲线将是作者以后研究的方向。（上接第３７页）
一是小轮齿根过渡单圆弧半径ｒｃ＝１０ｍｍ，二是齿根过渡双圆弧ｒｆ＝４２．５ｍｍ。
程序绘出的齿廓形状如图６、图７所示。
在三维设计软件平台ＳｏｌｉｄＷｏｒｋｓ上将得到的齿根过渡曲线单、双圆弧摆线轮齿廓曲线作为造型草图，利用一些特征操作生成三维实体如图８所示。
１７５：４１—５１．
［７］ＰｈａｎＡ—Ｖ，ＰｈｏｎＴ－Ｎ．Ａｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｓｈａｐｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ
ｓｙｓｔｅｍｍｉＪｌｇ
ｔｈｅ
ｔｗｏ一曲舢ｉｅｎａｌ
［８］Ｐｅｄｅｒｓｅｎ［９］Ｐｅｄｅｒｓｅｎ
ｓｔｒｅｓｓ
ｂｏｕＩ吐町ｃｏｎｔｏｕｒｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］，Ａｒｃｈ．Ａｐｐｉ．Ｍｅｃｈ．
ｍａｔｅｒｉａｌｓａｎｄ
１９９９．６９：４８ｌ一４８９．
Ｐ．Ｏｎ叩妇ｌａｌ岫ｉｎ
ｓｔｕｄｙｏｆｈｏｌｅ
ｓｉｎａｃ岫［Ｊ］．Ｓｔｒｕｃｔ
ｔｉｐ
ＭｕｌｔｉｄｉｓｃＯｐｔｉｍ．２０００，１９：１６９—１８２．
Ｐ．Ｄｅｓｉｇｎ
ｒｅｌｅａｓｉｎｇｌＪＪ．Ｓｕｕｃｔ
Ｍｕｈｉｄｉｓｃ岫．２００４，２８：１６９—１８２．
ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ
ａｎｄｈｏｌｅ日ＩＩ珥，∞ｆｏｒｃｒａｃｋ
［１０］唐进元，周长江，吴运新．齿轮弯曲强度有限元分析精确建模的
探讨［Ｊ］．机械科学与技术，２００４，２３（１０）：１１４６—１１４９。１２４８．［１１］周长江，唐进元，钟志华，吕文利．齿轮有限元精确建模中边界
界定的研究［Ｊ］．中国机械工程，２００５，１６（２２）：２０４４—２０４９．［１２］高耀东，张灶法．齿轮齿根部最佳过渡圆角的计算［Ｊ］．现代制
造工程，２００３（０２）：６０一６１．收稿日期：２００９０２２２
作者简介：芮井中（１９８４一），男，江苏灌南县人，硕士研究生
法，给出了齿根过渡曲线的两种构造方法。在此基础上，实现了大小齿轮齿廓的参数化绘图，所生成的二维坐标点和三维实体图为摆线轮的数控加工和强度分析打下了基础。
参
考
文
献
［１］吴序堂．齿轮啮合原理［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９８２：２０—
４４．
［２］ｌ侯东海Ｉ，司春华，吕泮功．少齿差摆线齿轮泵啮合原理及几何参
数选择［Ｊ］．机械传动，１９９５，１９（３）：２４—２７．
［３］邓兴贵．用ＶＢ６．０开发圆柱齿轮ＣＡＤ的参数设计予系统［Ｊ］．现
代机械，２００２（２）：６５—６９．
［４］吴鲁纪，常可勤．基于特征的三维渐开线圆柱齿轮ＣＡＤ［Ｊ］．机械
传动，２００２，２６（４）：５３—５４．
（ａ）齿根双圆弧三维造型（ｂ）齿根单圆弧三维造型
图８摆线轮三维实体造型
收稿日期：２００８０７０２
基金项目：科技部科研院所基金项目：“输送用高参数齿轮泵设计制造
４小结
讨论了内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓的计算方
关键技术研究”（Ｎ凹ＩＥ一２００１一ＪＫＺＸ一０９６）
作者简介：王振（１９８２一）。男，河南虞城人，硕士研究生
万方数据
内啮合摆线齿轮泵摆线轮齿廓参数化设计分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
王振， 刘忠明， Wang Zhen， Liu Zhongming郑州机械研究所,研发中心,河南,郑州,450052机械传动
JOURNAL OF MECHANICAL TRANSMISSION2010,34(2)
参考文献(4条)
1.吴鲁纪;常可勤 基于特征的三维渐开线圆柱齿轮CAD[期刊论文]-机械传动 2002(04)2.邓兴贵 用VB6.0开发圆柱齿轮CAD的参数设计子系统[期刊论文]-现代机械 2002(02)3.侯东海;司春华;吕泮功 少齿差摆线齿轮泵啮合原理及几何参数选择 1995(03)4.吴序堂 齿轮啮合原理 1982
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jxcd201002011.aspx