量子力学期末考试部分试题及答案
量子力学期末试题及答案
一、填空题:
1、
2、 |Ψ(r,t)|^2的物理意义:
3、 一个量的本征值对应多个本征态,这样的态称为 4、 两个力学量对应的算符 二、简答题:
1、 简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。
答:力学量的观测值应为实数,力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值,量子力学中,可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符;量子力学中还必须满足态叠加原理,而要满足态叠加原理,算符必须是线性算符。综上所述,在量子力学中,能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、 一个量子态分为本征态和非本征态,这种说法确切吗?
答:不确切。针对某个特定的力学量,对应算符为A,它的本征态对另一个力学量(对应算符为B)就不是它的本征态,它们有各自的本征值,只有两个算符彼此对易,它们才有共同的本征态。
3、 辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素?
答:某一单色光辐射的话可能吸收,也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度;谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。
1
、
第二题: 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为r0、电荷均匀分布的小球,
计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解:这种分布只对rr0的区域有影响,对rr0的区域无影响。据题意知
ˆU(r)U(r) H0
其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布,即
r) U(0
ze
2
40r
U(r)为考虑这种效应后的势能分布,在rr0区域,
U(r)
Ze
2
40r
在rr0区域,U(r)可由下式得出, U(r)eEdr
r
1Ze4Ze3
rr, ( r r0)34r24r3340r0003
E
Ze2 ( r r0)40r
U(r)eEdreEdr
r
r0
r0
Ze
2300
4rZe
2
r0
r
rdr
Ze4
2
1r
2
r0
dr
Ze
2300
8r
300
(rr)
20
2
Ze
2
40r0
8r
(3r0r)
22
(rr0)
22
ZeZe22
(3r0r) ( r r0)3ˆ HU(r)U0(r)80r040r
0 ( r r 0)
ˆHˆ 由于r0很小,所以H
(0)
2
2
Za0
r
U0(r),可视为一种微扰,由它引起
2
一级修正为(基态
(0)100
(
Z
330
a
)
1/2
e
)
*
ˆ(0)d E1(1)1(0)H1
Z
33
a0
r0
[
Ze
23
80r0
(3rr)
2
2
Ze
2
2Za0
r
40r
]e
4rdr
2
2Za0
∵ra0,故e
(1)1
r
1。
∴ E
Ze
423
3
20a0r0
Ze
4
2
r0
(3rrr)dr
20
24
Ze
423
0a0
r0
2
r0
rdr
20ar
3300
(r
50
r0
5
5
)
Ze
4230
20a
Ze
4230
100a2Zes5a
304
2
r0
2
第三题
r0
2
6.2 求自旋角动量在任意方向n(cos,cos
的本征值和本征函数。
ˆSˆcosˆcoS,cos)的投影 Snxy
ˆ的矩阵元为 ˆ 表象,S解:在Snz
ˆSn
21Sn
10cosi02i1
cos0020
cos1
其相应的久期方程:
即:
2
2
cos
2cosicoscosicos
cos
2
cos
2
(cosicos)2
2
0
cos
2
(cosicos)
2
4
cos
2
2
4
(coscos)0
2
2
2
2
2
4
0
(利用coscoscos1)
2
ˆ的本征值为所以Sn
2
。
a
b, 设对应于Sn2的本征函数的矩阵表示为12(Sn)
coscosicosaa
a(cosicos)bcosb则 cosicoscos2b2b
1cos
a22**
111(a,b)abb由归一化条件得: 2
cosicos2222
aa1a1
1cos1cos 1cos
cosicos
ba取
,得 22(1cos)
1(Sn)
cosicos2
b
cosicos
(Sn)
11cos1cosicos
022(1cos)1cos
2
0
1
1
2
cosicos2(1cos)
2
12
同理可求得 对应于Sn
的本征函数为
1cos
2
1(Sn)2cosicos
2(1cos)