初一上初中数学应用题100题练习与答案

列方程解应用题百题-学生练习

一、多位数的表示

1、有一个三位数，百位上的数字是1，若把1放在最后一位上，而另两个数字的顺序不变，

则所得的新数比原数大234，求原三位数。

解：(多位数表示) 设后两位数（即十位与个数）为x ，100+x+234=10x+1

2、一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍

少2. 若将三个数字顺序倒过来，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数。

解：(多位数表示) 设十位数字为x, 则百位数字为x+1，个位数字为3x-2

100(x+1)+10x+3x-2+100(3x-2)+10(x+1)+x=1171

3、有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0后写上小的数，得到一个五位数，又在小

数的右边写上大数，然后再写上一个零，也得到一个五位数，第一个五位数除第二个

五位数得到的商为2，余数为599，此外，大数的2倍与小数3倍的和为72，求这两

个两位数。

解：（多位数表示）设大的两位数为x ，小的两位数为y

大○小⇒1000x +y ， 小大○⇒1000y +10x

⎧1000x +y =2(1000y +10x ) +599∴⎨ 2x +3y =72⎩

4、有一个三位数，各数位上的数字的和是15，个位数字与百位数字的差是5，如果颠倒各

数位的数字顺序，则所用到的新数比原数的3倍少39，求这个三位数。

解：（多位数表示） 百 十 个

X+5 10-2x x

原数=100(x+5)+10(10-2x)+x， 新数=100x+10(10-2x)+x+5

∴3[100(x+5)+10(10-2x)+x]-39=100x+10(10-2x)+x+5

5、两个三位数，它们的和加1得1000，如果把较大的数放在小数的左边，点一个小数点在

两数之间所成的数，正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6

倍，求两个三位数。

解：（多位数表示+已知和）设大三位数=x，小三位数为999- x.

999-x 大∙小=x + 1000

x 小∙大=999-x + 1000

999-x x ∴x +=6(999-x +) 10001000

6、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，且个位上的数字与十位上的数字的和

比这个两位数的大6，求这个两位数。

解：(多位数的表示+已知差) 设十位数为X ，则个位数为X+5，依题意得

10X+X+5=X+X+5-9

二、已知和

1、某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿

轮和三个小齿轮配为一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？

解：（已知和）设应安排X 人加工大齿轮，则安排85-X 人加工小齿轮

3⨯8x =10(85-x )

2、为了把2008年北京奥运会举办成一届绿色奥运会，实验中学和潞河中学的同学积极参加

绿化工程的劳动。两校共绿化了4415平方米的土地，潞河中学绿化的面积比实验中学

绿化面积的2倍少13平方米，这两所中学分别绿化了多少面积？

解：（已知和）设实验中学x 人，潞河中学4415-x ， 4415-x=2x-13

3、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制造盒身18个，或制造盒底45个，一个盒身与两个盒

底配成一套罐头盒。现有180张白铁皮，用多少张制造盒身，多少张制造盒底，可以制

成整套罐头盒？

解：（已知和）设x 张铁皮作盒身，180-x 张铁皮作盒底 45(180-x ) 18x= 2

4、为了保护生态环境，我省某山区县响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地

改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，

求改变后林地面积和耕地各为多少平方千米？

解：（已知和）设林地面积为x ，耕地面积为180-x ， 180-x=25%x

5、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，

其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利

2600元，问王大伯一共获纯利多少元？

解：（已知和）设种茄子x 亩，种西红柿25-x

1700x+1800（25-x ）=44000， 则获利为2600x+2600（25-x ）,

6、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天

精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，

几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为

2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？

解：（已知和）设x 天安排作粗加工，15-x 天安排作细加工

6（15-x ）+16x=140， 获利为1000+2000（15-x ）

7、某个体户向银行申请了甲、乙两种贷款，共计136万元，每一年需付利息16．84万元，

甲种贷款的年利率是１２％，乙种贷款的年利率是１３％，问这两种贷款的数额各是多

少？

解：（已知和）设甲种贷款x 万元，乙种贷款136-x

12%x+13%（136-x ）=16.84

8、已知甲、乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价

5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单

价各是多少元？

解：（已知和）设甲种商品原单价x 万，乙商品原单价100-x

(1-10%)x +（1+5%）（100-x ）=100（1+2%）

15、某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70

件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如表：

（1）设分配给甲店A 型产品x 件，把表二填写完整

（2）若两商店销售这两种产品的总利润为17560元，则分配给甲店A 型产品多少件？

解：（已知和）

200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)=17560

9、“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商

品，分别抽到七折（按售价的70%销售）和九折（按售价的90%销售），共付款386元，

这两种商品原售价之和为500元，问这两种商品的原销售价分别为多少元？

解：（已知和）设甲原售价x 元，乙原售价500-x ， 0.7x+0.9（500-x ）=386

10、某市场购进甲、乙两种商品共５０件，甲种商品进价每件３５元，利润率是２０％，乙

种商品进价每件２０元，利润率是１５％，共获利２７８元，问甲、乙两种商品各购进

了多少件？

解：（已知和）设甲购进了x 件，乙购进了50-x 件

35x ·20%+20（×50-x ）·15%=278

11、某企业用于甲、乙两个不同项目的投资20万元，甲项目的年收益率5.4%,乙项目的年

收益率为8.28%，该企业一年可获得收益12240元，问该企业对两个项目的投资各是多

少万元？

解：（已知和）甲项目x 万元，乙项目（20-x ）万元

5.40%·x+8,28%·(20-x)=1.224

12、去年甲、乙两车间计划完成利税150万元，由于进行了技术革新，生产效率大幅度提高，

结果甲车间超额完成税利110%，乙车间超额完成税利120%，两车间一共上缴税利323万

元，问甲、乙车间实际上缴税利多少万元？

解：（已知和）设甲计划完成利税x 万元，则乙计划完成利税150-x

（1+110%）x+（1+120%）（150-x ）

13、 中和小学有100名学生参加外语竞赛 ，平均得64分，其中男生平均分是60分，女生

平均分是70分。男生比女生多多少人？

解：（已知和+平均数）设男x 人，女生100-x ， 100×64=60 x+70（100- x）

14、给货主运2100箱玻璃，完好运到一箱给运费5元，损坏一箱不但不给运费，还要赔给

货主40元。将这些玻璃运到后收到货款9690元，损坏了几箱玻璃？

解：（已知和）设损坏了x 箱，未损坏2100-x 箱， 5（2100-x ）-40x=9690

三、已知差

1、设A ，B 两地相距82千米(km)，甲骑自行车由A 向B 驶去，9分钟(min)后，乙骑自行车

由B 出发以每小时比甲快2千米的速度向A 驶去，两人在距B 地40千米处相遇，问甲乙的速度各是多少？

解：（已知差）设甲的速度为X, 乙的速度为X+2

82-40409=+ X X +260

2、甲班有45人，乙班有39人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛。

如果甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余的人数恰好是乙班剩余人数的2倍，问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？

解：（已知差）设乙抽调x, 则甲抽调x+1人

3、一骑自行车的人，起初用每小时18千米的速度在一段路上骑自行车，在剩下的路程比已经走过的路程少32千米的地点开始，他用每小时25千米的速度骑完全程，若骑完全程的平均速度是20千米每小时，问他共行了多少千米？

解：（已知差）设剩下路程x, 已走过x+32，全程2x+32

2x +32x +32x =+ 201825

4、甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的罗数等于我今年岁数的一半，当你到我这

样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁。”两人现年各多少岁？答：甲现 年＿＿岁，乙现年＿＿。

解: （年龄问题, 注意差不变）

甲 乙

1X 2

现在 X Y 以前 Y

将来 2Y-7 X 1⎧Y -X =X -Y ⎪∴⎨ 2⎪⎩X -Y =2Y -7-X

四、已知倍数

1、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙比丙小7岁，三人的年龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年龄分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿？

解：（已知倍数，质数）设乙年龄x, 甲年龄2x ，丙x+7

⎧数字和=13⇒67⎨⎩

2、书架上层放的书是下层放的3倍。如果把上层搬40本到下层，那么两层书架上的书相等，原来上、下两各多少本？

解：（已知倍数）设原来下层x 本，上层3x 件， 3x-40=x+40

3、甲、乙、丙三数的和是700，又知甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的一半，甲、乙、丙

三数各是多少？

x x 解：（已知倍数）设乙=x，甲=2x，丙=， X+2x+=700 22

4、今年母亲的年龄是儿子的4倍，20年后母亲的年龄是儿子的2倍，母亲和儿子今年各多

少岁？

解：（已知倍数）设今年儿子x 岁，母亲4x ， 2（x+20）=4x+20

5、现在父母年龄和是子女年龄和的6倍，2年前，父母年龄和是子女年龄和的10倍，6年

后，父母年龄和是子女年龄和的3倍，问共有子女几人？

解：（已知倍数）设今年子女年龄和为x ，父母今年年龄和为6x, 共有y 个子女

⎧6x -4=10(x -2y ) ∴⎨⎩6x +12=3(x +6y )

6、小红、小明、小虎、小亮共收集邮票320枚，其中小红的邮票枚数是小亮的3倍，小虎

的邮票枚数是小红和小亮总数的2倍，小明的邮票比小虎多120枚，问他们各有多少枚邮票？

解：（已知倍数）设小亮邮票x 张，小红3x 张，小虎=2（x+3x）=8x

小明=8x+120， ∴x+3x+8x+8x+120=320

7、A 的年龄比B 与C 的年龄和大16，A 的年龄的平方比B 与C 的年龄和的平方大1632，那

么A 、B 、C 的年龄之和是（ ）

A. 210 B. 201 C. 102 D. 120

解：x 2-y 2=(x -y )(x +y )

技巧：可设B 与C 的年龄和为M, ∴A-M=16,A2-M 2=1632

∴(A-M)(A+M)=1632， ∴A+M=102

五、经济类问题、利润问题

1、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子

原来标价60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上按＿＿＿＿＿%的利率获得了利润（精确到一位小数）

解：（利润问题）

标价 售价 利润

1 0.95 1×(1+60%)-0.95

新成本 0.95×(1+40%) ∴利润率(1+60%)-0. 95 0. 95(1+40%)

进价2、某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润为20%（利润＝售价-进价），若这种商品的进

价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元，则提价后的利润率为（ ） A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%

解：（利润问题） 进价 售价 利润

原来 x (1+20%)x 0.2x

现在 （1+25%）x 0.2x

∴m=0.2x， ∴利润率=0, 2x =16% (1+25%)x

3、某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元 ，按定价的九折销售该电器6台与将

定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等。求该电器每台的进价、定价各是多少元？

解：（利润问题）

进价 定价 售价 利润

原 x x+48 x+48 48

0.9（x+48）×6-6x=9（x+48-30）-9x

4、一商店将每台彩电先按进价提高40%标出销售价，然后广告宣传将以80%的优惠出售，结

果每台赚了300元，则经销这种彩电的利润率是多少？

解：（利润问题） 进价 定价 售价

x x(1+40%) x(1+40%)×80%

∴x+100=x(1+40%)×80%

5、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定

价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

解：（已知和+利润）设甲服装成本x 元，乙服装成本500-x 。

成本 定价 售价 利润

甲 x (1+50%)x (1+50%)x·0.9 (1+50%)x·0.9- x

乙500-x (1+40%)(500-x) (1+40%)(500-x)·0.9 (1+40%)(500-x)·0.9-(500- x)

（1+50%）x ·0.9+(1+40%)(500-x) ·0.9=500+157

6、某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获

得10%的利润需几折出售？

x 10

7、有一批货物，如果本月1日售出，可获利1000元，然后将本利全部存入银行，当时的月解：（经济类问题）设X 折出售，1600(1+10%)=2200⨯

利率为2%，如果下月1日售出，可获利1200元，要付50元的保管费，这批货物是本月1日还是下月1日售出为宜？

解：（经济类问题）若本月1日售出：获利1000（1+2%）

若下月1日售出：1200-5， 比较大小即可

8、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，

每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R 等于（ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

解：（函数极值）利润=[8+2（R-1）]×[60-3(R-1)]

初一学生可将R=2，3，4，„，10代入，初二学生可配方求解。

9、某人现有1000元现金，存入银行5年后取出，现在银行定期存款利率为1年期2.25%，

2年期2.43%，3年期2.7%，5年期2.88%，到期利息要交纳20%的利息税，如果按下列4种方案存入银行，5年后交纳利息税后一共可以取出多少钱？

①先存1年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存一年，连续4次。

②先存2年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存三年定期。

③先存3年定期，到期后将本金和扣除利息税后的利息转存一年，连续2次.

④存5年定期。

解：（利息计算（不计利息税））

① 1000×（1+2.25%）4

② 1000×（1+2×2.43%）×（1+32.7%）

③ 1000×（1+3×2.7%）×（1+2.25%）2

④ 1000×（1+5×2.88%）

10、植树节这一天，某校学生去植树，如果每人植树6株，只能完成原计划植树数的3，如4

果每人提高植树效益的50%，那么可比原计划多植树植树40株，求参加植树的人数及原计划植树的株数。

解：（盈亏问题）设人数x 人，任务y 棵树

⎧6(1+50%)x =y +40⎪ ⎨36x =y ⎪4⎩

11、蛛蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现有小虫18只，

共有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只？

解：（盈亏问题）设蛛蛛x 蜻蜓y 蝉z

⎧8x +6y +6z =118⎪ ⎨2y +z =20

⎪x +y +z =18⎩

六、浓度问题

1、有含盐40％的盐水600克，现在要制成含盐25％的盐水，试问需要加水各多少千克？ 解：（浓度问题）设需加水x 千克，等式构成可考虑利用盐=盐建立

600×40%=（600+x）×25%

2、要在含50％酒精的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含酒精75％

的酒？

解：（浓度问题）设倒入x 克85%的酒精， 800⨯50%+85%x =(800+x )75%

3、已知甲种盐水含盐40％，乙种盐水含盐15％，现在要制成5千克(kg)含盐25％的盐水，

试问需要甲乙两种盐水各多少千克？

解：（浓度问题+已知和）设甲盐水需X 千克，则乙盐水需5-X 千克

40%×X+(5-X)×15%=5×25%

4、从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的

两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？

分析：由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数

为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 ．

解：（浓度问题） 设所切下的合金的重量为x 千克，重12千克的合金的含铜百分数为p ，

重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q) ，于是有

整理得 5(q-p)x=24(q-p)．

因为p ≠q ，所以q-p ≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．

七、比和比例

1、甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为4：3；乙、丙之比为6：5，又知

甲与丙的和比乙的2倍多12件，求每个人每天生产多少件？

解：(合成比例) 甲：乙：丙=8：6：5，设甲=8K , 乙=6K ，丙=5K ，则8K +5K =12K +12

2、某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣，所用时间之比为1：2：3，他一天共能做2

件童装、3条裤子、4件上衣，则他做2件上衣、10条裤子、14件童装需几天？

解：(连等连比设为K) 一件童装时间x ，一条裤子2x ，一件上衣3x

1∴ 2x+6 x+12 x=“1” ∴ x=， ∴ 6 x+20 x+14 x=40 x=2天 20

3、财产保险是常见的保险, 某年8月的一天, 村民王小二的三间草房及所有家具被雷电击中

起火, 化为一片灰烬, 由于他曾向镇保险所投保4元人民币,10月, 他从镇保险所领到995元的赔偿, 倘若他按规定投足保险金, 则可获得2985元的赔款, 问王小二应投足多少保险金?

解：(比与比例) 投保 赔偿

4 995

X 2985

4、已知三种混合物由三种A 、B 和C 按一定比例组成，第一种仅含有成分A 和B, 重量比为3：

5，第二种只含成分B 和C, 重量比为1：2，第三种只含成分A 和C, 重量比为2：3，以什么比例取这些混合物，才能使所得的新混合物中A 、B 和C 这三种成分的重量比为3：5：2？

解：(比与比例)

设第一种混合物x 克，则A =3x , 8B =5x 8

12第二种混合物y 克，则B =Y , C =y 33

23C =z 第三种混合物z 克，则A =z 55

325123∴A 共有x +z ， B 共有x +y ， C 共有y +z 858335

325123∴(x +z ) ：(x +y ) ：(y +z ) =3：5：2 858335

八、工程问题

1、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

11解：(工程问题) 设乙还需要X 天完成任务， ⨯3+(x +3) =1 1512

232、某项工程，如果由甲乙两队承包，2天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，354

6天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元，现在工程由7

一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？

解：(工程问题)

42⎧⎧甲+乙=180000÷2乙+丙=⎪⎪515⎪⎪73⎪⎪工效⎨甲+丙= 钱 每天⎨乙+丙=150000÷3 204⎪⎪65⎪⎪甲+丙=160000÷2甲+乙=⎪⎪712⎩⎩

33、 甲乙两台打麦机，甲机工作效率是乙机的2倍，先用甲机打完麦子的，然后用乙机全5

部打完，所需时间比同时用两台机器全部打完麦子所需时间多11天，问分别用一台机器打完全部麦子各需多少时间？

32

1解：（工程问题）设乙工效x, 甲工效2x ， 5+5=+11 2x x x +2x

4、整理一批图书，由一个人做需要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，在增加

2人和他们一起做8小时，完成这项任务。假设这些人的工作效率都相同，具体应该先安排多少人工作？

148(x +2) =1 ，先安排x 人， x +404040

5、一水池用甲管注水，可以在3小时将水池注满，用乙管放水，可以在2小时内将满池水解：（工程问题）设一人一小时工效

放空，用丙管放水，可以在4小时内将满池水放空，现在先在空池时开甲管1小时，然后三管齐开，问什么时候水池放空？

111解：（工程问题）甲进水管工效, 乙出水管工效，丙出水管工效 324

111设x 小时后水池放空， (x +1) =(+) x 324

6、某项工程，甲单独需a 天完成，在甲做了c （c

天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天

A. c a +b B. ab a +b -c C. a +b -c 2D. bc a +b +c

解：(工程问题, 重要利用工效)

c 1-1ab 1=a -c ， ∴ 两人合作天数==甲工效= 乙工效= 1a -c b +a -c a b ab +a ab

7、有两只蜡烛，长短粗细各不相同，长的能点7小时，短的能点10小时，同时点燃4小时

后，两支蜡烛长度正好相等，问长蜡烛长度是短蜡烛长度的多少倍？

解：（工程问题，主要考虑效率）设长蜡烛长为x ，短蜡烛长为y x y 36y 长一小时燃, 短一小时燃 x =710710∴x 7= y 5

8、一农场有甲、乙两台打谷机，甲机的工作效率是乙机的2倍，若甲机打完全部谷子的2/3，

然后乙机继续打完，所需的时间比同时用两台打谷机打完全部谷子所需时间多4天，问若分别用甲、乙打谷机打完全部谷子各需多少天？

解：（工程问题+已知倍数）设乙机工效为x ，甲机工效为2x,

21

+=1+4 2x x x +3x

9．五个人要完成某项工作，如果甲、乙、丙三人同时工作需6小时；甲、丙、戊三人同时1工作需3小时；甲、丙、丁三人同时工作需7.5小时；乙、丙、戊三人同时工作需5小3

时，问五个人同时工作需用多少小时完成？

解：(工程问题+不定方程)

13甲+乙+丙= ① 甲+丙+戊= ② 610

21甲+丙+丁= ③ 乙+丙+戊= ④ 155

该题可将甲、乙、丙、丁均用戊表示，也可等式加减

10、小王原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任

务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少个零件？

解：（欲求路程，已知时间，设速度） 设原计划每小时生产x 个零件

13x=12(x+10)+60

11、刘师傅要加工一批零件，计划5小时完成，若每小时多加工3个，就可以提前1小时完

成，求这批零件一共多少个？

解：（欲求路程，已知时间，设速度）设原计划每小时生产x 个零件，5x=4(x+3)

12、某车间要在一天内完成一项生产任务，若每人生产12个零件，还差20个零件不能完成；

若每人生产14个零件就比规定的多生产12个零件，问规定的任务是多少个？该车间有多少名工人？

解：（欲求路程（任务量），已知速度（每人），设时间（多少人））

设人数为x 人，12x+20=14x-12

九、行程问题

1、某人从甲地到乙地，若每小时行8千米，就能比计划提前1小时到达；若每小时行6千

米，就会比计划晚到1小时，求甲乙两地的距离。

解：（欲求路程，已知速度，设时间）

设正点到用x 小时， 8(x-1)=6(x+1)=路程

2、甲、乙两人骑自行车同时从东、西两地相向而行，经过8小时可以相遇。如果甲每小时

少行1千米，乙每小时多行3千米，这样经过7小时就能相遇。东、西两地的距离是多少千米？

解：（欲求路程，已知时间，设速度）设甲速度x ，乙速度y

8(x+y)=7(x+1+y+3)=路程

∴x+y=28 ∴路程8×28=224

3、甲、乙二人从相距60米的两地反向而行，甲的速度为80米/分，乙的速度为120米/分，若乙先行2分钟，当甲乙二人相距600米时，求甲共行了多长时间？

解：（行程问题）设甲共行了x 分，80x+120(x+2)+60=600

4、甲、乙两人上午8时从A 地出发，步行去B 地，甲每分钟行80米，甲的速度是乙的的2

倍。途中乙因借自行车耽误了7分钟，他骑自行车的速度是原来的3倍，这样两人在上午9时同时到达B 地，乙借车前步行了多少分钟？

解：（行程问题）V 甲=80米/分，V 乙步=40米/分，V 乙骑=120米/分，

设乙借车前步行x 米，则骑车时间60-7-x

60×80=40x+120（60-7-x ）

5、甲、乙两列客车从两地同时相对开出，5小时后在距离中点30千米处相遇，快车每小时

行60千米，慢车每小时行多少千米？

解：（行程问题中的追及问题）慢车每小时行x 千米， 5x+30×2=60×5

6、AB 之间的距离为4000米，某人从A 到B 地，当他刚离开A 地时，正好碰见一辆公共汽车到达A 地，在路上他遇到了11辆公共汽车，当他到B 地时，恰好有一辆公共汽车正从A 发出，已知汽车的速度为400米/分钟，每隔5分钟发一车，求此人从A 到B 共需要多长时间？

解：（相遇问题） 设人的速度为X, 从A 到B 时间4000/X

4000400⨯5=⨯12 X X +400

7、甲、乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。

甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达B 、A 两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A 、B 两地相距多少千米？

解：（相遇问题） 设AB 两地相距x 千米， 3x=6(75+65)

9、甲、乙二人同时从A 地去往相距51千米的B 地，甲骑车，乙步行，甲的速度比乙的速度

快3倍还多1千米/时，甲到达B 地后停留1 小时，然后从B 地返回A 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好6个小时，求二人速度各是多少？

解：（变相的相遇问题+已知倍数）

设v 乙=x , v 甲=3x +1

(6-1)(3x +1)+6x =51⨯2

10、甲乙从相距210千米的两地相对出发，甲骑摩托车先走，半小时后乙开车出发，相遇后

两人继续沿各自方向原速前进，当二人又相距10千米时，乙共行了2小时，已知甲比乙每小时慢20千米，求甲乙两人的速度。

解：（行程问题中的变相的相遇问题）甲的速度x, 乙速度x+2， 2.5x+2(x+2)=210+10

11、甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，如果甲比乙先出发2小时，那么它们在乙

出发2.5小时后相遇，如果乙比甲先出发2小时，他们在甲出发3小时后相遇，问甲、

乙两人每小时各自多少千米？

解：（变相的相遇问题）设甲的速度为x, 乙的速度为y

⎧2, 5y +4. 5x =36 ⎨⎩5y +3x =36

8、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢

车？

解：（追及与相遇问题）

① 设快车开出后X 小时与慢车相遇 140x +90(x +1) =480

② 设X 小时后 480+（90+140）X=600

③ X小时后 480+（140-90）X=600

④ X小时后 （140-90）X=480

⑤ X小时后 140X=90(X+1）+480

12、某船从A 码头顺流而下到达B 码头，然后逆流返回，到达A 、B 两码头之间的C 码头，

一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。

A 、C 两码头之间的航程为10千米，求A 、B 两码头之间的航程。

解：(流水行船问题) V 顺=10km /h

设AB 间的距离为x ， V 逆=5km /h x x -10+=7 105

13、某船从码头A 顺流行至码头B 又原路返回，共用了5小时，已知船在静水中的速度为

30千米/时，水流速度为6千米/时，求AB 间的距离。

解：（流水行船）设去时用x 小时, 返回用5-x

(30+6)x=(30-6)(5-x)=路程

14、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与

水流的速度。

解：（流水行船问题）

⎧36=v 船+v 水⎪⎪3 ⎨24⎪=v -v 船水⎪⎩3

15、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a 小时，逆流航行这段路程需b 小时，那么

一木块顺水漂流这段路需（ b ）小时

A. 2ab a -b 2ab b -a B. C. ab a -b D. ab b -a

解：行程问题中流水行船+相同的量

设甲乙码头的路程为1

⎧111=v =v +v -顺水船⎪⎪a ∴v 水=v 木块=⎨2⎪1=v =v -v 逆船水⎪⎩b

1111--a b

2

16、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲，乙两人在同一街上沿同一方向步行，甲每

分钟走82米，每10分钟遇上一辆迎面而来的电车，乙每分钟走60米，每10分15秒碰上一辆迎面而来的电车，问电车总站发车时间间隔。

解：（追及+相遇+相等的量） 车与车之间的距离=V车×发车时间间隔

设发车时间间隔为x

⎧v 车x =10(v 车+82) ⎨v x =10. 25(v +60) 车⎩车∴木块顺水漂流时间1=2=2ba b -a

18、两条船分别从河的两岸同时相对开出，它们的速度各自一定，第一次相遇在距河的一岸

800米(m)处，然后继续前进，各自到达对岸后立即折回，第二次相遇在距河的另一岸600米处，如果认定船到对岸反向航行时不耽误时间，并且不考虑水流速度，问河宽有多少米？

解：（行程问题中的比与比例问题）设河宽X 米

第一次相遇 甲 乙 和

800 X-800 X

—— —— = ——

第二次相遇 X+600 2X-600 3X

从头算

17、甲乙丙三人同时从A 到B 地，当甲到B 地时，乙离B 地有200米，丙离B 地还有400米，

当乙到B 地时，丙离B 地还有240米，求AB 之间的距离。

解：（行程问题中的比与比例问题）设AB 之间路程为X

甲 乙 丙 乙-丙 X -200X -400200X = = X X -240240

19、甲乙两个人分别从A 、Ｂ两地同时同向而行，甲地距Ｂ地９千米处追上乙，若甲的速度

提高一倍，则在距Ｂ地２Km 地方追上乙，求AB 的距离。

解：（行程问题+比与比例）设AB 间距离=X 速度未提高前

∴v v 92=乙 =乙 速度提高前x +22v 甲x +9v 甲92=⨯2 x +9x +2

20、甲乙两辆汽车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a 千米（0＜a ＜50）

现将甲车起跑处从原点后移a 千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是 （ ）

A. 甲先到达终点

C. 甲乙同时到达终点

解：（行程问题+比与比例）

甲 乙

100100-a 1002-a a ==100- ∴x = ∴甲快 100+a x x 100B. 乙先到达终点 D. 确定谁先到与a 值无关

21、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ，若

仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ，甲乙的速度之比为

A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4

解：（行程问题+比与比例） （ ）

甲的时间60x +35v 乙 先解x ，即可求速度比 ===乙的时间x 60分v 甲

22、甲乙两人分别位于一个圆形跑道直径的两端，沿跑道相向而行，相遇时候，甲跑了100

米，相遇后，两人保持原有的速度大小和方向不变，乙从开始到再次相遇时，还差80米就跑了一圈，求圆形跑道的周长。

解：（行程问题+比与比例）设跑道为x 米，

甲 乙 甲+乙 x x 100 -100 22

33 x -(x -80) x-80 x 22

23、某队伍长1998米(m)，在行进中排尾的一个战士因事赶到排头，然后立即返回，当这个

战士回到排尾时，全队已前进1998米，如果队伍和这个战士行进的速度都不改变，求这个战士走过的路程．

解：（行程问题中的比与比例+追及+相遇）

通信费 队伍

去 1998-x x

回 x 1998-x

24、某人从向下运动着的自动扶梯步行而下，每步一级，共走了50级到达底层，在到达底

层后，他又返身奔上这一自动扶梯，也是每步一级，一共走了125级到达顶部，设这人向上奔走的速度是其向下步行速度的5倍，并设他上下来回都是匀速速度，问如自动扶梯停止后，一共能看到几级楼梯？

解：行程问题中的比与比例问题+相遇问题+追及问题）

人 电梯 路程和 路程差

下行 50 x-50 x

上行 125 125-x x

50x -50∴= 125⨯5125-x

25、李明和王华步行同时从A 、B 两地出发，相向而行，在离A 地52米处相遇，到达对方出

发点后，两人立即以原来的速度原路返回，又在离A 地44米处相遇，求A 、B 两地距离多少米？

解：（行程问题，全是路程比与比例）设AB 相距x 千米

李明 王华 路程和

52 x-52 x 2x-44 3x

52x 1∴== 2x -443x 3

26、有甲乙两列火车，甲车长190米，乙车长170米，分别在平行的两条转道上相向而行，

已知两车自车头相遇到车尾相离，经过6秒，甲乙两车的速度比为2：3，求两车的速度。

解：（错车相遇+比与比例）设v 甲=2k ., v 乙=3k , 190+170=6（2k+3k）

27、快车车长为100米，速度为15米/秒；慢车车长150米，速度为10米/秒。若两车相向

而行，则错车的时间间隔为多少秒？若若两车同向而行，则错车的时间间隔为多少秒？若求两车从齐头并进到完全离开的时间则应该为多少呢？

解：（错车问题，方法可在车尾或车头各放一人，将错车问题变为两人的追及与相遇问题）

设时间为X 秒，

两车相向：100+150=（10+15）X

两车同向：100+150=15X-10X

两车齐头：100=15xx-10x

28、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完

桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。 解：（火车过桥）设火车速度为x ，车长为y

⎧60x =1000+y ∴⎨40x =1000-y ⎩

29、如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上

乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？

解：（追及问题+相等的量(可设为单位1或X) ）

分析：甲第1次追 上乙与甲第2次追 上乙相隔时间为50秒，即甲每50秒追上乙一圈，同

理，甲每40秒追上丙一圈，设一圈长度为单位为1，

⎧1=v -v ⎪11101⎪50甲乙

-== v 乙-v 丙= ⎨405020020⎪1=v -v 甲丙⎪⎩40

1因为甲乙丙三人出发点不在一起，初始乙在甲前10×（v 甲-v 乙）= 5

33111丙在甲前30×（v 甲-v 丙）=，∴乙丙相距-= 44520

11111÷(v 乙-v 丙) =÷=11秒 ∴乙追丙时间，202020

30、公共汽车每隔x 分钟(min)发车一次，小红在大街上行走，发先从背后每隔6分钟开过2来一辆公共汽车，而每隔4分钟迎面驶来一辆公共汽车，如果公共汽车与小红行进的7

速度都是匀速的，则x 为多少？

解：（相遇+追及+相等量）设等距为单位1，

1⎧v +v =车⎪人24⎪7⎨⎪1⎪v 车-v 人=6⎩x =1 v 车

31、有一人在公路上散步，他看到每隔12分钟有一辆公共汽车从他背后开过来，而每隔4

分钟有一辆同一路的公共汽车迎面而来，若车和这个人的速度都是匀速的，问总站上每隔多少分钟开一辆汽车出来？

解：（追及+相遇+相等量）相邻的公共汽车之间距离不变，设为1

⎧1=v 车+v 人⎪⎪4⎨⎪1=v -v 人车⎪⎩1211+=1 ∴发车时间间隔=1=6分 ∴v 车=26v 车

32、甲、乙两地相距24千米，某人从甲地到乙地，步行一半路程后改骑自行车，共用4小

时到达，返回时，一半路程步行，一半路程骑助力车，若返回时步行，速度是去时速度3的，助车车速度是自行车速度的2倍，结果返回时比去时多用了30分钟，求去时步4

行的速度与自行车的速度。

解：（行程问题）设去时步行速度为x ，骑车速度为y,

⎧1212⎪x +y =4⎪ ⎨1212⎪+=4. 5⎪⎩4x 2y

33、甲、乙、丙三人只有一辆自行车，他们同时出发作100千米的旅行，甲先带着丙以时速

25千米前进，乙以时速5千米步行，经过一段时间后，丙下车改步行，速度同乙，而甲又折回去接乙，并将乙带上与丙同时到达目的地，求这次旅行所用的时间。

解：（行程问题）最佳方案：让甲先带乙走一段路，然后乙再步行，让丙先步行，然后甲接

丙一起走，则乙步行路程与丙步行路程一样长，三人才能同时到达。

x 100-2x 100-x +设走路的长度x 千米，从甲与乙分开后开始计时。= 52525

34、厂长每天早晨八点钟到达火车站，这时恰有一辆轿车到达火车站接厂长到厂里上班，有

一次厂长早晨7点钟到达火车站，然后步行遇到前来接厂长的轿车，随即厂长就乘轿车到厂，结果比平时早到20分钟，问厂长几点种遇到轿车，轿车的速度是厂长步行的速度的几倍？

解：（行程问题）本题应将厂长与车早到20分钟分开考虑

厂长早到20分=提前走的时间60分-步行一段路比车走同一段路多用时间

车早到20分钟=车少了一段往返路

∴车走单程路10分，厂长步行走该段路用50分，∴v 车

v 厂长=5 厂长在7：50遇到轿车

35、一辆小汽车与一辆大卡车在一段狭路上相遇，必须倒车，才能继续通过，如果小汽车的

速度是大卡车的3 倍，两车倒车的速度是各自正常速度的1/5，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车路程的4倍，为了使后通过狭路的那辆车尽早地通过这段狭路，问哪车倒车较为合理？

解：（已知倍数+行程问题）设大车倒车速度为v, 小车倒车速度为3v ，大车行进速度为

5v, 小车行进速度为15v

若大车倒车路程为S ，若小车倒车路程为4S. 若大车倒车，则两车通过这段狭路时间为：

大 倒 s v +小 前行通 s 15v +大 前行通 5s 5v =31S 15V

若小车倒车，则两车通过这段狭路时间为：

小 倒 4s 3v +大 前行通 4s 5v +小 前行通 5s 15v =37S 所以大车倒车合理。 15V

36、某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即

出发到县城，由于汽车在赴校途中发生了故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分仍未见汽车来接，就步行走向县城，在行进途中遇到了已修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原来到达县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间？

解：（行程问题），本题应将车与人晚点分别考虑

车晚点的时间30分=修车时间-少走一段路时间（往返）

人晚点的时间30分=晚出发10分+步行走一段路比车走同一段路多用时间

∵车速=人速的6倍，设车从学校走到碰见人的地方所用时间为X, 人从学校走到碰见车的地方所用时间为6X

∴人：30=10+6X-X ∴X=4

∴车 30=修车时间-4×2

∴修车时间=38

37、A 、B 两地相距20千米，甲从A 到B ，乙以B 到A ，2小时后二人在途中相遇。相遇后，

甲返回A ，乙仍向A 地前进，甲回到A 地时，乙离A 地还有2千米，求甲乙两人的速度。 解：（行程问题，注意去时与返回时间一样）设甲的速度为x, 乙的速度为y

⎧2(x +y ) =20 ⎨⎩2y +2=20

38、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中

一辆小汽车在距离火车站15km 的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。

解：（行程问题）最佳方案：将人分为两拨，第一拨先坐车，后走路，第二拨先走路，后坐

车，若两拨人同时到，则两拨人走的路程一样，坐车路程也一样

设走路的路程长为Xkm ，从第一拨人与车分开后开始计时，第一拨人走路时间=车用的时间

x 15-2x 15-x =+ 56060

39、某团队从甲地到相隔100千米的乙地去，其中一半人先坐专车，另一半人先步行，先坐

车的一半人到途中某处下车步行，而让汽车立即开回去接先步行的那一半人，已知步行时速4千米，汽车时速20千米，问要使大家下午6点同时到达乙地，必须在什么时候出发？

解：（行程问题）见题38，方法类似

十、平均数

1、甲、乙两人去江边钓鱼，甲钓了7条鱼，乙钓了11条鱼。中午来了一位游客，甲、乙两人把钓得的鱼烧熟后平均分成3份。餐后，游客付了6元钱给甲、乙两人，问：甲、乙两

人应各得多少钱？

解：（平均数） 11+7=18，18÷3=6

甲 乙 丙（游客）

应吃 7米 11米 0米

实际吃 6条 6条 6条

∴每条鱼6÷6=1元，甲收1元，乙收5元

2、小明和小红到商店买作文本，所付的钱一样多，他俩共买了20本，小红比小明多拿4本，

因此小红还给小明1.2元。小红和小明共花了多少元？

3、甲、乙、丙三人共出27元合伙买了一批练习本，每人出资相同。由于甲比乙少15本，

乙和丙要的一样多，因此，乙和丙每人都要给甲1.5元。三人合伙买了多少本练习本？ 解：（平均数） 设甲拿x 本，乙x+15，丙x+15 x +x +15+x +15=x +10(每人应该拿） 平均每人3

∴乙多拿了5本 ，∴一个本价格1.5÷5=0.3

27÷0.3=90个本

十一、不定方程

1、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开

始定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？

解：（不定方程）

甲 乙

原订购 3x x

后订购 3x-6 x+6 ∴x ≥2

最后购 3x-6-(6-y) x+6-y

=3x+y-12 =x-y+6 ∴y ≤6

∴3x+y-12=2(x-y+6) ∴x+3y=24

解之

⎧x =3⎧x =6⎧x =9⎧x =12⎧x =15∴⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩y =7(舍）⎩y =6⎩y =5⎩y =4⎩y =3

⎧x =21⎧x =24⎧x =18 ⎨ ⎨ ⎨y =9y =0y =2⎩⎩⎩

3、甲、乙、丙三人去买A 、B 两种类型的笔记本电脑各买1台用去30000元，乙共买A 、B

两种笔记本电脑8台用去110000元，丙买的A 种笔记本电脑台数恰好是乙买的B 种笔记

本电脑台数，而丙买的B 种笔记本电脑台数又恰好是乙买的A 种笔记本电脑的台数，问丙用去了多少钱

解：不定方程中的等式加减+已知和

设乙买A 型x 台，则乙买B 型8-x 台，丙买A 型8-x 台，丙买B 型x 台

设A 、B 两种类型单价为A ，B

A+B=30000 ①

xA+B(8-x)=110000 ②

求(8-x)A+Xb=? ③

②+③得110000+？=8（A+B）

∴?=8×30000-110000=130000

4、某人1992年的岁数正好等于他出生年份的数字之和，问这人2000年多少岁？

解：（不定方程） 设人出生年份19xy,

岁数=1992-19xy=92-10x-y

∴92-10x-y=1+9+x+y，

∴11x+2y=82

∴x=6,y=8

∴该人1968年出生，2000年他32岁

十二、时钟问题

1、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？ 解：时钟问题V 时针=1格/小时，Ｖ分针＝12格/小时

起始时间4:00，∴该题为追及问题,4=(12-1)X

2、钟表上8点到9点之间，时针和分针在什么时刻两针重合？又在什么时刻两针成15°的

角？

87. 5 ② 12-112-1

3、在三点钟与四点钟之间，时针与分针两针何时成一直线（不重合）？ 解：时钟问题 ①

解：：时钟问题中追及问题

V 时针=1格/小时，V 分针=12格/小时

起始时间为3：00，∴路程差为3格。

3∴时间=⨯60分 12-1

4、星期日小明去找同学玩了两、三个小时，离开家时他看了看表，回家时又看了看表，发

现回家时时针与分针的位置与离家时恰好互换了一个位置，问小明共离开家多少时间？ 解：时钟问题中的相遇问题

36小时 12+1

5、现在是10点和11点之间的某一时刻，在这之后的6分钟的位置与这之前3分钟时间的时针与分针共走了12+12+12格， ∴时间=

位置成一直线，求现在的时刻

解：时钟问题+变相的追及问题

1格12格V 时针=，V 分针= 6060现在的时刻为10点x 分，起始时间为10：00，原来路程差为10格。分针走了x+6分，时针走了x-3分后，其路程差为6格

x -312(x +6)6=10+- 6060

本题目也可根据分针和时针成一直线，通过简单的比例计算得到现在时针和分针的位置，从而转变为追及问题，因需要图说明，故过程略。

十三、相等量为1

1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济311南市场同类产品的，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的产品，乙厂仅有的产品423

1销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量与乙厂3

该产品的年产量的比为多少？

解：（相等量设为1）甲厂年产量占济南市场份数X, 乙厂年产量占济南市场份数为Y

3⎧X +Y =⎪⎪4 ⎨111⎪X +Y =⎪33⎩2

2、用库存的A 、B 、C 三种零件组装甲、乙、丙三种产品，每件甲产品需用A 、B 各2个，每

件乙产品需用B 、C 各1个，每件丙产品需用2个A 和1个C ，如果组装P 件产品，Q 件乙产品和R 件丙产品，则剩下2个A 和一个B ，但C 恰好用完，证明：无论怎样改变产品甲、乙、丙的件数，也不能将库存A 、B 、C 三种零件恰好用完。

解：假设甲、乙、丙三种产品的价值一样

∴2A+2B=B+C=2A+C

∴C=2B,B=2A

∴A 零件价值为“1”，B 零件价值为2，C 零件价值为4，

∴所有零件总价值:6的倍数+2×1+2=6K+4

而组装一件产品价值为6，∴不论如何安排，剩的零件价值为4，不够组装一个完整产品.

3、甲、乙、丙、丁4个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的

5倍减去4，这四个数相等，求甲、乙、丙、丁4个数。

解：(相等的量设为x) 设2甲+8=3乙=4丙=5丁-4=x

x -8x x 乙=丙=234

x -8x x x +4∴+++=432345甲=丁=x +45

十四、分段求值

1、 国家规定个人发表文章、出版图书所得稿酬应该缴纳个人收入调节税，计算方法是： ○1 稿酬不高于800元的，不纳税；

○2 稿酬高于800元但不超过4000元的，应交纳超过800元的那一部分的14%税款； ○3 稿酬高于4000元的，应该交纳全部稿酬的11%的税款．

（1）某人稿酬是1200元，则他应缴纳个人所得税多少元？

（2）若某人缴纳个人所得税280元，问这个人稿酬是多少元？

（3）刘老师说：“按照这样的规定，有时所得稿酬多的人反而比所得稿酬少的人纳税少．”你认为刘老师这句话说得对吗？如果对，请举例说明；如果不对，请说明理由．

解：（分段求值）

⎧800①1200⎨⎩400400⨯14%

① 800～400间最高税=3200×14%=448

∴280应为800-400之间税 280÷14%=2000元

∴稿费=800+2000=2800元

② 对，如：某人稿酬4001，则税=4001×11%=440.11元

另一人稿酬4000，税=3200×14%=448元

2、出租汽车4千米起价10元，行驶4千米以后，每千米收费1.2元（不足1千米按1千米

计算）。张天和张智要到离学校15千米的博物馆为同学们联系参观事宜。为了尽快到达博物馆，他们想坐出租车，如果他们只有22元，那么，他们乘出租车能直接到达博物馆吗？

⎧4千米→10元解：（分段求值） 15千米⎨

⎩11千米→11⨯1. 2=13. 2元

13.2+10>22， ∴不够

3、某城市按以下规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元

收费，如果超过60立方米，超出部分按每立方米1.2元收费，已知，某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，求该用户4月份应交的煤气费。

解：（分段求值） 设用了x 立方米，60×0.8+（x-60）×1.2=0.88x

4、小亮和爸爸坐出租车去郊游。10千米以内租费20元，超过10千米时，每千米租费3元，

下车时共交租费50元。求出租车行了多少千米？

⎧20→10千米解：（分段求值） 50⎨⎩30→30÷3=10千米

十五、倒推法 ⎫⎬20千米 ⎭

1、有一筐苹果，第一次卖出总数的一半又5个，第二次卖出余下的一半又4个，第三次又

卖出第二次余下的一半又3个，还剩9个，这筐苹果共有多少个？

解: 倒推法

（9+3）×2=24

（24+4）×2=56

（56+5）×2=122

2、甲、乙、丙三人各有图书若干本，现按下面方法互相赠送。首先甲向乙、丙赠送，所送

图书的本数分别等于乙、丙原来各有图书的本数，依同样方法再由乙向甲、丙赠送，最后由丙向甲、乙赠送，互送后每人恰好各有64本图书，问原来三人各有图书多少本？ 解: 倒推法可列表求结果

甲 乙 丙

最后 64 64 64

丙问甲乙赠送前 32 32 128

乙问甲丙赠送前 16 112 64

甲问乙丙赠送前 104 56 32

3、甲、乙两水缸内共有水48桶，如果把甲缸中的水加进乙缸，使加进乙缸的水恰好等于乙

缸内原有的水，然后再把乙缸中的水加进甲缸，使加进甲缸的水恰好等于甲缸剩余下的水，这时两缸内的水量相等，问最初两缸内各有水多少桶？

解:（倒推法） 甲 乙

第1次 30 18

第2次 12 36

后来 24 24

十六、牛吃草问题

1、有一片牧场，草每天都匀速地生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草（假如每头牛吃草量是相等的）问：①如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？②要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？

解：（牛吃草问题） ①定义：1牛1天吃的草一个单位

设草地原有草x 个单位，每天新长y 个单位

⎧x +6y =24⨯6 ⎨⎩x +8y =21⨯8=168

∴y=12, x=72

再设16牛m 天可吃完，

72+12m=16m, ∴m=18

② ∵y=12,∴最多放12件

2、有一满池水，池底有泉眼总能均匀地向外涌流，已知用24台抽水机6天可抽干满池水，

用21台抽水机8天也可抽干满池水，设每台抽水机在单位时间内的抽水量相同，要使这一池水始终抽不干，则至多只能用几台抽水机抽水？

解：（牛吃草问题） 定义：1台抽水机1天抽的水为1个单位 ，

设池中原有水x 个单位，每天新进水y 个单位

⎧x +6y =24⨯6⎨⎩x +8y =21⨯8

十七、其它 ⎧y =12 ∴⎨⎩x =72∴最多用12台抽水机

1、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二人相遇＿＿＿＿次。

解：画图，时间轴（略）

2、某班参加一次智力竞赛，共a 、b 、c 三题，每题或者得满分，或者得零分，其中题a 满

分20分，题b 、题c 满分25分，竞赛结果，每个学生至少答对一题，三题全答对的有一人，答对两题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29，答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25，答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？

解：（容斥原理+等式加减） 设答对a 、b 、c 三题人数分别为a 、b 、c

⎧a +b =29⎪⎨a +c =25 ∴a=17,b=12,c=8

⎪b +c =20⎩

∴17×20+12×25+8×25， 总人数=a+b+c-15-2×1=20人

3、甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，若购甲43件，乙

10件，丙1件，共需420元，现在购甲、乙、丙各1件共需多少元？

解：（等式加减） 3甲+7乙+丙=315

43甲+10乙+丙=420

4、一人提一篮玉米到集贸市场去兑换大米，每2公斤兑换大米1公斤，用秤一称连篮带玉米恰好20公斤，于是商贩连篮带大米给那人共称10公斤，在这过程中谁吃亏？数额有多大？

解：（等式加减） 第1次 篮子+玉米=20

111若等价换 篮子+ 玉米=10， 即篮子+大米=10 222

而题中篮子+大米=10 1∴亏的大米重量为篮子，小贩赚了 2

5、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车

每辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元，则租用该公司客车最少需用租金＿＿＿＿＿元。

解：（统筹规则）尽量选用大车，即乙车

乙车 甲车 钱数

8辆 3840

7辆 1辆

6、如果四个数中，其中每三个数的和分别是21、28、29、30，求这四个数。

四个数分别为a ，b ，c ，d

⎧a +b +c =21⎪a +b +d =28⎪ ⎨⎪a +c +d =29

⎪⎩b +c +d =30

7、在马路两旁种树，每隔3米种一棵，到头还剩3棵，每隔2.5米种一棵，到头还缺77棵，求马路的长。

x x +1+3=+1-77 32. 5

8、把若干苹果分给几个小孩，如果每人分给3个，则余8个，每人分给5个，则最后一人解：（植树问题） 设马路长x,

分得的苹果数不足5个，问共有多少个孩子？多少个苹果？

解：（不等式）孩子x 个，苹果3x+8，5(x-1)≤3x+8≤5(x-1)+4

9、若干学生住若干房间，若每间住4人，则有20人没处住，若每间住8人，则有一间住不

满，问有多少学生？多少间房？

解：（不等式） 房间x ，人数4x+20，8(x-1)+1≤4x+20≤8(x-1)+7

10、数学竞赛给出a,b,c 三个题目，有25个学生参加竞赛，每个学生至少能解出一道题，

在没解出a 题的学生中，解出b 题的人数是解出c 题的人数的2倍，只解出a 题的人数比其余解出a 题的人数多1，在解出一题的学生中只有一半不能解出a 题，求只解出b 题的人数。考点：容斥原理，画文思图，设未知数求解

11、某商店有甲、乙两种钢笔143枝，甲种钢笔每枝6元，乙种钢笔每枝3.78元，某学校

购了该商店的全部乙种钢笔和部分甲种钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？

解：（已知和+代数式与X 无关的表示方法） 设商店有甲种钢笔x 支，乙两种钢笔143-x 支,

学校购买的甲种钢笔占该商店甲种钢笔总数的百分数为y,

应付款的总数=3.78⨯(143-x)+6xy=540.54+x(6y-3.78)

∵应付款的总数与甲种钢笔的总数x 无关，∴6y-3.78=0, ∴y=63%

12、有练习本、圆珠笔和橡皮三种文具，若买4本练习本、1枝圆株笔和10块橡皮，共需

1.69元，若买3本练习本、1枝圆株笔和7块橡皮，共需1.26元，问现若购1本练习本、1枝圆株笔和1块橡皮共需多少钱？

解：1本练习本x 元，1支圆珠笔y 元，1块橡皮z 元

已知4x+y+10z=1.69 ①

3x+y+7z=1.26 ②

②×3-①×2

求x+y+z=?

13、小张和小王各有书若干本，如果小张给小王10本，那么这时小王的书是小张的5倍，

如果小王给小张10本书，那么这时小张的书与小王的相等，问小张和小王原来各有多少本？

解：设小王原有书x 本，小张原有书y 本，

⎧5(y -10) =x +10 ⎨⎩y +10=x -10

14、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分。鱼尾的质量是4千克，鱼头的质量等于鱼尾

的质量加上鱼身的一半，而鱼身的质量等于鱼头的质量加上鱼尾的质量。这条大鱼多少千克？

x +4x +4， x=+4 22

15、A 、B 、C 三个篮球队进行比赛，规定每场比赛后次是由胜队与另一队进行比赛，而负队解：设鱼身x 千克，鱼头

则休息一天，如此，最后结果A 队胜10场，B 队胜12场，C 队胜14场，问每队各比赛几场?

解：每场比赛均仅有一场胜局，因为10+12+14=36，所以总场数为36场.

设A 比了X 场，则X-10+X-10+10=36（注各队输+赢+休息的场数和为36场，输的场数和休息场数一样） 得X=23

同理得B=24 C=25

16、一所学校组织学生秋游，如果租用45座的客车若干辆，就有15个空座位，如果租用

50座的客车，则可少租一辆，且刚好坐满，已知租用45座车每车的日租金250元，50座车每车的日租金300元，要保证每人都有座位，怎样租车合算？

17、一名初一学生要参加教育储蓄，为6年后上大学准备学费，银行规定上：每月存入相同

的钱（整数元），6年后整笔取出（零存整取），年利率为2.88%,不交纳利息税, 本金总数不超过20000元, 这样, 这名初一学生, 每月应存入多少钱?6年后应取得的本利和为多少?

18、今知某公司职员甲, 乙, 丙三人, 甲月收入为1300元, 乙月收入1600元, 丙每月纳税数是

甲, 乙两人税数的和还多25元. ①甲, 乙每月分别纳税多少元, 扣税后两人实际收入各是多少? ②丙扣款后的月收入是多少?