非对称平行双线上的TEM波及其特性阻抗
２０１１年１０月第２８卷第５期长治学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈａｎｇｚｈｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＯｃｔ．, ２０１１Ｖｏｌ．２８, Ｎｏ．５
非对称平行双线上的TEM 波及其特性阻抗
王福谦
（长治学院电子信息与物理系，山西长治
摘
０４６０１１）
要：利用复数坐标系z 上的分式线性变换，给出非对称平行双线中TEM 波的电磁场分布规律，计
算出其特性阻抗，并利用数学软件MATLA 绘制出TEM 波在其横向截面上的结构图．
关键词：非对称平行双线；分式线性变换；TEM 波；电磁场分布；特性阻抗中图分类号：Ｏ４４１文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２０１４（２０１１）０５－０００５－０３
在微波工程技术中，平行双线是使用十分普遍的TEM 波传输线。在相关文献中［１］［２］，仅讨论对称情形（即两传输线横截面的半径相同）下该传输线的分布参数及其静态场分布，而未涉及传输线上TEM 波的电磁场分布。由于传输线内ＴＥＭ波的场分布，计算衰减常数、考虑对于了解传输线的功率容量、
功率耦合及设计有关的有源器件等都是不可缺少的。据此，文章将利用分式线性变换，分析具有普遍意义的非对称平行双线的电磁场结构，并计算出其特性阻抗。
１非对称传输线横截面的变换
非对称平行双线为两平行圆柱，半径分别为R １、R ２，柱间相距Ｄ（＞R １＋R ）其间为真空，横截面如图２，经如下的分式线性变换［３］：１所示。
w （z ）＝
z －x １
２
（１）
C' １和C' ２的半径分别为：
图１非对称平行双线的横截面
图２变换后的非对称平行双线的横截面
２
２
C ２，就变后，非对称传输线横截面的两非同心圆C １、换为w 平面上的圆心在w ＝０的两同心圆C' １和C' ２，如图２所示。其中，x １＝
２２２姨（D ＋R －R ）－（D ＋R －R ）－４R １２１２１D 姨２D
姨
（D+R１）-R ２-（D -R １-R ２）-４R １R ２
R １=２２（D+R１）-R ２+姨（D -R １-R ２）-４R １R ２
'
（２）
２２２x ２＝．姨姨（D ＋R －R ）＋（D ＋R －R ）－４R １２１２１D 姨２D
（d+R２）-R １+（d -R １-R ２）-４R １R ２
R ２=２
２R １-（d+R２）+姨（d -R １-R ２）-４R １R ２
'
２２（３）
收稿日期：
２０１１—０５—１９
作者简介：王福谦（１９５７—），男，山西临猗人，副教授，主要从事无线通信与电磁兼容研究。
·５·
长治学院学报
由于在w 平面上传输线的横截面的形状为同故在w 平面上可按同轴传输线的情形来讨论电磁场分布规律。
２TEM 波的电场和磁场的分布
对于无限长的同轴传输线，该导波系统中的横向场分量所满足的方程为：
［４］
对同轴传输线，其中的电场分布是径向的［６］，大
A
心圆，其内部电磁场在该平面上的分布呈轴对称性，小与半径成反比，即：
E ＝e r E r ＝e r
（８）
式中e r 为同轴传输线横截面上的径向单位矢，A 为与电场幅值有关的常数。
R １
'
而则
V ０=
乙E dr=Ar
'
R １
'
塄T E T （u ，ν）＝０塄T H T （u ，ν）＝０
２
２
R ２R ２
R ２
' １'
'
R dr
=AｌｎR ' ２１
（４）（５）
A ＝V ０ｌｎR
乙
１
由于TEM 波E T 和H T 在波导的横向平面上满足二维拉普拉斯方程，这与静态的电场和磁场在相同区域内所满足的方程相同，则TEM 波在波导的横截面上的分布与边界条件相同的静态场的解是相同但需注意的是，TEM 波与边界条件相同的静态的。
场只是在规则波导的横截面上的分布一致，而它们对变量κ（κ为同轴传输线中的TEM 波的传播方向）和t 的关系是完全不同的：TEM 波与κ、t 的关系为e
（j ωt-βκ）
因此，同轴线中的TEM 波的电场强度为：
E ＝e r E r ＝e r
ｌｎR
R ２
V ０-j βκ
e （９）
其中β为沿传播方向上的相位常数，对于TEM 模，k ＝β（k=ω姨，ω为工作频率）。故得电场的分布为E ＝e r
ｌｎR
V R ２
' １１-j βz V e ＝R
ｌｎ２
'
R １
-j βz １
ue +νe ）e u ν（１０）
式中e u 、e ν为同轴传输线横截面上沿横、纵轴方向的单位矢。
又由式（７）、（１０），得：
H=1
e ×E κηｌｎR
R ２
１'
，即在κ向为正弦行波，且各处的场量
均随时间作简谐变化，而静态场与κ、t 均无关，即在k 向为均匀分布，且场量不随时间变化。
TEM 波的电场与磁场是由麦克斯韦方程组相互联系的，它们相互激发，不可分割，满足如下规律［５］：
E T ＝ηH T ×e κ1
H T ＝e κ×E T
界媒质中的均匀平面波的波阻抗相同。
μ及ε为波导内填充介质的电磁参量，e κ为同轴传输线中TEM 波的传播方向的单位矢。
综上所述，平行双线中的TEM 波的求解，可由静态场在相同边界条件下的解得到其电场和磁场在其横截面上的分布，再乘以波动因子e
-j βκ
（６）（７）
＝
-j βκV ue ν-νe u ）e ２u ＋ν２
（１１）
、（１１）为同轴传输线中TEM 波的场解．对于式（１０）平行双线传输线，线间介质多为空气或局部有优良绝缘支撑物，则η＝姨００为介质的波阻抗，η与相同的无界媒质中的均匀平面波的波阻抗相同。
由式（１）w=u+iv＝
x+iy-x，有
２
（１２）（１３）
式中η＝姨为TEM 波的波阻抗，η与相同的无
，可得
２u ＝２-x ν＝２到TEM 波的场解。即由静电场中所得到的E T 代入式（５）得到H T 的解；也可用势函数的方法求解。
设非对称平行双线两导体之间的电压为V ０e
-j βz
将式（１２）、（１３）代入式（１０）、（１１），并建立z 平
e y =eν，e z =ez ，则有，面的坐标系使e x =eu ，
E ＝
+（x -x ）y x-x ）（x －x ）＋y ｌｎ（
R ２R １
由于保角变换并不能改变两导体之间的电压，故对外两导体间的静态场而言，变换后同轴传输线内、电压仍为V ０。·６·
V x-x ２）+y
２
２
２
２２
２
１１２
王福谦
２
１
２
x
１
２
y
非对称平行双线上的ＴＥＭ波及其特性阻抗
-j βz
e +（x -x ）ye 姨e 姨姨x-x ）（（x －x ）+y姨H ＝ｌｎR
V x-x ２）+y
２
２２
２
' １
（１４）
Z ０＝姨／C ０
导率。
（１５）
式中ε和μ为传输线内填充介质的介电常数和磁
R ２
x-x １）（x －x ２）＋y +（x １-x ２）y η（
２
２
-j βz
１
２
y
１
２
x
上述保角变换实现了传输线截面由两非同心
（１５）
圆到同心圆环形区域的映射，由于变换前后传输线单位长度的电容保持不变，这样就可由保角变换得到的传输线单位长度的电容值，方便地求出此传输
姨姨x-x ）e -（x -x ）ye 姨e （（x －x ）+y姨
上的电场与磁场的分布表达式．其中
式（１４）、（１５）为TEM 波在非对称平行双线横截面
而由分式线性变换给出的非对称线的特性阻抗。２２２x １＝，姨－姨（D ＋R １－R ２）－４R １D 姨平行双线单位长度的电容为［３］：（D ＋R １－R ２）x ２＝
２２２姨姨．（D ＋R －R ）＋（D ＋R －R ）－４R １２１２１D 姨C ０＝
图３为利用MATLAB 所绘制出的TEM 波在非对称平行双线的横截面上的电场线及磁感线的分布图，其中粉红色曲线为电场线，蓝色曲线为磁感线。作出的图与预期结果（电场线与磁感线垂直）相符，相关数据为R １＝３m 、R ２＝３m ，D ＝８m ，V ０＝１００V 。
=
ｌｎ
D +R-R D -R -R
ｌｎ+［姨］－１２
２１
２２
１
２
V ２
１２１２
（１７）
２２
arcch ［（D －R １－R ２）／２R １R ２］
２
则非对称平行双线的特性阻抗为Z ０＝
２π
姨姨
２２２arcch ［（D －R １－R ２）／２R １R ２］（１８）０
其特性阻抗为当传输线横截面半径R １=R２＝R 时，Z ０＝
２
［２－１+ｌｎε０２R
姨
-］
２R ２R ２
（１９）
过渡到对称平行双线的特殊情形。参考文献：
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出版社，２００７，８（１）：１０６－１０７．
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图３
非对称传输线TEM 模的场结构
［３］梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，１９９８，６（３）：４３６－４３９．
冯恩信．电磁场与电磁波［Ｍ］．西安：西安交通大由图３及式（１４）、（１５）可见，在两导体圆柱之［４］
学出版社，２００５，９
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传输线的特性阻抗z ０与单位长度电容C ０的关系为［７］
（责任编辑李学斌）
［７］满座．数值保角变换及其在电磁理论中的应用．［Ｊ］．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／ｄｅｔａｉｌ／ａｓｐｘ．２００８，（１２）：１００－１１７．
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