第01讲 有理数 数轴w
第1讲 有理数和数轴
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1. 正数和负数
自然界有许多具有相反意义的量,如上升与下降,向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示.
如+5,+78,+2.4等带有正号的数叫正数;正号通常可以省略。如-65,-78,-92.4等带有负号的数叫负数;“0”既不是正数,也不是负数,
2.有理数的分类
⎧⎧⎧正整数⎧正整数⎪⎪⎪正有理数⎨整数零⎨⎩正分数⎪⎪⎪⎪负整数 (2)有理数⎪零(1) 有理数⎨ ⎨⎩⎪⎪负整数正分数⎧⎪分数⎨⎪负有理数⎧⎨⎪⎪负分数⎩负分数⎩⎩⎩
3. 数轴
规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴
建立了数轴后,就可以用数轴上的点表示有理数,原点表示的数是0,正有理数用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示,所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.
数轴上的两个有理数中,右边的数总比左边的数大,因此有理数大小比较的规律是:正数大于0,零大于一切负数,负数小于零,正数大于一切负数.
4.相反数
只有符号不同的两个数叫互为相反数,其中一个数叫另一个数的相反数,0的相反数是0. 互为相反数的和为0,
在数轴上的原点两旁,离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
经典例题解析
例1 (1996年第7届 “希望杯”数学邀请赛试题)
若a 、b 互为相反数,c,d 互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=______
解 因a 、b 互为相反数,故a+b=0; 因c,d 互为负倒数, 故cd = -1,于是
(a+b)1996+(cd)323 = 01996+(-1)323 = -1
评注 互为相反数的两数和为0,互为倒数的两数积为1,互为负倒数的两数积为-1,解答此类问题要注意从整体考虑。
例2 (2000年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题)
b 三个互不相等的数,可以表示成1,a+b,a 的形式,也可以表示成0,,b 的a
形式,那么a +3b =
解 由题意知,a 与a+b中必有一个等于0,b 与
但显然a ≠0,故a+b=0,从而b 中必有一个等于1, a b =-1,于是b =1,这样就有a =-1, a
∴a +3b =2。
例3. (1997年第8届 “希望杯”数学邀请赛试题)
文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20米处,玩具店位于书店东边100米处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了-60米,此时小明的位置在 ( )
(A)文具店. (B)玩具店.
(C)文具店西边40米. (D)玩具店东-60米.
解 选(A ).
由题意可以画出下图:
因为,向东走了--60米就是向西走了60米.所以,小明从书店向东走了40米,再向西走60米,结果是小明的位置在书店西边20米,也就是文具店的位置,
例4 (2007年肇庆市八年级数学竞赛试题)
如下图所示,在数轴上有六个点,且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C 所表示的数量接近的整数是( )
(A ) -1 (B ) 0 (C ) 1 (D ) 2
解 选C 。
16AF 的长度为11-(-5)=16, 所以每两个相邻的点之间的距离为,于是C 点5
162对应的数为=1。所以与点C 所表示的数量接近的整数是1。 55
评注:解有关数轴的问题,需要仔细观察点在数轴上的位置,判断点所对应的数的符号,了解不同点所对应的数之间的大小关系和数量关系。
例5(2003年第14届“希望杯”数学邀请赛试题)
数轴上的点A ,B ,C 分别对应数 0,-1,x 。 C 与A 的距离大于 C 与B 的距离,则( )
1(A ) x>0 (B ) x>-1 (C ) x
解
. C
如图, 因CA>CB, 故点C 在 AB 中点D 的左侧,而D 所对应的数是-所以x
1,21。 2
例6 (2006年第17届 “希望杯”数学邀请赛试题)
如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1
,2,3。先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合,再让数轴逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数-2006将与圆周上数字 重合。 解 填3
不难看出:数轴上的数中4的倍数,对应于圆周上的数是1;数轴上的数中被4除余3的倍数,对应于圆周上的数是2;数轴上的数中被4除余2的倍数,对应于圆周上的数是3;数轴上的数中被4除余3的倍数,对应于圆周上的数是4。
因为-2006 =-502×4+2, 所以数轴上的数-2006与圆周上的数3相对应。
例7 如果将数轴上的每一点都染成红和蓝两种颜色,求证:必然存在同色的三个点其中一个点是以另两点为端点的线段的中点。
证明:在数轴上取颜色相同的两点A 、B ,它们对应的数分别为a,b. 不妨设它们
1都是红色点,且AB=2。下面考虑AB 的中点C, 它所对应的数为(a +b ) 。 2
若C 的颜色是红色的,则题目的结论显然成立;
若C 的颜色是蓝色的,那么:
以A 为一个端点,B 为中点的线段的另一端点D 所对应的数为2b-a , 以B 为一个端点,A 为中点的线段的另一端点E 所对应的数为2a-b 。 若D 或E 是红色的 ,则题目的结论显然成立;
若D 与E 都是蓝色的,则D ,C ,E 同色且C 是DE 的中点,题目的结论也成立.
例8.(第11届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题)
如图,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数整数是
-n, -(n-1), …,-2,-1,0,1,2,…,n-1,n
为了确保从这些点中可以任取2006个,而且其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是 。
解 首先注意8个连续的点,例如0,1,2,3,4,5,6,7 。从中可取前4个数0,1,2,3, 其中任何两个点的 距离都不等于4。
又由于这8个点可以分为4组,每组两个点的距离为4:(0,4),(1,5),(2,6),(3,7),所以每一组只能选一个点,8个点中只能选出4个点,任何两个点之间的距离都不等于4。
因为 2006=4×501+2, 8×501+2=4010
故在n=2005时,2n+1=4011,从左到右,每8个连续的点中取前4个点,剩下的3个点中取2个,共取2006个点,任何两点间的距离都不等于4。
另一方面,如果n≤2004,那么2n+l≤4009.从左到右,每8个连续点一组,至多502组,其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2 006个点,前501组中总有一组取的点多于4个,从而有2个点的距离为4.
综合上面所说,n 的最小值是2005。
原版赛题传真
同步训练
一 选择题
1.(2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题)
若a+b0,则a,-a,b,-b 的大小关系是( )
(A )a1.A
由a+b0知-b
2. (2001年第12届“希望杯”数学邀请赛试题)
下面四个命题中,正确的命题是( )
(A )两个不同的整数之间必有一个正数
(B )两个不同的整数之间必有一个整数
(C )两个不同的整数之间必有一个有理数
(D )两个不同的整数之间必有一个负数
2.C
a b 在两个不同的整数a 与b 之间,存在有理数. 2
3. ( 1992年武汉市洪山区初中一年级数学竞赛试题)
一个数与它的倒数、相反数比较总是这个数最大, 而这个数的相反数最小, 那么
( ).
(A) 这个数是正整数 (B) 这个数是正的真分数
(C) 这个数是负的假分数 (D) 以上说法都不对
3. D
这个数是大于1的数,但不一定是整数。故A ,B ,C 均不正确。
4.(2006年第4届创新杯数学邀请赛初一试题)
有理数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则在a+b,a-b ,ab,a 3,a 2b 3这五个数中,正数的个数是( ).
(A ) 2 (B )3 (C )4 (D )5
4.A
从数轴上可以看出:-11. 故a+b>0, ab0
5.(2004年重庆市初中数学竞赛初赛试题)
1在数轴上任取一条长度为19999的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的
整数点的个数是 ( )
(A )1998 (B )1999 (C) 2000 (D)2001
5.C
盖住2001个整点的线段的两个端点至少相距2000个单位,而两个端点对应的数
1为0和19999的线段可以盖住0,1,2,…,1999这2000个点。
二 填空题
6.( 1995年北京市第11届迎春杯数学竞赛试题)
已知a 、b 为相反数,且a>b,那么a 的倒数与b 的倒数的大小关系为______(用“
6.11因a 、b 为相反数,且a>b,故a>0>b, 从而>0>. a b
7.(第16届江苏省初中数学竞赛试题)
如果数轴上点A 到原点的距离为3,点B 到原点的距离为5,那么A 、B 两点的距离为 。
7.
点A 对应的数为+3或-3,点B 对应的数为+5或-5,A 、B 两点的距离为2或8
8. (2006年第一届“南方杯”数学邀请赛初一试题)
若x 、y 都是有理数,且使得四个两两不相等的数x+4、2x 、2y -3、y 能分成两组,每组的两个数是互为相反数,则x +y 的值等于 。
8.。
这四个数的和为0,即(x+4)+2x+(2y-3)+y=0, 于是3x+3y=3,x+y=1
9. (第2届“学用杯”全国数学知识应用竞赛试题)
一滴墨水洒在一个数轴上,如下图所示,试根据图中标出的数值,判定墨迹盖住的整数共有 个.
9.在-121.3与-93.4之间有121-93=28个整数;在80.3和136.5之间有136-80=56个整数,一共墨迹盖住了28+56=84个整数
10. (1992年第二届“勤奋杯”数学邀请赛初中一年级试题)
一个负有理数a 在数轴上的位置为A, 那么, 在数轴上与A 相距d 个单位(d >0) 的点中, 与原点距离最运的点所对应的数是 。
10.
三 解答题
11. (1995年第10届 “迎春杯”数学竞赛试题)
已知数轴上有A ,B 两点,A ,B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,求所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和。
11 从已知得,点A 表示的数为3或—3。如图,从数轴上可以看出,满足条件的点B 共有4个,它们表示的数依次为-4,-2,2,4,
它们与原点的距离之和为4+2+2+4=12.
12. (2004年CASIO 杯河南省初中数学竞赛题)
在数轴上,N 点与O 点的距离是N 点与30所对应的点的距离的4倍,那么N 点对应的数是多少?
12.设30所对应的点为M 。
44当N 点在M 与O 之间时,NO=MO=×30=24,N 点对应的数是24; 55
44当N 点在OM 延长线上时,NO=MO=×30=40,N 点对应的数是40。 33
13. (2006年理想杯数学竞赛试题)
如图,已知数轴上A ,B ,C ,D 四点对应的实数都是整数,每相邻两个点相距个单位,如果A 对应的实数为a ,B 对应的实数为b ,且b-2a=9,那么数轴上的原点应该是A ,B ,C ,D 中的哪一点?
13. 从数轴上可以看出:b>a且b-a=4,
由于b-2a=9,所以a=-5,
而c 比a 大5,所以,故原点为C 点.
14. 在比有理数a 小的有理数中,有没有最大的数?
14.没有。
如果b 是比有理数a 小的有理数中最大的数,
1那么(a b ) 显然是有理数而且比a 小,而且比b 大, 2
这与所设b 是比有理数a 小的有理数中最大的数矛盾。
所以在比有理数a 小的有理数中,没有最大的数。
15.(1989年西安市初二数学竞赛试题)
把数轴上的每一个点染成红色或蓝色,求证在这条数轴上一定有两个同色点,它们的距离为1或2。
15.在数轴上取三点A ,B ,C , 使AB=BC=1,AC=2。
因为这三个点只染有两种颜色,所以必有两个点的颜色相同,若A 与B 或B 与C 同色,则有距离为1的两点同色;若A 与C 同色,则有距离为2的两点同色。