9矩阵位移法习题

第9章 矩阵位移法习题解答

习题9.1 是非判断题

（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（ T ） （2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。（ T ）F （3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（ F ）

（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（ T ） （5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。（ F ）

（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（ F ） 【解】（1）正确。

（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。 （3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。 （4）正确。

（5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。 （6）错误。二者只产生相同的结点位移。 习题9.2 填空题

（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的________，其二是________分析，其三是________分析。

e

（2）已知某单元○e的定位向量为[3 5 6 7 8 9]T，则单元刚度系数k35应叠加到结构刚度

矩阵的元素____中去。

（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是________________。

（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成________________矩阵和________________列阵。

（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为Δ2[u2v22]T=[0.8 0.3 0.5]T，单元①的始、末端结点码为3、2，单元定位向量为λ(1)[000345]T，设单元与x轴之间的夹角为

π

，则2

(1)________________。

（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为

e[7.54870.97.548121.09]T，则该单元的轴力FN=______kN。

【解】（1）离散化，单元，整体； （2）k68；

（3）结点位移相等；

（4）结构刚度，综合结点荷载； （5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]T； （6）-7.5。

(1)

习题9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的(1)中元素11、

(1)(1)(1)(1)(1)

23、35的值以及K(1)中元素k11、k23、k35的值。

习题9.3图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。因此，各刚度系数的值为

(1)(1)(1)

11EA/l，236EI/l2，356EI/l2；

(1)(1)(1)k1112EI/l3，k230，k350。

(1)

(a)11的物理意义

(b)23的物理意义

(1)

(c)35的物理意义

(1)

(d)k11的物理意义

(1)

(e)k23的物理意义

(1)

(f)k35的物理意义

(1)

习题解9.3图

习题9.4 根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的元素k11、k21、k32的值。各杆E、A、I相同。

习题9.4图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。因此，各刚度系数的值为

k11

12EIEA3EI

k0，，。 k213232

l2l4l

(a)k11和k21的物理意义

(b)k32的物理意义

习题解9.4图

(2)(1)

习题9.5 用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵(1)中元素23，K(2)中元素k44的物

理意义。

习题9.5图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.5图所示。

Q2

(a)23的物理意义

(1)

(1)

(2)

(b)k44的物理意义

习题解9.5图

习题9.6 习题9.6图所示刚架各单元杆长为l，EA、EI为常数。根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵K(1)、K(2)的第3列和第5列元素。

习题9.6图

【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。因而

6EI

K中第3列元素：0

l2

(1)

4EI

l6EI02

l

2EI

l6EI2 l

T

T

12EI

K(1)中第5列元素：03

l

6EI

2

l12EI0

l3

K

(2)

6EI

中第3列元素：2

l

4EIl6EI2

l

2EI

l

T

K

(2)

EA

00中第5列元素：0l

EA

0

l

T

(1)

(b)K

(a)K

(1)

第3列元素的物理意义

第5列元素的物理意义

(c)K

(2)

(d)K

(2)

第3列元素的物理意义第5列元素的物理意义

习题解9.6图

习题9.7 用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。

习题9.7图

【解】离散化结果如习题解9.7图所示。因而，各单元定位向量为

λ(1)100234，λ(3)567009 λ(2)234567，λ(4)568000。

T

T

TT

习题解9.7图

本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。 习题9.8 用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。

习题9.8图

【解】离散化如习题解9.8图所示。

习题解9.8图

非结点荷载引起的单元固端力为

P(2)01280128，P(3)094.5094.5

各单元的等效结点荷载列阵为

TT

(2)3

P

(2)

E

45678

T

TT

(2)P

(2)P

01280128

8

09

(3)67

PE(3)TTP(3)P(3)094.5094.5

集成为结构的等效结点荷载列阵

T

PE0001280213.59

直接结点荷载列阵为

T

PJ050400000

综合结点荷载列阵为

T

PPJPE0501680213.59

习题9.9 用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。已知：EI=2.4104kNm2。

T

习题9.9图

【解】离散化如习题解9.9图所示。本题无需坐标转换。

习题解9.9图

先求结构刚度矩阵。各单元的单刚为

1

2

2

3

3

4

11/212/31/324/52/53 (2)(3)

K(1)EIKEIKEI1/32/332/54/54

1/212，，

集成即可得到结构刚度矩阵

002.41.20.011/2

5/31/304.00.8410KEI

对对22/152/53.52

称4/5称

0.0

0.0 0.96

1.92

再求综合结点荷载列阵。非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为

2

P

(2)

E

3

T

(3)E

34

T

10.6710.67，P12.512.5

集成为结构的等效结点荷载列阵

PE010.671.8312.5

综合结点荷载列阵为

T

PPJPE5000PE510.671.8312.5

习题9.10 用先处理法求习题9.10图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆EI=5105kNm2。

T

习题9.10图

【解】离散化如习题解9.10图所示。因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量，无需坐标转换。

各单元的单刚为

1

2

2

3

2

3

4/52/514/52/5211/2211/23 (2)(3)(4)

K(1)EIKEIKEIKEI2/54/531/2101/210

2/54/52，，，

集成即可得到结构刚度矩阵

04/52/5420

5KEI2/513/52/5102132

2/59/50029

习题解9.10图

习题9.11 用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆EA=4105kN，EI=5104kNm2。

习题9.11图

【解】1）离散化如习题解9.11(a)图所示。

(a) 离散化

习题解9.11图

(b) 附加约束上的反力

2）计算结构刚度矩阵 各单元单刚分别为：单元①

1

2

3

4

10 234

0013.330013.33

02.2223.33302.2223.33303.3336.66703.3333.333104

13.330013.330002.2223.33302.2223.333

03.3333.33303.3336.667

K(1)(1)

单元②

234506

234 506

K(2)(2)

0010.000010.00

00.93751.87500.93751.87501.8755.00001.8752.500104

0010.000010.00

00.93751.87500.93751.875

1.8752.50001.8755.0000

单元③

2

3

4

2

34 000

01.8750.937501.8750.9375

010.000010.0001.87505.0001.87502.500

TT(3)T104

0.937501.8750.937501.875010.000010.000

02.5001.87505.0001.875

K(3)

集成为总刚

02.2223.333002.222

024.2701.87510.0002.222013.161.45801.875 K104

3.3331.8751.45816.6702.500010.000010.000

001.8752.50005.000

2）计算综合结点荷载列阵

除可以按照习题9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。具体做法如下：

将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11(b)图所示的矩阵位移法基本体系。由此，可得各附加约束上的反力为

FPFP1FP2

因此，综合结点荷载列阵为

FP3FP4FP5

FP6801812012

TT

PFP801812012

3）列出结构刚度方程K=P

2.222410



24.27

2.2223.333001.87510.0013.161.4580

16.670

称10.00

018

00u2181.8752

 2.5002120u30

125.0003

T

对

习题9.12 用先处理法计算习题9.12图所示刚架的结构刚度矩阵。已知：EA=3.2105kN，EI=4.8104kNm2。

习题9.12图

【解】离散化如习题解9.12图所示。各单元单刚分别为

习题解9.12图

单元①

2

3

4

1

234 010

006.400006.400

00.46081.15200.46081.15201.1523.84001.1521.920104

006.400006.400

00.46081.15200.46081.152

01.1521.92001.1523.84

K(1)(1)

单元②

2

3

4

2

34 000

01.8000.900001.8000.9000

08.000008.00001.80004.8001.80002.400

TT(2)T104

01.8000.900001.8000.9000

08.000008.00001.80002.4001.80004.800

K(2)

集成为总刚

0.46084K10

对

7.300称

0.460808.461

1.152



1.800 1.152

8.640

习题9.13 用先处理法计算习题9.13图所示组合结构的刚度矩阵K。已知：梁杆单元的EA=3.2105kN，EI=4.8104kNm2，链杆单元的EA=2.4105kN。

习题9.13图

【解】离散化如习题解9.13图所示。这里利用一般单元来计算链杆单元③，令其EI为零，则该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。单元③的杆端位移编码如习题解9.13图所示，其杆端转角在结点4处为“0”，表示无杆端转角；在结点2处为“3”，表示与单元①和②在该端的转角相同。

点位移分量统一编码应给为“0”，再令该单元EI为零。

习题解9.13图

各单元单刚分别为 单元①和②

(1)0(2)1

02

03

10

24

30

1

23040

(1)

(2)

000123

K(1)K(2)(1)

008.000008.000

00.9001.80000.9001.80001.8004.80001.8002.400104

008.000008.000

00.9001.80000.9001.800

01.8002.40001.8004.800

1

2

30

00000000 123

单元③

2.3043.072

2.3041.72800

TT(3)T104

3.0722.3042.3041.728

00

03.0722.304

02.3041.72800003.0722.30402.3041.728000

K(3)

集成为总刚

19.07

4K10

对

2.3043.528称

009.600

0

0.900 1.800

0.900

习题9.14 若用先处理法计算习题9.14图所示结构，则在结构刚度矩阵K中零元素的个数至少有多少个？

习题9.14图

【解】离散化如习题解9.14图所示，则各单元定位向量为

习题解9.14图

(1)[123000]T，(2)[123456]T，(3)[8910457]T (4)[457000]T，(5)[89100011]T

根据单元定位向量，判定各结点位移分量间的相关性。这里参考【例10.2】的方法，具体为：位移分量1~3、6均与位移分量7~11无关，得到无关分量20对；位移分量4、5、7与位移分量11无关，得到无关分量3对；合计无关分量共23对。说明K上半三角中，至少有23个元素为零，因此整个K中至少应有46个零元素。

习题9.15 试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁，并画出弯矩图。各杆EI=常数。

习题9.15图

【解】1）离散化如习题解9.15(a)图所示。连续梁无需坐标转换。

(a) 离散化

习题解9.15图

(b)M图(kN·m)

2）计算总刚 各单元刚度矩阵为

011220

11/2011/2111/22 (2)(3)

K(1)EIKEIKEI1/2121/210

1/211，，

集成为总刚

21/2

KEI 1/22

3）计算综合结点荷载列阵

按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法，在2、3两结点上附加刚臂，易求得

FPFP1

因此，综合结点荷载列阵为

FP2810

TT

PFP810

4）解结构刚度方程K=P，得

T



5）求单元杆端力 根据eeePe，得

1T

5.66.4 EI

(1)

11/2100810.8

(1)(1)(1)P(1)K(1)(1)FP(1)EIEI5.6182.41/21

(2)

11/215.6102.4 (2)K(2)(2)FP(2)EIEI6.4203.61/21

(3)

11/216.42103.6 (3)K(3)(3)FP(3)EIEI001013.21/21

6）绘弯矩图，如习题解9.15(b)图所示。

习题9.16 用先处理法计算习题9.16图所示刚架的内力，并绘内力图。已知：各杆E=3107kN/m2，A0.16m2，I0.002m4。

习题9.16图

【解】1）离散化如习题解9.16(a)图所示。

(a) 离散化

(b)M图(kN·m)

(c)FQ图(kN)(d)FN图(kN)

习题解9.16图

2）计算总刚

单元①无需坐标转换，其单元刚度矩阵为

120

00104

12000

00

1.1252.2501.1252.25

002.25602.253

11200012000

201.1252.2501.1252.25

302.253

02.25

6

00 123

K(1)(1)

单元②的坐标转换矩阵为



0.80.60000

0.60.80000

001000

0000.80.60

0000.60.80

000001 

T(2)

则其刚度矩阵为

1

2

3

0.864061.6545.80.86461.6545.8

45.834.931.15245.834.931.15200.8641.1524.80.8641.1522.40 T(2)4

TT10

61.6545.80.86461.6545.80.864145.834.931.15245.834.931.15220.8641.1522.40.8641.1524.83

K(2)

集成为总刚

45.80.864181.6

 K10445.836.053.402

0.8643.40210.8

3）计算综合结点荷载列阵 各单元的等效结点荷载列阵为

(1)0

P

(1)

E

00123

T

(1)P

01610.6701610.67

集成得结构的等效结点荷载列阵

PE01610.67

综合结点荷载列阵为

T

PPEPJPE05002110.67

4）解结构刚度方程K=P，得

TT

1051.85137.48107.3719

5）求单元杆端力

根据eTe(Kee)Pe，得

12000(1)(1)(1)4

KFP10

12000

1.1252.2501.1252.25

02.25602.253

1200012000

01.1252.2501.1252.25

02.253

02.25

6



T

(1)

022.22

001618.500010.6714.56105

1.85131022.227.481021613.507.3719310.674.56

(2)



T(2)(K(2)(2))



0.80.600000.60.[**************].80.600000.60.80000001



0.86461.6545.80.86461.6545.845.834.931.1520045.834.931.1520.8641.152004.80.8641.1522.45

10410

61.6545.80.86461.6545.80.8641.8513145.834.931.15245.834.931.1527.481020.8641.1522.40.8641.1524.87.3719328.87

1.47

2.79

28.87

1.47

4.56

T

6）绘内力图，如习题解9.16(b)~(d)图所示。

习题9.17 用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。已知：E=3107kN/m2，各杆A0.1m2。

习题9.17图

【解】1）离散化如习题解9.17(a)图所示。

(b)FN图(kN)

习题解9.17图

2）计算总刚

单元①和②无需坐标转换，其结构坐标系中的单刚分别为

7.55010

7.50

000

00

17.507.50

20000

，K(2)(2)12

7.55010

7.50

000

00

37.507.50

40000

00

34

K

(1)

(1)

单元③的

π

rad，结构坐标系中的单刚为 2

1

0

T(3)60TT10

00

201

01

30000

40101

12

34

K

(3)

单元④的0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

3

4

00 34

2.883.842.883.84

2.882.162.882.16

TT(4)T105

3.842.883.842.882.882.162.882.16

K

(4)

单元⑤的0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

1

2

00

12

3.842.883.842.882.162.882.16T(5)52.88TT10

3.842.883.842.882.882.162.882.16

K

(5)

集成总刚为

0011.342.8812.1601052.88 K10

0011.342.88

102.8812.160

3）计算综合结点荷载列阵

PPJ80020

4）解结构刚度方程K=P，得

T

1052.55747.29192.06498.1304

5）求单元杆端力

根据eTe(Kee)，可求得各单元的杆端轴力。这里以单元⑤为例，其杆端轴力为

0.8

(5)T(5)(K(5)(5))

0

3.842.882.1652.88103.842.882.882.16

0.6

00.8

00.6

T

3.842.880

 2.882.160013.98

1052.557413.842.8813.98

2.882.167.29192

6）各杆轴力如习题解9.17(b)图所示。