投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导

工　程　技　术

２００７　　ＮＯ．３４

科技创新导报

投影于抵偿高程面上的坐标计算方法及其公式推导

吴国荣　　章冬保　　陈龙邦

（江西省交通设计院　　江西南昌　　３３０００２）

摘　要：讨论、分析投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法及其计算公式的推导。供同行们讨论与参考。关键词：交通工程　公路控制测量　投影　　平面坐标计算方法中图分类号：Ｕ

４

９文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－０５３４（２００７）１２（ａ）－００３９－０２

国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。国家坐标系统是采用高斯－克吕格正形投影（简称“高斯投影”），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率半径相比微不足道，故忽略不计。然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数十米增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。如，据有关计算表明，当大地高程面Ｈ＝７００ｍ时，其长度变形为１１ｃｍ／ｋｍ，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题。

　　

Ｒ为投影区地球平均曲　率半径Ｈ０为原坐标投影面高程

Ｈ为新坐标投影面（抵偿高程　面）高程Ｘ０、Ｙ０为投影原点坐标Ｘ、Ｙ为原坐标Ｘ′、Ｙ′为投影于抵偿高程面上的新坐标

因为：（Ｘ′－Ｘ０）／（Ｒ＋Ｈ）＝（Ｘ－Ｘ０）／（Ｒ＋Ｈ０）Ｘ′＝Ｘ０＋（Ｘ－Ｘ０）（Ｒ＋Ｈ）／（Ｒ＋Ｈ０）所以：Ｘ′＝Ｘ０＋（Ｘ－Ｘ０）　〔１＋（Ｈ－Ｈ０）／（Ｒ＋Ｈ０）　〕

同理：Ｙ′＝Ｙ０＋（Ｙ－Ｙ０）　〔１＋（Ｈ－Ｈ０）／（Ｒ＋Ｈ０）　〕　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）

以上（１）式即为新老坐标投影换算公式。　　

Ｒ为投影区地球平均曲率半径Ｄ１为克氏椭球面上长度Ｄ１′为地方独立椭球面（抵偿高程面）上　　长度

Ｄ２为１９５４年北京坐标系高斯平面上长度Ｄ２′为地方独立坐标系高斯平面上长度（Ｄ１′经高斯正形投影改化后得到的长度）

Ｈｍ为实测边长两端点平均高程

Ｈｐ为抵偿高程面高程（即投影面高程）Ｙｍ为实测边长两端点距１９５４年北京坐标系中央子午线之平均距离

Ｙｍ′为实测边长两端点距地方独立坐标系中央子午线之平均距离

Ｘ、Ｙ为１９５４年北京坐标Ｘ′、Ｙ′为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标

因为：Ｄ１＝Ｄ０［１－Ｈｍ／（Ｒ＋Ｈｍ）］Ｄ１′＝Ｄ１（１＋Ｈｐ／Ｒ）

Ｄ２＝Ｄ１（１＋Ｙｍ２／２Ｒ２）为高斯正形投影改化公式

２

Ｄ２′＝Ｄ１［１＋Ｙｍ′／２（Ｒ＋Ｈｐ）２］

２

　　　＝Ｄ１（１＋Ｈｐ／Ｒ）［１＋Ｙｍ′／２（Ｒ＋Ｈｐ）２］　　　　　　　　　　为高斯正形投影改化公式所以：

任一边长投影于抵偿高程面上的高斯平面长度与其投影于１９５４年北京坐标系高斯平面上的长度之比＝Ｄ２′／Ｄ２＝（１＋Ｈｐ／Ｒ）［１　＋Ｙｍ２２２

′／２（Ｒ＋Ｈｐ）］／［１＋Ｙｍ／２Ｒ２］

由于长度投影变形与方向无关，且坐标与长度成正比例线性关系。

因此：

２

Ｙ′＝Ｙ（１＋Ｈｐ／Ｒ）　［１＋Ｙ′／２（Ｒ＋Ｈｐ）２］／［１＋Ｙ２／２Ｒ２］

２

Ｘ′＝Ｘ（１＋Ｈｐ／Ｒ）　［１＋Ｙ′／２（Ｒ＋Ｈｐ）２］／［１＋Ｙ２／２Ｒ２］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）

以上（２）式即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算公式，其中Ｙ′坐标计算可以通过解一元二次方程求得，或者取Ｙ′＝Ｙ（１＋Ｈｐ／Ｒ）式计算，误差较小。２．２　方法二

该方法是首先将原坐标Ｘ、Ｙ（１９５４年北京坐标）进行高斯投影反算，求得大地坐标经纬度Ｌ、Ｂ。然后在考虑抵偿高程面投影时，重新建立地方独立参考椭球，以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，即在克氏椭球基础上改变参考椭球长轴ａ、短轴ｂ的长度，ａ′＝ａ＋Ｈｐ，但扁率α（α＝１／２９８．３）、偏心率ｅ保持不变，ｂ′＝ａ′（１－α），来确定新的地方独立参考椭球面参数。最后令大地坐标Ｂ、Ｌ保持不变，通过高斯投影正算，求得新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标Ｘ′、Ｙ′，即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标。从而间

（下转４１页）

２　投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算

将１９５４年北京坐标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标，按以下两种方法考虑：２．１　方法一

该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，通过计算任一实测边长Ｄ０投影于地方独立参考椭球面（即抵偿高程面）并经高斯正形投影改化后，得到新的地方独立坐标系抵偿高程Ｈｐ上的高斯平面边长度Ｄ２′，与该实测边长在１９５４年北京坐标系统高斯平面上长度Ｄ２（实测边长Ｄ０投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度）的比值Ｄ２′／Ｄ２关系式，推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式。

如图２所示。

Ｄ０——实测边长长度

１　独立坐标系中投影于抵偿高程面上的坐标换算

在独立坐标系中，原有坐标Ｘ、Ｙ投影高程面为Ｈ０，测区平均高程面为Ｈ，为使实测边长与成图平面上的边长相一致，不致产生过大的长度投影变形，需将测区平均高程面Ｈ作为抵偿高程面（简称投影面），从而建立新的地方独立坐标系统。利用原有坐标Ｘ、Ｙ换算成新的投影面（抵偿高程面）上的独立坐标Ｘ′、Ｙ′，一般取测区中心或附近点为投影原点（Ｘ０、Ｙ０），换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响，公式推导如下。

如图１所示。

图１图２

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计算机进行数据通讯并且进行调节。本系统应用标准的外置式调制解调器，不但接口简单，而且扩展性好。如果采用专用的调制解调器芯片，自己设计外围电路、接口电路，不仅费时费力、成本高、开发周期长，而且通用性差。

当用户欠缴集中供暖费用时或其他原因，如出现泄漏故障，维修等，工作人员可以通过系统管理中心控制阀门来关闭用户供暖管道停止供热。只有当用户缴清所欠的集中供暖费用或故障排除时，才能由管理人员通过系统管理中心打开用户阀门。用户在这样的情况下无法控制阀门。

在硬件电路确定之后，则其主要功能将由软件来实现。对于同样的硬件系统，配以不同的软件系统，所实现的功能也就不一样，而且有些硬件电路的功能都可以用软件来实现。所以对于一个系统设计来说，软件系统常常比硬件系统需要更多的工作量。

本系统的软件主要是集中供暖现场监控软件系统和监控中心的系统软件。

系统监控模块是整个系统软件的核心。系统上电复位后首先进入系统监控模快。系统监控起着引导系统进入正常工作状态，并协调各部分软硬件有条不紊地工作的重要作用。现场监控系统监控模块由系统自检且初始化、看门狗激励、调用键盘显示管理模块、实时中断管理和处理模块等组成。除系统自检及初始化外，系统监控模块一般总是将其余的部分联接起来构成一个无限循环，系统的所有功能程序都在这一循环中周而复始的有选择地执行。因此，系统监控模块能有效地组织和管理整个

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系统的硬件资源，合理地组织系统的工作流程，控制程序的执行，并向用户提供各种服务功能，使得用户能够灵活、方便、有效地使用系统设备，使得整个系统高效地运行，而其他功能模块就是实现动作控制和提供外部服务的应用接口。

在本系统中，供暖系统中的温度不会突变的，所受的干扰一般是随机的，故在本系统中采用了算术平均值滤波法。算术平均值滤波法是取连续Ｎ个采样值，然后取平均值作为本次采样结果。算术平均滤波法对信号的平滑程度完全取决于Ｎ的值。当Ｎ较大时，平滑度高，但灵敏度低，即外界信号的变化对测量计算结果的影响小，当Ｎ较小时，平滑度较低，但灵敏度高。所以，取平均值做采样结果，用于计算分析。

在集中供暖监测系统中，一方面要对各户的入回水温度、流量进行实时监控，另一方面还要记录测点的历史状态，以便为后期的数据分析和更有效地进行历史记录和数据管理。因此，数据的采集与存储模块，作为整个监测系统在功能的实现上，是必不可少的组成部分。数据的存储主要由监控中心的计算机来完成。

在系统软件设计过程中，始终贯彻结构化的设计思想。结构化设计方法是基于模块化、自顶向下细化、结构化程序设计等程序设计技术基础上发展起来的。模块化设计降低了系统的复杂性，使得系统容易修改和测试，推动了系统各个部分的并行开发，提高了软件的生产效率。同时，在系统软件开发中还始终使用面向对象设计方法。为软件的移植创

造了便利条件。

供暖温度监控系统既能满足用户按户计量的要求还能对室温进行调控，使其既达到节能又可按照人们的要求调控室温来改善居住热环境。供暖温度监控系统能够进行远程监控和网络管理，实现了供暖系统的智能化。

该系统具有如下特点：

（１）实时性好，现场处理器能在实时将数据、报警信息发送至监测站，监测中心自动对数据进行相应处理。

（２）兼容性好，系统稍加修改即可应用于其它类似的监控管理场合。

（３）系统人机界面良好，主控界面和数据库易于操作和数据查询。

（４）数据传输可靠性高。通过多种方式，轻松地实现了监测站和监控中心的远程数据传输。

（５）系统采用了多种软硬件抗干扰措施，具有较强的抗干扰能力。

然而，随着实际的要求越来越高，本系统要在以下几个方面作进一步的改进：

（１）从系统网络的方式来看，可以考虑利用其它通信网络来实现更灵活的网络系统。

（２）要加强监控中心的智能化，监控中心应能实现监控系统自诊断等，使监控中心的系统软件对各种信息有较强的综合分析能力。

（３）本监控系统以后要同供热公司管理中心的网络合并，因此下一步可以将监控中心的数据网络化。

（上接３９页）

接达到改变投影面（抵偿高程面）时，进行高斯平面坐标换算之目的。

　　

３　算例

本算例为厦蓉高速公路江西与湖南两省交界处湖南境内高速公路平面控制点，三级ＧＰＳ点Ｒ２１３的高斯平面坐标投影换算。该控制点为１９５４年北京坐标系（中央子午线为１１４°００′００″），坐标为Ｘ＝２８３６１５４．４０４，Ｙ＝４０５７４０．０７４（投影面高程为：０）。高速公路１／２０００公路地形图为１９５４北京坐标系，中央子午线为１１４°００′００″，为减小长度变形，投影面高程采取Ｈｐ＝５００ｍ。应用前述三种方法分别计算该控制点投影于抵偿高程面（Ｈｐ＝５００ｍ）上的坐标（即该控制点在１／２０００公路地形图坐标系统中的坐标值）如下。

３．１　按独立坐标系计算投影于抵偿高程（Ｈｐ＝５００ｍ）面上的坐标

投影原点为：　Ｘ０＝０，Ｙ０＝５０００００，Ｈ０＝０Ｈ＝５００，Ｘ＝２８３６１５４．４０４，Ｙ＝４０５７４０．０７４，取Ｒ＝６３７８２４５。

代入公式（１）得：Ｘ′＝２８３６３７６．７３４，Ｙ′＝４０５７３２．６８５

３．２　　按方法一计算投影于抵偿高程（Ｈｐ　＝５００）面上的高斯平面坐标

Ｈｐ＝５００，Ｘ＝２８３６１５４．４０４，Ｙ＝４０５７４０．０７４，取Ｒ＝６３７８２４５

代入公式（２）得：Ｘ′＝２８３６３７６．７３４，Ｙ′＝４０５７３２．６８５

按方法一计算的投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标结果与按独立坐标系计算的投影于抵偿高程面上的坐标结果相一致。３．３　按方法二计算投影于抵偿高程（Ｈｐ＝５００ｍ）面上的高斯平面坐标

（１）根据１９５４年北京坐标Ｘ＝２８３６１５４．４０４，Ｙ＝４０５７４０．０７４，进行高程投影反算得大地坐标为：Ｂ＝２５°３７′４５″．５９２１，Ｌ＝１１３°０３′４１″．３１７５。

（２）在克氏椭球面基础上，考虑建立地方独立参考椭球面，并确定其椭球面参数。

其中扁率α＝１／２９８．３，偏心率ｅ保持不变，ａ＝６３７８２４５，ｄ＝６３３５５５２．７１７５

ａ′＝ａ＋Ｈｐ＝６３７８２４５＋５００＝６３７８７４５ｂ′＝ａ′（１－α）＝６３５７３６１．３４３

２

ｄ′＝ｂ′／ａ＝６３３６０４９．３７２。

则对应于新建立的地方独立参考椭球的子午弧长计算公式

Ｓ＝Ａ０×Ｂ／ρ－（Ｂ０×ｓｉｎＢ＋Ｃ０×ｓｉｎ３Ｂ＋Ｄ０×ｓｉｎ５Ｂ＋Ｅ０×ｓｉｎ７Ｂ）ｃｏｓＢ

中的系数分别为：Ａ０′＝（ｄ′／ｄ）Ａ０＝６３６７５５８．４９６９×（６３３６０４９．３７２／６３３５５５２．７１７５）

＝６３６８０５７．６６０４Ｂ０′＝（ｄ′／ｄ）Ｂ０＝３２００５．７７９８×（ｄ′／ｄ）＝３２００８．２８８８

Ｃ０′＝（ｄ′／ｄ）Ｃ０＝１３３．９２３８×（ｄ′／ｄ）＝１３３．９３４３

Ｄ０′＝（ｄ′／ｄ）Ｄ０＝０．６９７３×（ｄ′／ｄ）＝０．６９７４

Ｅ０′＝（ｄ′／ｄ）Ｅ０＝０．００３９×（ｄ′／ｄ）＝０．００３９

③取控制点的大地经纬度不变：Ｌ＝１１３°０３′４１″３１７５，Ｂ＝２５°３７′４５″５９２１，利用高斯投影正算公式，计算新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标为：

Ｘ′＝２８３６３７６．７３３，Ｙ′＝４０５７３２．６８４３．４　三种方法计算结果差数

Ｘ′－Ｘ′＝２８３６３７６．７３４－２８３６３７６．７３３１２

＝０．００１

Ｙ′－Ｙ′＝４０５７３２．６８５－４０５７３２．６８４＝０．００１１２　　

４　结语

选定（任意的）抵偿高程面，从而建立独立的参考椭球面，然后在这个椭球体面上计算新的高斯平面坐标的方法，解决了高原地区公路测量（乃至其它工程测量）因大地面投影产生的变形问题。这是对投影理论和测量学的又一应用。

参考文献

［１］　同济大学大地测量教研室，武汉测绘科技

大学控制测量教研室合编．控制测量学．北京测绘出版社，１９８８．

［２］　ＴＪＴ０６１－９９，公路勘测规范［Ｓ］．