高二数学直线平面简单几何知识点
立体几何知识要点
一、知识提纲
(一)空间的直线与平面
⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途. ⑵斜二测画法. ⒉空间两条直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线. ⑴公理四(平行线的传递性).等角定理. ⑵异面直线的判定:判定定理、反证法. ⑶异面直线所成的角:定义(求法)、范围.
⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质. ⒋直线和平面垂直
⑴直线和平面垂直:定义、判定定理. ⑵三垂线定理及逆定理. 5. 平面和平面平行
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质. 6. 平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理.
(二)直线与平面的平行和垂直的证明思路(见附图) (三)夹角与距离
7. 直线和平面所成的角与二面角
⑴平面的斜线和平面所成的角:三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角.
⑵二面角:①定义、范围、二面角的平面角、直二面角. ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理. 8. 距离
⑴点到平面的距离.
⑵直线到与它平行平面的距离.
⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线、公垂线段. ⑷异面直线的距离:异面直线的公垂线及其性质、公垂线段. (四)简单多面体与球 9. 棱柱与棱锥 ⑴多面体.
⑵棱柱与它的性质:棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质.
⑶平行六面体与长方体:平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体;平行六面体的性质、长方体的性质.
⑷棱锥与它的性质:棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质. ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法. 10. 多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式. ⑵正多面体. 11. 球
⑴球和它的性质:球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离. ⑵球的体积公式和表面积公式. 二、常用结论、方法和公式
1. 从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ,若∠AOB=∠AOC ,则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上;
2. 已知:直二面角M -AB -N 中,AE ⊂ M ,BF ⊂ N, ∠EAB=θ1, ∠ABF=θ2,异面直线AE 与BF 所成的角为θ,则cos θ=cos θ1cos θ2;
3. 立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是θ1,AC 在平面内,BC 和AB 的射影BA 1成θ2,设∠ABC=θ3, 则cos θ1cos θ2=cosθ3;
B
A
1
C 4. 异面直线所成角的求法:
(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;
(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5. 直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键; 6. 二面角的求法
(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;
(4)射影法:利用面积射影公式S 射=S 原cos θ, 其中θ为平面角的大小,此法不必在图形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。 7. 空间距离的求法
(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;
(3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解; 8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则S 侧cos θ=S底;
9. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为α, β, γ, 因此有cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=2;
10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
11. 欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V, 面数为F, 棱数为E. 那么V+F-E=2;并且棱数E =各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半;
12. 柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高. 13. 直棱柱的侧面积和全面积
S 直棱柱侧= c (c表示底面周长, 表示侧棱长) S 棱柱全=S底+S侧 14.棱锥的体积:V棱锥=
1
Sh ,其中S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高。 3
2
15. 球的体积公式V=πR 3,表面积公式S =4πR ;掌握球面上两点A 、B 间的距离求法:(1)计算线段AB 的长,(2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长;
4
3
直线与平面的平行和垂直关系的证明思路
a //c ⎫
⎬b //c ⎭
//β
PA ⊥αPO 斜交a ⊂α.
a ⊥OA