2013年上海中学"创新素养培育项目"数学测试卷
2013年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷
一、填空题
1． 计算：111++ += ____________．
1+2+32012+2013
y -z 2．设x 、y 、z 为整数且满足x -y 2012+=1，则代数式x -y +y -z +z -x 33的值为______．
3．若有理数a 、b 满足，21-33=a +，则a+b=______．
4
4．如图，△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE ⊥AB ，且△的面积是△ABC 面积的三分之一，那么，线段BD 长为________．
5．二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有两个交点M 、N ，顶点为R ，若△MNR 恰好是等边三角形，则b 2-4ac =__________．
6．如图为25个小正方形组成的5×5棋盘，其中含有符号“#”的
各种正方形共有________个．
7．平面上有n 个点，其中任意三点都有直角三角形的顶点，则n 的最大值为_________．
8．若方程(x2-1)(x2-4)=k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k=________．
9．一个老人有n 匹马，他把马全部分给两个儿子．大儿子得x 匹，小儿子得y 匹，(x>y≥1) ，并且满足x 是n+1的约数，y 也是n+1的约数，则正整数n 共有_______种可能的取值？
10．已知a>0，且不等式1
二、解答题
11．设方程x 2-x-1=0的两个根为a 、b ，求满足f (a ) =b , f (b ) =a , f (1) =1的二次函数f (x ) ．
1
12．已知1+2+3+…+n=n (n +1) ，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1，2
推导出12+22+32+…+n2的计算公式．
⎧x 2=1+(y -z ) 2
13．解方程组⎪22 ⎨y =2+(z -x )
⎪z 2=3+(x -y ) 2⎩
14．已知△ABC ，CA=5，AB=6，BC=7，△A′B′C′中，∠A′=∠A ，∠B′=∠B ，但△A′B′C′的大小和位置不定，当A′到BC 的距离为3，B′到AC 的距离为1，问：C′到AB 的距离是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
C
2