2015年数学建模-利用影子长度定位-张安玉.沈成.李春雨

数学建模

摘要

太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。

对于问题一 我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

对于问题二 我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。

对于问题三 我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用mathlab求解得到若干个可能的地点和日期。

对于问题四 我们首先利用。。。方法，测得杆子在一些特定时刻的一组影长值，再利用问题二中创建的非线性方程组求解得到杆子的可能的拍摄地点。

【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程

一、问题重述

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模

型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题分析

2.1、问题一的分析

问题一属于给定条件的动态变化[4]过程的分析和对相关变量之间关系进行数学描述的问题。解决这类问题一般需要建立适当模型体现相关条件之间关系。针对问题一，题目给出直杆高度，北京时间，日期，直杆位置等数据，求解影子长度随时间变化趋势。我们知道，北京时间以及日期跟太阳直射点的位置密切相关，而我们知道了太阳直射点与杆子的相对位置就能得到形成影子的光线与直杆的夹角，从而求得影子长度，这样就把影子长度与北京时间联系起来。因此，我们建立空间几何数学模型，得到影子长度与直杆、太阳之间相对位置的关系函数，即直杆的影子长度与北京时间的关系函数。最后，我们利用MATLAB软件作图得到3米直杆太阳影子长度的变化曲线，通过对曲线的观察，发现模型与现实情况基本是吻合的，验证了我们所做模型的合理性。

2.2、问题二的分析

问题二属于给定多组动态相关数据进行求解的问题。解决这类问题一般要分析相关变量之间的关系，建立它们满足的方程，由已知的动态数据求解未知的变量。针对问题二，我们首先利用问题一中得到的关系方程，这个方程联系着北京时间，日期（太阳直射点的经纬度）、

直杆位置（直杆经纬度）、直杆影长等几个变量，也就是说如果有一个或多个变量的一组值，通过关系方程能得到另外几个变量的可能值。问题二已经给出了北京时间，日期以及直杆影长求直杆的几个可能位置，我们利用附件一给出的数据创建几个非线性方程组，运用。。方法解方程组可以得到直杆的几个可能位置。

2.3、问题三的分析

问题三与问题二一样都是给定一组或者多组动态相关数据求解的问题。解决这类问题一般要分析相关变量数据之间的联系，建立关系方程，由已知的动态数据求解未知的数据。问题三与问题二的不同之处在于问题三多了一组未知的动态数据，我们知道想要解出n个未知数，需要n个方程组成的方程组，所以，问题三只需新建一个方程组，这个方程组的方程数量比问题二中方程组的方程数量多一个就可以了。利用mathlab建立新的方程组，带入相关数据可以得到若干个可能的地点与日期。

2.4、问题四的分析

问题四与问题二一样也是给定一组或者多组动态相关数据求解的问题。但是问题四中杆子的影子长度需要我们自己测量。我们运用。。。。。方法，建立。。。。模型，得到一系列影子长度变化值。随后，我们将北京时间，日期，影子长度变化值等数据带入问题三中的方程组，利用matlab解多元非线性方程组得到几个可能的拍摄地点。最后，我们将每个拍摄地点的位置与拍摄日期，北京时间等动态数据带回方程解得杆子的高度，并于题目中给的杆子的高度进行比较，验证了我们所建

立模型的真确性。

三、模型假设

1、 在一天之内，太阳直射点的纬度线基本不变。

2、 太阳直射点在南北回归线之间往复，每天所扫过的纬度值是相等

的。

3、一年时间按照365天计算，不考虑闰年情况。

4、 春分、秋分，太阳直射赤道；夏至，太阳直射北回归线；冬至，

太阳直射南回归线[5] 。

5、太阳到达地面的光线互相平行。

6、太阳光线在大气中不产生折射。

四、定义与符号说明

时间代数：将分钟化为小时，用小数表示某一时刻的时间点

太阳直射点：地球表面太阳光射入角度(即太阳高度角 )为90度的地点，它是地心与日心连线和地球球面的交点。 太阳直射点所在的经线的地方时为正午12时。

立模型的真确性。

三、模型假设

1、 在一天之内，太阳直射点的纬度线基本不变。

2、 太阳直射点在南北回归线之间往复，每天所扫过的纬度值是相等

的。

3、一年时间按照365天计算，不考虑闰年情况。

4、 春分、秋分，太阳直射赤道；夏至，太阳直射北回归线；冬至，

太阳直射南回归线[5] 。

5、太阳到达地面的光线互相平行。

6、太阳光线在大气中不产生折射。

四、定义与符号说明

时间代数：将分钟化为小时，用小数表示某一时刻的时间点

太阳直射点：地球表面太阳光射入角度(即太阳高度角 )为90度的地点，它是地心与日心连线和地球球面的交点。 太阳直射点所在的经线的地方时为正午12时。

五、模型建立与求解

5.1问题一的模型建立与求解

该问目的在于求出题目所给直杆的影子长度与时间变化间的关系。我们知道，当太阳光线与直杆夹角为θ时，直杆影子长度

L=h*tanθ

所以，该问的关键在于找到太阳光线与直杆的夹角θ，并将θ用含时间t的代数式表示出来。为了求出θ的表达式，我们做出以下模型图来帮助分析：

图5.1-1、太阳光线直射点与直杆在赤道同侧

图5.1-2、太阳光线直射点与直杆在赤道异侧

连接地心O与直杆位置B，OB即为直杆所在直线，连地心O与太阳在地球表面直射点E，OE即为过太阳直射点的光线。

由以上说明易知，面OBC⊥面OCD，面ODE⊥面OCD

（经度面垂

直于纬度面）。在直线OB上取一点M，作MN⊥OC于点N，直线OD上找一点P，使得ON=OP，连NP，再过点P作PQ⊥OD，交OE于Q，连MQ。

因为MN⊥ON且面OMN⊥面ONP，所以MN⊥面ONP，同理PQ⊥面ONP，所以MN∥PQ。下面分直杆、太阳直射点在赤道同侧和异侧两种情况分析：

① 当太阳直射点与直杆位于赤道同一侧时，过Q作QH⊥MN 于H。设ON=OP=1，则

OM=1/cosβ，OQ=1/cosγ，MN=tanβ，PQ=tanγ，

NP=√ON²+OP²−2ON∗OPcosα =√

则在Rt△MQH中，

MH²=（MN-HN）²=（MN-PQ）²=（tanβ-tanγ）²

QH=NP，

所以

MQ²=MH²+QH²=（tanβ-tanγ）²+2-2cosα

在△AMQ中，由余弦定理可得

cosθ=cos∠MOQ

=（OM²+OQ²−MQ²）/2OM∗OQ

=cosαcosβcosγ+sinβsinγ

② 当太阳直射点与直杆在赤道两侧时，过Q作QH⊥MN 于H。设ON=OP=1，与①同理可以得到

cosθ=cosαcosβcosγ-sinβsinγ

综合得：

cosαcosβcosγ+sinβsinγ（太阳直射点与直杆在赤道同侧） cosθ={（5.1-1） cosαcosβcosγ−sinβsinγ （太阳直射点与直杆在赤道异侧）

L=h*tanθ=h*√1−