正定矩阵化为标准型
标准型方法
变换理论在代数中居于重要的地位。通过一定的变换,代数中的许多对象可以化成标准型,并且这种变换保持一些重要的代数性质不变。例如:
1. 初等变换可将矩阵化为标准型,且保持矩阵的秩不变;
2. 相似可将方阵化为上三角阵,而有些方阵甚至可以化为对角形,且保
持矩阵的特征多项式不变;
3. 合同可将二次型化为标准型,且保持惯性指数不变;
4. 正交相似化二次型为标准型时,还保持了向量的长度不变。
标准型方法一般分两步:先对特殊的标准型证明命题成立,再利用适当的变 换过渡到一般情况。
例1 (矩阵的满秩分解)任一矩阵可分解为列满秩阵与行满秩阵的乘积。
⎛Er
证 第一步:对矩阵⎜⎜0
⎝
0⎞⎛Er⎟⎜作满秩分解:⎜00⎟⎠⎝
0⎞⎛Er⎞
⎟=⎜⎜0⎟⎟(Er0⎟⎠⎝⎠
0);
第二步:(用初等变换过渡到一般情况) 经初等变换将矩阵Am×n化为标准型,即存在可逆矩阵Pm,Qn,使
⎛Er
PmAQn=⎜⎜0
⎝
⎛Er⎞
置B=P−1⎜⎜0⎟⎟,C=(Er
⎝⎠
0⎞⎛Er⎞⎟=⎜⎜0⎟⎟(Er0⎟⎠⎝⎠
0),
0)Q−1,则A=BC就是所需的分解。
例2 设A为n阶正定矩阵,证明存在正定矩阵C,使A=C2。 证 第一步:先将对角形的正定矩阵作分解:
⎞⎛λ1⎛λ1⎞⎛λ1
⎟⎜⎜⎟⎜
λ2⎟⎜⎜2⎟⎜
=⎟⎜⎜⎟⎜%%⎟⎜⎜⎟⎜
⎟⎜⎜⎜λn⎠λn⎟⎝⎠⎝⎝
第二步:(用正交相似对角化过渡到一般情况)
2
%
⎞⎟⎟⎟; ⎟λn⎟⎠
⎞
⎟⎟⎟, %
⎟λn⎟⎠
⎛λ1
⎜⎜
因A是实对称矩阵,故存在正交矩阵Q,使Q−1AQ=⎜
⎜⎜⎝
λ2
其中λ1,λ2,",λn为矩阵A的特征值。由矩阵A的正定性知特征值λ1,λ2,",λn均
⎛λ1⎞⎜⎟⎜⎟T22
大于零,故C=Q⎜⎟Q是正定矩阵,且A=C。
%⎜⎟
⎜λn⎟⎝⎠
例3 设n阶实对称矩阵A的每个特征值均大于a, 证明XTAX> aXTX. (X≠0)。 证 取正交矩阵P,使PTAP为对角阵,即
⎛λ1⎜⎜
P-1AP=⎜
⎜⎜⎝
其中λi是矩阵A的特征值。令
λ2
⎞⎟⎟⎟, %
⎟λn⎟⎠
T
X=PY,Y=(y1,y2,",yn),
则
22
XTAX=XT(PTAP)X=λ1y12+λ2y2, +"+λnyn
因λi>a,故
22XTAX> aλ1y12+λ2y2=aYTY, +"+λnyn
()
再注意到XTX= Y T(P T P)Y= Y T Y, 立刻得到XTAX> aXTX。
例4 设A是特征值互异的方阵,证明:与A交换的矩阵必然是A的多项式。
⎛λ1
⎜⎜
证 第一步:考虑对角元素互不相同的对角阵Λ=⎜
⎜⎜⎝⎛b1⎜⎜
证明:与Λ交换的矩阵B'只能是对角矩阵,记为B'=⎜
⎜⎜⎝
b2
λ2
⎞⎟⎟。容易⎟%
⎟λn⎟⎠
⎞⎟⎟⎟。 %
⎟bn⎟⎠
⎛1λ1
⎜
⎜1λ2
作范德蒙行列式: F=⎜
⎜##⎜1λ
n⎝n−1
⎛x1⎞⎛b1⎞"λ1⎞
⎟⎜⎟⎜⎟n−1
"λ2⎟⎜x2⎟⎜b2⎟
⎟,则F⎜#⎟=⎜#⎟存在唯一解
%#⎟⎜⎟⎜⎟n−1⎟⎜x⎟⎜b⎟"λn⎠⎝n⎠⎝n⎠
⎛x1⎞⎛a1⎞⎜⎟⎜⎟⎜x2⎟⎜a2⎟n−1
。作多项式f(x)=a+ax+"+ax,就有f(Λ)=B'。 =n12⎜#⎟⎜#⎟
⎜⎟⎜⎟⎜x⎟⎜a⎟⎝n⎠⎝n⎠
第二步:(用相似变换对角化过渡到一般情况) 因为A的特征值互异,所以存在可逆阵P,使
⎞⎛λ1
⎟⎜
λ2⎟⎜
P-1AP=Λ=⎜, ⎟%
⎟⎜
⎜λn⎟⎠⎝
现设AB=BA,令B' =P-1BP,则B'Λ=ΛB',因而B'是对角阵,故有
f(Λ)=B'。于是f(A)=B。