常用逻辑用语

讲义（六）

选修 第一章 常用逻辑用语

撰稿人：徐秀艳

一、知识点

1. 命题：可以判断真假的陈述句叫命题；

2. 四种命题

互逆原命题逆命题

若p 则q 若q 则p 否 为逆互 否 否 逆否命题否命题 若┐q则┐p若┐p则┐q互逆

注： （1）原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假；

（2）四种命题真假的个数可能为 0个、2个、4 个 。

⎧否命题：若⌝p , 则⌝q ⎨⎩命题的否定：若p , 则⌝q

3条件 ①一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件。

②一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：p ⇔q. 则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。

4. 或, 且, 非命题的真假性

且p ∧q:一假则假

或p ∨q:一真则真

非﹁p ﹂:一真另一假, 一假另一真

5全称命题与存在性命题

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表 示。 含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

“∀x ∈M,p(x)”6. 全称命题p ： 它的否定⌝p:“∃x ∈M, ⌝p(x)”

“∃x ∈M,p(x)” 存在性命题q ： 它的否定⌝q:“∀x ∈M, ⌝p(x)”

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一、命题、且或典型题

1．下列说法与x 2＋y 2＝0含义相同的是( )

A ．x ＝0且y ＝0

C ．x ≠0且y ≠0

2．下列命题是真命题的是( )

A ．5>2且7>8 B ．3>4或3

C ．71≥7 D ．方程x 2－3x ＋4＝0有实根 －B ．x ＝0或y ＝0 D ．x ≠0或y ≠0

3．下列为假命题的是( )

A ．3是7或9的约数 B ．两非零向量平行，其所在直线平行或重合

C ．菱形的对角线相等且互相垂直 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0

4．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y ) 是( )

A ．(0，－3)

C ．(1，－1)

二、填空题

5．若p

语句内容) ．

6. 命题“a 2＋1≥1”是________形式．

7．(2013～2014学年度聊城高二检测) 给出下列4个命题：

①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；

②矩形都不是梯形；

③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是____________．

8．下列语句：

①|x －1|

②存在实数a 使方程x 2－ax ＋1＝0成立；

③等腰梯形的对角线相等．

其中是全称命题且为真命题的是________．

9．判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假．

(1)∃x ∈R ，x －2≤0；

(2)矩形的对角线垂直平分；

(3)凡三角形两边之和大于第三边；

(4)有些质数是奇数．

第 2 页 B ．(1,2) D ．(－1,1) 是8的约数，q 是12的约数．则“p ∨q ”为________；“p ∧q ”为________．(填具体的

二、非典型题

选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．(2014·湖南文) 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则非p 为( )

A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0

C ．∃x 0∈R ，x 20＋1

2．若命题“(¬p ) ∨(¬q ) ”是假命题，则下列各结论中，正确的是( )

①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题；

③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题．

A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④

3．(2014·湖北文) 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )

A ．∀x ∉R ，x 2≠x

C ．∃x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x D ．∃x ∈R ，x 2＝x

4．(2013·新课标全国Ⅰ) 已知命题p ：∀x ∈R,2x

A ．p ∧q B ．(非p ) ∧q C ．p ∧(非q )

5．(2014·重庆文) 已知命题

p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程 x ＋2＝0的根．

则下列命题为真命题的是( )

A ．p ∧(非q ) B ．(非p ) ∧q C ．(非p ) ∧(非q ) D ．p ∧q

6．(2014·辽宁文) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 ( )

A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(非p ) ∧(非q ) D ．p ∨(非q )

二、填空题

7．“三个数a 、b 、c 不全为0”的否定是________．

8．已知p (x x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．

x －20的解集为{x |1

题“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬p ”、“¬q ”中正确的命题是________．

三、充分、必要条件典型题

1. “|x |=|y |”是“x =y ”的( )

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D. 既不充分也不必要条件

2. 已知p :|x +1|≤4，q :错误！未找到引用源。＜5x －6, 则p 是q 成立的( )

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D. 既不充分也不必要条件

3、(2013·福建理) 已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )

A ．充分而不必要条件

C ．充分必要条件

B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 第 3 页

4、(2014·浙江文) 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的

( )

A ．充分不必要条件

C ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

5、(2014·广东文) 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )

A ．充分必要条件

C ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 D ．非充分非必要条件

6、使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )

1A ．x

7、“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )

A ．必要不充分条件

C ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件

18、设x ∈R ，则“x >2x 2＋x －1>0”的( ) 2

A ．充分而不必要条件

C ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

9、命题p ：不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ，命题q ：0

A ．充分不必要条件

C ．充要条件

二、填空题

10．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：

(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；

(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；

(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．

11．若x ∈R ，则函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．

12．直线l 1：2(m ＋1) x ＋(m －3) y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3) x ＋2y －5＝0垂直的充要条件是________．

13．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0

14．(2013～2014学年度宿州高二检测) 设命题p ：(4x －3) 2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1) x ＋a (a ＋1) ≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

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