11 二次函数知识梳理

二次函数的图像和性质

一、知识梳理

1. 二次函数的定义：形如 的函数叫二次函数。

限制条件（1）自变量的最高次数是 ；（2）二次项系数 。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式： ；

（2）顶点式：y=a（x-h ）2+k（a ≠0），

此时二次函数的顶点坐标为（ ， ），对称轴是 。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※ （3）交点式（两点式）：

设x 1、x 2是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，

则y=a（x-x 1）（x-x 2）此时抛物线的对称轴为直线x= 。

注意：（1）当顶点在X 轴上（即抛物线与X 轴只有一个交点（0，x 1））时，

函数表达式为 。这个交点是抛物线的什么点？

（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？

在什么条件下才有交点式？

（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。 实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：

针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h ）2+k（a ≠0）中，h= ；k= 当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数

a,b,c 的作用

二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象是一条 线，它是一个 对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的 点。不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是 。

（1）形状----开口大小。由 决定， 越大，开口越 。

（2）开口方向：由 决定。当a>0时，函数开口方向向 ；当a

（3）对称轴：直线x= ；

注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？

▲（4）顶点坐标公式：（ ， ）；

利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：y=2x2-4X+1

-4=-2时，y= ，顶点坐标为（ ， ） 2

可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。

（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。

当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y 随着x 的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y 随着x 的增大而 ；当a

▲（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内

当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最小值= ；当a

②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。

（7）与坐标轴的交点

①与X 轴的交点

求法：解方程 ，其求根公式是 。

2个数：当Δ=b-4ac 0时，抛物线与X 轴有两个不同的交点；

Δ=b2-4ac 0时，抛物线与X 轴没有交点；

Δ=b2-4ac 0时；抛物线与X 轴只有一个交点，

即顶点在 轴上。

②与y 轴的交点：（ ， ）

（8）函数值的正、负性：如图1：当 时，y ＞0；

当 时，y

当 时，y=0。

如图2：当 时，y ＞0；

当 时，y

当 时，y=0。

当X=

※(9)二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0），则二次函数图象与X 轴的交点之间的距离AB=x 1-x 2=

x 1-x 22=x 1+x 22-4x 1x 2

(10)二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）中a 、b 、c 及其代数式的符号判别：

①a 的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；

当开口向下时，a 0；

②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定：

若交点在X 轴的上方，则c 0；若交点在X 轴的下方，则C 0；

b ③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，由-知a 、b 同号；2a

b 若对称轴在Y 轴的右侧，由-知a 、b 异号。 2a

（11）缺项二次函数的特征

①抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点在Y 轴上时抛物线关于 轴对称， =0；解析式为 。

②抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过原点，则 =0；解析式为 。 ③抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式为 。

（12）抛物线的平移和轴对称

无论b ，c 值为多少，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。

① 抛物线y=ax2+bx+C上（下）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：

将原解析式中的 不变，把 转换为 ；

② 抛物线y=ax2+bx+C左（右）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：

将原解析式中的 不变，把 转换为 。

③ 物线y=ax2+bx+c关于X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）

④ 物线y=ax2+bx+c关于Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）

小结：二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）待定系数a,b,c 的作用

（1）a---a 的符号决定 ；a 的绝对值决定 。

（2）c----c 决定抛物线与 轴交点的位置。

（3）b-----b 单独不能起什么作用。 b 根据-，a ，b 共同决定抛物线对称轴的位置； 2a

Δ=b2-4ac 决定 ：

4、二次函数的解析式的求法----待定常数法

三种基本情况

（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用 式。

（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；

（3）已知抛物线与X 轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。

注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。

5. 二次函数图象的画法

画二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）图象的一般步骤

（1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；

（2）利用抛物线的 性列表；

（3）先画对称轴，再对称描点连线。

实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？ 开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。

6. 二次函数与一元二次方程的关系

（1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），当y= 时，得一元二次方程ax 2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象与X 轴的交点情况正好由一元二次方程ax 2+bx+c=0的 决定；

（3）一般地，一元二次方程ax 2+bx+c=K（a ≠0）的根可以看成是直线y= 与抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）的交点 坐标。也就是说解方程组 与解方程ax 2+bx+c=K（a ≠0）是等价的。

7．二次函数的应用

二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。

利用二次函数求最值的一般步骤：

（1）引入自变量和因变量

（2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围

（3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内

当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最小值= ；当a

②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。

二典例剖析

例1：（1）若函数y ＝（k －3）x k2－3k+2+kx+1是二次函数，那么k 的值一定是 。

2 （2）已知二次函数y ＝x +bx+c的图像过点A （c ，0），且关于直线x ＝2对

称，则这个二次函数的解析式可能是 。（只要求写出一个可能的解析式）。

例2：（1）将已知抛物线y ＝3(x－2) 2－1如何平移后得到抛物线y ＝3(x－2) 2+3？

（2）已知二次函数y ＝ax 2+bx+c的图像如图1所示，则有下列结论：

①a+b+c＜0；②a －b+c＞0；③abc ＞0；④b ＝2a. 其中正确的结论有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

例3：已知抛物线y ＝ax 2+bx－1的对称轴为直线x ＝－1，其最高点在直线 y ＝2x+4上. 求抛物线与直线的交点坐标.

例4已知：m 、n 是方程x 2-6x +5=0的两个实数根，且m

的图像经过点A(m ,0) 、B(0，n ). y =-x 2+bx +c

(1)求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C, 抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D

的坐标和△BCD 的面积；

(3) P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC

把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出

P 点的坐标.

三 强化训练

1、（苏州市2006）抛物线y ＝2x 2+4x+5的对称轴是x ＝ 。

2、（兰州市2006）开口向下的抛物线y ＝(m2－2) x2+2mx+1的对称轴经过点 （－1，3），则m= 。

3、（武汉市2006）已知二次函数的图像开口向下，且经过原点，请写出一个符合条件的二次函数的解析式：

4二次函数y =(x -1)+2的最小值是_____________。

5. 已知关于x 的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交Y 轴于点（0，2），且过点（-1，0），个二次函数的解析式是 。

6. 抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），此二次函数的解析式是 .

7. 抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），此抛物线的解析式

8. 抛物线与X 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），此二次函数的解析式为

二、选择题

9. 、（临安市）抛物线y ＝3(x－1) 2+1的顶点坐标是（ ）

A. （1，1） B. （－1，1） C. （－1，－1） D. （1，－1） 10下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )

2 A．y=2x B．y=―2x+5 C．y=―3 D．y=―x +2x―1 x 2

11（兰州市）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y 轴分别向上，向右平移2个单位，则在新坐标系下的抛物线的解析式是（ ）

A. y＝2(x－2) 2+2 B. y＝2(x+2)2－2

C. y＝2(x－2) 2 D. y＝2(x+2)2+2

12、（常德市）根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c的自变量x 与函数值y 的

对应值，

2

A. 6＜x ＜三、解答题 13（安徽省）抛物线y ＝－x 2+（m －1）x+m与y 轴交于（0，3）点.

（1）求出m 的值并画出这条抛物线；

（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；

（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？

（4）x 在什么范围取值时，y 的值随x 值的增大而减小？

m 2+1m 2+2214、（东营市）已知关于x 的二次函数y=x－mx+与y=x－mx －，222

这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点.

（1）试判断哪个二次函数的图像可能经过A ，B 两点；

（2）若A 点坐标为（－1，0），试求出B 点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A,B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 的值的增大而减小.

15（海淀区）已知抛物线y 1=x 2-2x +c 的部分图象如图1所示。

图1 图2

（1）求c 的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y 1=x 2-2x +c 的解析式；

（3）若反比例函数y 2=k 的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所x

示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小。

12516如图，抛物线y ＝－x ＋x －2与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ． 22

（1）求证：△AOC ∽△COB ；

（2）过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D ．若点P 在线段AB 上以每秒1个单位的速度由A 向B 运动，同时点Q 在线段CD 上也以每秒1个单位的速度由D 向C 运动，则经过几秒后，PQ ＝AC ．

四、探索创新 （第16题）

17、（黄冈市）如图4-4-6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A,B 的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M 、N 分别从点O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 和终点C 运动，过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时.

（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含t 的代数式表示）；

（2）记△MPA 的面积为S ，求S 和T 的函数关系式（0＜t ＜4）；

（3）当t ＝ 秒时，S 有最大值，最大值是 ；

（4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且△QAN 为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式.