求圆的轨迹方程(专题一)师用
求圆的轨迹方程
教学目标：
1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点：
1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程； 2、 会求曲线的轨迹方程（圆）
教学过程：
第一部分 知识点回顾
一、圆的方程：
2
1．圆的标准方程：(x -a )+(y -b )=r 。
2
2
2．圆的一般方程：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D2＋E 2－4F >0)
特别提醒：只有当D ＋E －4F >0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0才表示圆心为(-2
2
D E , -) ，
22
2
2
思考：二元二次方程Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是什么？ 答案： （A =C ≠0, 且B =0且D +E -4AF >0））； 3．圆的参数方程：要应用是三角换元：
2
2
a +r cos θ
{x y ==b +r sin θ
（θ为参数），其中圆心为(a , b ) ，半径为r 。圆的参数方程的主
x 2+y 2=r 2→x =r cos θ, y =r sin θ；x 2+
y 2≤t →x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r 。
4．A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)为直径端点的圆方程(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0如
22
（1）圆C 与圆(x -1) +y =1关于直线y =-x 对称，则圆C 的方程为____________
2
2
（答：x +(y +1) =1）；
（2）圆心在直线2x -y =3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：(x -3) +(y -3) =9或(x -1) +(y +1) =1）；
2
2
2
2
（3）
已知P (-1是圆
x =r cos θθ
y =r sin θ（为参数，0≤θ
P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________
（答：x 2+y 2＝4；
2π
；x +4=0）； 3
2
2
（4）如果直线l 将圆：x +y-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）； （5）方程x +y－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：k
2
２
（6）若M ={(x , y ) |
{
1
）； 2
x =3cos θθ若M N ≠φ，y =3sin θ（为参数，0
则b 的取值范围是_________
（答：－）
(
二、点与圆的位置关系：已知点M (x 0, y 0)及圆C ：(x-a )+(y -b )=r 2(r >0)，
2
（1）点M 在圆C 外⇔CM >r ⇔(x 0-a )+(y 0-b )>r ； 2
（2）点M 在圆C 内⇔CM
（3）点M 在圆C 上⇔CM =r ⇔(x 0-a )+(y 0-b )=r 。如
2
2
2
2
2
22
2
点P(5a+1,12a)在圆(x－１) ＋y =1的内部, 则a 的取值范围是______（答：|a |
２
2
1） 13
三、直线与圆的位置关系：
直线l :Ax +By +C =0和圆C ：(x -a )+(y -b )=r 2(r >0)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： ∆>0⇔相交；∆
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：
设圆心到直线的距离为d ，则d r ⇔相离；d =r ⇔相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如
22
（1）圆2x +2y =1与直线x sin θ+y -1=0(θ∈R , θ≠
2
2
π
2
+k π，k ∈z ) 的位置关系为____
（答：相离）；
（2）若直线ax +by -3=0与圆x +y +4x -1=0切于点P (-1,2) ，则ab 的值____
（答：2）；
22
（3）直线x +2y =0被曲线x +y -6x -2y -15=0所截得的弦长等于
22
（答：；
（4）一束光线从点A(－1,1) 出发经x 轴反射到圆C:(x-2)+(y-3)=1上的最短路程是
（答：4）； （5）已知M (a , b )(ab ≠0) 是圆O :x 2+y 2=r 2内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线
22
l :ax +by =r 2，则
A ．m //l ，且l 与圆相交 B．l ⊥m ，且l 与圆相交
C ．m //l ，且l 与圆相离 D．l ⊥m ，且l 与圆相离
（答：C ）；
（6）已知圆C ：x 2+(y -1) 2=5，直线L ：mx -y +1-m =0。①求证：对m ∈R ，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B
两点，若AB =L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.
（答：②60或120 ③最长：y =1，最短：x =1）
第二部分 直线与圆的典型例题
一、求圆的轨迹方程
1、用定义法求圆的轨迹方程
例1 设方程x 2+y 2-2(m +3) x +2(1-4m 2) y +16m 4+9=0，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得：[x -(m +3) ]+⎡⎣y -(1-4m ) ⎤⎦=1+6m -7m
2
2
2
2
⎧x =m +31
该方程表示圆，则有1+6m -7m >0，得m ∈(-,1) ，此时圆心的轨迹方程为⎨， 2
7⎩y =4m -1
2
消去m ，得y =4(x -3) 2-1，由m ∈(-
1⎛20⎫
,1) 得x =m +3∈ , 4⎪ 7⎝7⎭
⎛20⎫
∴所求的轨迹方程是y =4(x -3) 2-1，x ∈ ,4⎪
⎝7⎭
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中x ∈
2
2
⎛20⎫
,4⎪ ⎝7⎭
变式1 方程ax +ay -4(a -1) x +4y =0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
224(a 2-2a +2) ⎡2(a -1) ⎤解：原方程可化为⎢x - +(y +) =2⎥a ⎦a a ⎣a 2-2a +2>0, ∴当a ≠0时，原方程表示圆。
2
==
又
r =
当a =2, r min (x -1)+(y +1)=2 2、用待定系数法求圆的轨迹方程
例2 求过两点A (1, 4) 、B (3, 2) 且圆心在直线y =0上的圆的标准方程并判断点P (2, 4) 与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2．
∵圆心在y =0上，故b =0． ∴圆的方程为(x -a ) 2+y 2=r 2．
22
⎧⎪(1-a ) +16=r
又∵该圆过A (1, 4) 、B (3, 2) 两点． ∴⎨ 22
⎪⎩(3-a ) +4=r
2
2
解之得：a =-1，r =20．
所以所求圆的方程为(x +1) 2+y 2=20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过A (1, 4) 、B (3, 2) 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为
2
k AB =
4-2
=-1，故l 的斜率为1，又AB 的中点为(2, 3) ，故AB 的垂直平分线l 的方程为：y -3=x -21-3
即x -y +1=0．
又知圆心在直线y =0上，故圆心坐标为C (-1, 0) ∴半径r =AC =
(1+1) 2+42=20．
故所求圆的方程为(x +1) 2+y 2=20． 又点P (2, 4) 到圆心C (-1, 0) 的距离为
d =PC =(2+1) 2+42=25>r ． ∴点P 在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
22
例3 求半径为4，与圆x +y -4x -2y -4=0相切，且和直线y =0相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆C ：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2．
圆C 与直线y =0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a , 4) 或C 2(a , -4) ． 又已知圆x 2+y 2-4x -2y -4=0的圆心A 的坐标为(2, 1) ，半径为3． 若两圆相切，则CA =4+3=7或CA =4-3=1．
(1)当C 1(a , 4) 时，(a -2) 2+(4-1) 2=72，或(a -2) 2+(4-1) 2=12(无解) ，故可得a =2±2． ∴所求圆方程为(x -2-2) 2+(y -4) 2=42，或(x -2+2) 2+(y -4) 2=42．
(2)当C 2(a , -4) 时，(a -2) +(-4-1) =7，或(a -2) +(-4-1) =1(无解) ，故a =2±26． ∴所求圆的方程为(x -2-26) 2+(y +4) 2=42，或(x -2+2) 2+(y +4) 2=42． 说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线y =0相切且半径为4，则圆心坐标为C (a , 4) ，且方程形如
2
2
2
2
2
2
(x -a ) 2+(y -4) 2=42．
又圆x 2+y 2-4x -2y -4=0，即(x -2) 2+(y -1) 2=32，其圆心为A (2, 1) ，半径为3． 若两圆相切，则CA =4+3．故(a -2) +(4-1) =7，解之得a =2±2．
所以欲求圆的方程为(x -2-2) 2+(y -4) 2=42，或(x -2+2) 2+(y -4) 2=42．
上述误解只考虑了圆心在直线y =0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y =0下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：
（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；
（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ； （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 3、用几何方法求圆的轨迹方程
例4 设圆满足:①截y 轴所得弦长为2; ②被x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中, 求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程。 分析:注意挖掘题目的条件, 充分利用圆的几何性质解决问题. 解法一:
设圆心为P (a , b ) , 半径为r , 则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |。
由题设圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P 截x
r =2b 又圆P 截y 轴所得的弦长为2, 所以有r =a +1. 从而得2b -a =1
2
2
2
2
222
︒22
又点P (a , b ) 到直线x
+2y =0的距离为d =
2
所以当且仅当a =b 时上式等号成立, 此时5d =1，从而d 取得最小值.
解此方程组得 由于r =
2b 知r =
2
2
, 所求圆的方程是:
(x -1) 2+(y -1) 2=2或(x +1) 2+(y +1) 2=2
解法二:同解法一得
∴a -2b = 得a =4b ±+5d 2d =
2
2
22
将a =2b -1代入上式，整理得
2b ±+5d +1=0 ②
把它看作b 的二次方程, 由于方程有实根, 故判别式非负, 即
∆=8(5d 2-1) ≥0，得 5d 2≥1
所以5d 有最小值1，从而d
有最小值
2
2
5
将其代入②式得2b ±4b +2=0.解得b =±1. 将b =±1代入r =2b , 得r =2.由r =a +1得a =±1. 综上 a=±1,b =±1, r =2.
由│a -2b │=1知a , b 同号. 于是, 所求圆的方程是
2
2
2
2
2
2
(x -1) 2+(y -1) 2=2或(x +1) 2+(y +1) 2=2
点拨:求圆的方程通常有两类方法, 一是几何法, 即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法, 即根据题意设出圆的方程, 再利用条件得到有关方程系数的方程组, 解方程组得到方程系数, 从而求出圆的方程. 4、直线与圆的位置关系
例5 在平面直角坐标系xoy
中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y =x 相切于坐标原点O ，求圆C 的方程。
22
解： (1)设圆心坐标为(m ，n ) （m 0）, 则该圆的方程为(x -m ) +(y -n ) =8已知该圆与直线y =x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
m -n 2
=22 即m -n =4 ①
2
2
又圆与直线切于原点，将点(0，0) 代入得 m+n=8 ②
⎧m =-2
联立方程①和②组成方程组解得 ⎨
n =2⎩
故 圆的方程为(x+2)+(y-2)=8
点拨:解决圆的综合问题时, 一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题, 另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
2
2
第三部分 课堂练习
1. 关于x,y 的方程Ax +Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D +E-4AF ＞0 2. 过点P(-8，-1) ，Q(5，12) ，R(17，4) 三点的圆的圆心坐标是(5，-1) 3. 若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P 在圆x +y=4的内部，则k 的范围是-
2
2
2
2
2
2
1
4. 已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
x 2+y 2-4x +6y =0
5. 直线y=3x+1与曲线x +y=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 -6.
方程x -1=_
7. 圆(x -3) 2+(y +4) 2=2关于直线x +y =0的对称圆的方程是(x -4) 2+(y +3) 2=2
2
8. 如果实数x 、y 满足等式(x -2)+y =3，那么
2
2
2
⎛31⎫
, ⎪ 1010⎭⎝
y
的最大值是3 x
9. 已知点A (-1, 1) 和圆C :(x -5) 2+(y -7) 2=4，求一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x0,y 0), 则有⎨解得 x0=4, y0=5,
∴半径r=, ∴所求圆的方程为(x─4)+(y─5)=102
2
⎧2x 0-y 0-3=0
⎩(x 0-5) +(y 0-2) =(x 0-3) +(y 0-2)
2
2
2
2
,
11. 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上， 故设圆方程为(x -3b ) +(y -b ) =9b 222
又因为直线y =x 截圆得弦长为27，
则有
2
+2=9b 2， 解得b =±1 故所求圆方程为 (x -3) +(y -1) =9或(x +3) +(y +1) =92222
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法; （3）尽量利用几何关系求a 、b 、r 或D 、E 、F .
12. 在直角坐标系xOy 中，以O
为圆心的圆与直线x =4相切． （1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使PA PO PB 成等比数列，求PA PB 的取值范围．
解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O
到直线x =4的距离，
即
r =
=2． 得圆O 的方程为x 2+y 2=4． （2）不妨设A (x 1，，0) B (x 2，，0) x 1
A (-2，，0) B (2，0) ．
=x 2+y 2，
设P (x ，y ) ，由PA PO PB 成等比数列，得
即 x 2-y 2=2．
PA PB =(-2-x ，-y ) (2-x ，-y )
=x 2-4+y 2=2(y -1).
2
22
⎧⎪x +y
由于点P 在圆O 内，故⎨2 2
⎪⎩x -y =2.
由此得y 2
所以PA PB 的取值范围为[-2，0) ．
第四部分 作业练习
1．点P (a , b ), Q (b +1 , a －1) 关于直线L 对称，则L 的方程是x －y －1=0
2
2
2．过点P （2，1）且被圆x +y －2x +4y =0，截得的弦长最大的直线的方程是3x －y －5=0 3．如果点（4，a ）到直线4x -3y -1=0的距离不大于3，那么a 的取值范围是[0，10] 4．直线kx -y +1-3k =0, 当k 变动时，所有直线都过定点（3，1） 5．直线x +2ay -1=0和直线(3a -1) x -ay -1=0平行的充要条件是a =
1
或0 6
1
6. 方程x 2+y2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 2+9=0(t ∈R)表示圆方程，则t 的取值范围是-
7
7. 点A 是圆C: x 2+y 2+ax +4y -5=0上任意一点,A 关于直线x +2y -1=0的对称点也在圆C 上, 则实数a 的值为-10
8. 过圆x 2+y2=4外一点P (4，2) 作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是(x-2) 2+(y-1) 2=5 9．M(x 0, y 0) 为圆x 2+y 2=a 2(a >0) 内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =a 2与该圆的位置关系为相离（填相切、相交、相离）
10. 设直线ax -y +3=0与圆(x -1) 2+(y -2) 2=4相交于A 、B 两点，且弦AB
的长为a =11. 已知圆C 过点A （4,-1）, 且与圆x 2+y 2+2x -6y +5=0相切于点B （1,2）, 则圆C 的方程为(x -3)+(y -1)=5
2
2
12. 若点(x ，y ) 在直线3x +4y +25=0上移动，则x
2
+y 2 25
13.
过点的直线l 将圆(x -2) 2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k
2
2
14. 若圆x +y -4x -4y -10=0上至少有三个不同点到直线l :ax +by =
0的距离为, 则直线
⎡π5π⎤
l 的倾斜角的取值范围是⎢, ⎥
⎣1212⎦
15. 已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点D 的坐标, 使四边形ABCD 为等腰梯形. 解:设D (x , y ) ，若AB
CD ，则K AB =K CD , AD =BC ，易得D （16, 3）
55
⎧⎪k AD =k BC
若AD BC ，则由⎨，可解得D (2,3)
AB =CD ⎪⎩
故点D 的坐标为(
163
, ) 或(2,3) 55
16. 已知∆ABC 的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为6x +10y -59=0，∠B 的平
分线所在直线方程为x -4y +10=0，求BC 边所在直线的方程． 解:设B (4y 1-10, y 1) ，由AB 中点在6x +10y -59=0上，
可得：6⋅
4y 1-7y -1
+10⋅1-59=0，y 1 = 5，所以B (10,5)． 22
设A 点关于x -4y +10=0的对称点为A '(x ', y ') ， y '-4⎧x '+3-4⋅+10=0⎪⎪22则有⇒A '(1, 7) . 故BC :2x +9y -65=0 ⎨
⎪y '+1⋅1=-1⎪⎩x '-34
17. 已知圆C 1：x 2+y 2=2和圆C 2，直线l 与圆C 1相切于点(1,1)；圆C 2的圆心在射线
2x -y =0(x ≥0) 上，圆C 2过原点，且被直线l
截得的弦长为
(Ⅰ) 求直线l 的方程； (Ⅱ) 求圆C 2的方程．
解：(Ⅰ) （法一）∵点(1,1)在圆C 1:x 2+y 2=2上， ∴直线l 的方程为x +y =2，即x +y -2=0． （法二）当直线l 垂直x 轴时，不符合题意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y -1=k (x -1) ，即kx -y -k +1=0． 则圆心C 1(0,0)到直线l
的距离d =r =
∴直线l 的方程为x +y -2=0．
222
（Ⅱ）设圆C 2：(x -a ) +(y -2a ) =r (a ≥0) ，∵圆C 2过原点，∴5a =r ． 222
∴圆C 2的方程为(x -a ) +(y -2a ) =5a (a ≥0) ．
2
2
=k =-1，
∵圆C 2被直线l
截得的弦长为C 2(a ,2a ) 到直线l ：x +y -2=0的距离：
d ==
2
整理得：a +12a -28=0，解得a =2或a =-14．
∵a ≥0，∴a =2．
∴圆C 2：(x -2) +(y -4) =20．
18. 已知过A （0，1）和B (4,a ) 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程．
2
2
解:设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．因为点A 、B 在此圆上，
所以E +F +1=0，① ，
4D +aE +F +a 2+16=0②,
又知该圆与x 轴（直线y =0）相切，所以由∆=0⇒D -4F =0，③ 2
由①、②、③消去E 、F 可得：1(1-a ) D 2+4D +a 2-a +16=0，④ 4
由题意方程④有唯一解，当a =1时，D =-4, E =-5, F =4；当a ≠1时由∆=0可解得a =0， 这时D =-8, E =-17, F =16．
综上可知，所求a 的值为0或1，当a =0时圆的方程为x 2+y 2-8x -17y +16=0；当a =1时，圆的方程为x 2+y 2-4x -5y +4=0．
19. 已知圆O :x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点, 曲线C 是以AB 为长轴,
的椭圆, 其左焦点为F . 若P 是圆O 上一点, 连结PF , 过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q .
(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ) 若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；
(Ⅲ) 试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),
? 若是, 请证明；若不是, 请说明理由. 解：(Ⅰ) 因为a =e =, 所以c=1 x +y 2=1 22 则b=1,即椭圆C 的标准方程为
(Ⅱ) 因为P (1,1),所以k PF =1, 所以k OQ =-2, 所以直线OQ 的方程为y=第－2x(7分19题 ) 2
又椭圆的左准线方程为x=－2, 所以点Q(－2,4)
所以k PQ =-1, 又k OP =1, 所以k O P ⊥k PQ =-1, 即OP ⊥PQ ,
故直线PQ 与圆O 相切
(Ⅲ) 当点P 在圆O 上运动时, 直线PQ 与圆O 保持相切
证明:设P (x 0, y 0) (x 0≠), 则y 0=2-x 0, 所以k PF =
所以直线OQ 的方程为y =-22y 0x +1, k OQ =-0, x 0+1y 0x 0+1x y 0
0) y 0
2x +2y 0-0
y 0y 02-(2x 0+2) -x 02-2x 0x y 所以k PQ ====-0, 又k OP =0, x 0x 0+2(x 0+2) y 0(x 0+2) y 0y 0
所以k O P ⊥k PQ =-1, 即OP ⊥PQ , 故直线PQ 始终与圆O 相切 所以点Q(－2,