湖南师大附中2017届高三月考数学文科试卷三
湖南师大附中2017届高三月考数学文科试卷三
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.
(1)集合M ={x |log2(1-x )
(2)若复数z 满足3+3i) z =3i(i为虚数单位) ,则z 的共轭复数为() 33333333(A)-i (B)i (C)-i (D)+22224444(3)在等差数列{a n }中,已知a 5+a 10=12,则3a 7+a 9=() (A)12 (B)18 (C)24 (D)30
2
(4)设a =20.3,b =0.32,c =log x (x +0.3) (x >1),则a ,b ,c 的大小关系是()
(A)a (5)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为()
1111(A) (C) (D) 3456
ππ5π
(6)右图是函数y =A sin(ωx+φ) ⎛x ∈R ,A >0,ω>0,0
2⎭6⎦⎝⎣6这个函数的图象,只需将y =sin x (x ∈R ) 的图象上所有的点()
π
(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
6π1
(B)向左平移个单位长度,,纵坐标不变
62π
(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
3π1
(D)向左平移个单位长度,纵坐标不变
32-x -ax -5(x ≤1)⎧⎪
(7)已知函数f (x ) =⎨a 是R 上的增函数,则a 的取值范围是()
(x >1)⎪⎩x
(A)-3≤a
(8)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ,B |AF |
两点,()
|BF |
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
2
(9)函数f (x ) =⎛1+e -1⎫cos
x 的图象的大致形状是()
2
⎝⎭
(10)执行如图所示的程序框图,输入p =10,则输出的A 为()
(A)-12 (B)10 (C)16 (D)32
4
(11)在体积为的三棱锥S -ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =90°,SA =SC ,且平面SAC ⊥平面ABC ,
3若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是()
927(A)π (B)π (C) (D)12π
322
y ≥0⎧⎪
(12)设x ,y 满足⎨ax +y -1≤0,若z =x 2-10x +y 2的最小值为-12,则实数a 的取值范围是()
⎪⎩3x -2y -2≤03311
(A)a
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
(13)若|a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,那么a 与b 的夹角为____.
(14)在平面直角坐标系xOy 中,若直线ax +y -2=0与圆心为C 的圆(x -1) 2+(y -a ) 2=16相交于A ,B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数a 的值是____.
(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为____.
(16)设函数f (x ) =e x (2x -1) -ax +a ,其中a
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)
x x x
3sin 1⎫,n =⎛cos cos 2,记f (
x
)
=
m·已知向量m =⎛n. 4⎭4⎝⎝4
π
(Ⅰ) 若f (x ) =1,求cos ⎛x +的值;
⎝3(Ⅱ) 在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足 (2a -c )cos B =b cos C ,求f (2A ) 的取值范围.
(18)(本小题满分12分)
如图1,在Rt △ABC 中,∠ABC =60°,∠BAC =90°,AD 是BC 上的高,沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B -AD -C ,如图2.
(Ⅰ) 证明:平面ABD ⊥平面BCD ;
(Ⅱ) 设E 为BC 的中点,求异面直线AE 与BD 所成的角. (19)(本小题满分12分)
3
设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S n =(a n -1) .
2
(Ⅰ) 求a 1的值,并求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ) 若数列{b n }为等差数列,且b 3+b 5=-8,2b 1+b 4=0. 设c n =a n ·b n ,数列{c n }的前n 项和为T n ,证5n +1n -·明:对任意n ∈N *,T n +⎛⎝23是一个与n 无关的常数.
(20)(本小题满分12分)
x 2y 22
已知椭圆C :1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-1,0) ,F 2(1,0) ,点A ⎛1在椭圆C 上.
a b 2⎝(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程;
5
(Ⅱ) 是否存在斜率为2的直线l ,使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M 、N 时,能在直线y =上找
3→→
到一点P ,在椭圆C 上找到一点Q ,满足PM =NQ ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
(21)(本小题满分12分) 1
已知函数f (x ) 2,g (x ) =a ln x .
2
(Ⅰ) 若曲线y =f (x ) -g (x ) 在x =1处的切线的方程为6x -2y -5=0,求实数a 的值;
h (x )-h (x )
(Ⅱ) 设h (x ) =f (x ) +g (x ) ,若对任意两个不等的正数x 1,x 2,都有恒成立,求实数a
x 1-x 2
的取值范围;
(Ⅲ) 若在[1,e ]上存在一点x 0,使得f ′(x 0) +
1
f ′(x 0)
请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
(22)(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l 的极坐标
⎧x =2cos θπ
方程为θ=(ρ∈R ) ,曲线C 的参数方程为⎨.
4⎩y =sin θ
(Ⅰ) 写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程;
8
|MB
|=求点M 轨迹的直角坐标(Ⅱ) 过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点,若|MA |·
3
方程.
(23)(本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x ) =|x +1|+2|x -1|-a .
(Ⅰ) 若a =1,求不等式f (x )>x +2的解集;
(Ⅱ) 若不等式f (x ) ≤a (x +2) 的解集为非空集合,求a 的取值范围.
参考答案
21-e 1-e e -1
(9)【解析】由题意得,f (x ) =⎛1+e 1⎫cos x =所以f (-x ) =cos(-x ) =·cos -cos x ,⎝⎭1+e 1+e 1+e x =-f (x ) ,所以函数f (x ) 为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A ,C ;令x =1, 21-e ⎛⎛⎫-11() 则f =1+e cos 1
(10)【解析】第1次执行循环体:S =S -2n +10=0-2+10=8>A =0,是,A =S =8,n =1≥p =10,
否,n =2n =2;
第2次执行循环体:S =S -2n +10=8-4+10=14>A =8,是,A =S =14,n =2≥p =10,否,n =2n =4;
第3次执行循环体:S =S -2n +10=14-8+10=16>A =14,是,A =S =16,n =4≥p =10,否,n =2n =8;
第4次执行循环体:S =S -2n +10=16-16+10=10>A =16,否,n =8≥p =10,否,n =2n =16; 第5次执行循环体:S =S -2n +10=
10-32+10=-12>A =16,否,n =16≥p =10,是,输出A =16,故选C. (11)
x
-x
x
【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ,连接SD ,则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA =SC ,知SD ⊥14
平面ABC ,且球心O 在SD 上,则S △ABC ×SD =解得SD =2. 设三棱锥S -ABC 外接球半径为R ,则R
333
=OS =OB ,所以在Rt △ODB 中,OB 2=BD 2+OD 2,即R 2=(2) 2+(2-R ) 2,解得R =,
2
49
故所求球的体积为V R 3=π,故选B.
32(12)【解析】由题意作平面区域如下,
∵z =x 2-10x +y 2=(x -5) 2+y 2-25的最小值为-12,
∴(x -5) 2+y 2的最小值为13,直线ax +y -1=0恒过点A (0,1) , 3
直线y =x -1与圆(x -5) 2+y 2=13相切于点B (2,2) ;
2
11
∵ax +y -1=0可化为y =-ax +1,故-a ≥k AB =故a ≤-故选D.
22
(14).
【解析】圆的半径是4,△ABC 是直角三角形,则圆心C 到直线AB 的距离为22, |a +a -2|
a +1
=22,解得a =-1.
2π
(15)4+
3
2π1
【解析】相当于一个圆锥和一个长方体,故体积为π·2+2·2·1=4.
333
1⎫. (16)⎡2e ⎣⎭
【解析】f (x )则题意说明存在唯一的整数x 0,使g (x ) 的图象在直线y =ax -a 下方,g ′(x ) =e x (2x +1) , 11
当x 时,g ′(x )>0,
22
111
-=-2e -又g (0)=-1,g (1)=e>0, 因此当x 时,g (x ) 取得极小值也是最小值g ⎛⎝222
⎧⎪-a >g (0)=-13
直线y =ax -a 过点(1,0) 且斜率为a ,故⎨,解得a
1
2e ⎪⎩g (-1)=-3e ≥-a -a
x x x 3x 1x 1x π1
(17)【解析】(Ⅰ) f (x ) =m·n =cos 2+=sin ⎛++
44422222⎝262πx π1x π1
由f (x ) =1,得sin ⎛=,所以cos ⎛x +⎫=1-2sin 2⎛⎫分)
⎝262⎝3⎭⎝26⎭2(Ⅱ) 因为(2a -c )cos B =b cos C ,由正弦定理得
(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C , 所以2sin A cos B =sin(B +C ) ,因为A +B +C =π,
ππ1
所以sin(B +C ) =sin A ,且sin A ≠0,所以cos B 又0
223ππππππ2π22
则A +C =,A =π-C ,又0332262363ππ13⎛3+13⎫.(12分)
(18)【解析】(Ⅰ) 因为折起前AD 是BC 边上的高,则当△ABD 折起后,AD ⊥CD ,AD ⊥BD .(2分)
又CD ∩BD =D ,则AD ⊥平面BCD .(3分) 因为AD ⊂平面ABD ,所以平面ABD ⊥平面BCD .(4分)
(Ⅱ) 取CD 的中点F ,连结EF ,则EF ∥BD ,所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角.(6分) 连结AF 、DE . 设BD =2,则EF =1,AD =3,CD =6,DF =3.
在Rt △ADF 中,AF AD +DF =21.(8分) 在△BCD 中,由题设∠BDC =60°,
1
则BC 2=BD 2+CD 2-2BD ·CD cos ∠BDC =28,即BC =27,从而BE =BC =7,cos ∠CBD =
2BD 2+BC 2-CD 21
=-. 在△BDE 中,DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE cos ∠CBD =13.
2BD ·BC 27
在Rt △ADE 中,AE AD +DE =5.(11分)
AE 2+EF 2-AF 21在△AEF 中,cos ∠AEF =. 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60°.(12分)
22AE ·EF 3
(19)【解析】(Ⅰ) 当n =1时,S 1=(a 1-1) ,即2a 1=3a 1-3,所以a 1=3.(1分)
2
333
因为S n =(a n -1) ,则S n -1=(a n -1-1)(n ≥2) .两式相减,得a n (a n -a n -1) ,即a n =3a n -1(n ≥2) .(4分)
222
所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,故a n =a 1·q n 1=3·3n 1=3n .(5分) (Ⅱ) 因为b 3+b 5=2b 4=-8,则b 4=-4. 又2b 1+b
4
=0,则b 1=2.(7分)
-
-
设{b n }的公差为d ,则b 4-b 1=3d ,所以d =-2,所以b n =2+(n -1) ×(-2) =4-2n .(8分) 由题设,c n =(4-2n )·3n ,则T n =2·31+0·32+(-2)·33+…+(4-2n )·3n . 3T n =2·32+0·33+…+(6-2n )·3n +(4-2n )·3n 1.(9分)
+
两式相减,得-2T n =2·3+(-2)·32+(-2)·33+…+(-2)·3n -(4-2n )·3n 1
+
=6-2(32+33+…+3n ) -(4-2n )·3n 1.
+
9(1-3n 1)155⎫n +1+
n ·所以T n =-3+(2-n )·3n 1=-⎛3.(11分) 2⎝2⎭1-3
-
5n +115
n -·故T n +⎛3=-(12分) ⎝22
(20)【解析】(Ⅰ) 设椭圆C 的焦距为2c ,则c =1,因为A ⎛1,
⎝
2在椭圆C 上,所以2a =|AF 1|+|AF 2|=2x 22
22,因此a 2,b =a -c =1,故椭圆C +y =1.(5分)
2
2
2
2
(Ⅱ) 椭圆C 上不存在这样的点Q ,证明如下:设直线l 的方程为y =2x +t , 5
x 3,,Q (x 4,y 4) ,MN 的中点为D (x 0,y 0) , 设M (x 1,y 1) ,N (x 2,y 2) ,P ⎛3⎝y =2x +t ⎧⎪2
由⎨x 消去x ,得9y 2-2ty +t 2-8=0, 2
⎪⎩2y =1
y 1+y 2t 2t
所以y 1+y 2,且Δ=4t 2-36(t 2-8)>0,故y 0==且-3
929
→→
由PM =NQ 知四边形PMQN 为平行四边形,而D 为线段MN 的中点,因此,D 也为线段PQ 的中点, 5
y 34t 2t -157
所以y 0,可得y 4=,又-3
29931a
(21)【解析】(Ⅰ) 由y =f (x ) -g (x ) 2-a ln x ,得y ′=x -,由题意,1-a =3,所以a =-2.(2分)
2x h (x )-h (x )1
(Ⅱ) h (x ) =f (x ) +g (x ) =x 2+a ln x ,因为对任意两个不等的正数x 1,x 2,都有,
2x 1-x 2设x 1>x 2,则h (x 1) -h (x 2)>2(x 1-x 2) ,即h (x 1) -2x 1>h (x 2) -2x 2恒成立,
1
问题等价于函数F (x ) =h (x ) -2x ,即F (x ) =2+a ln x -2x 在(0,+∞) 为增函数.(4分)
2a
所以F ′(x ) =x 2≥0在(0,+∞) 上恒成立,即a ≥2x -x 2在(0,+∞) 上恒成立,
x 所以a ≥(2x -x 2) max =1,即实数a 的取值范围是[1,+∞) .(6分)
1+a 11a
(Ⅲ) 不等式f ′(x 0) g (x 0) -g ′(x 0) 等价于x 0+
x 0x 0x 0f ′(x 0)1+a
设m (x ) =x -a ln x +由题意知,在[1,e ]上存在一点x 0,使得m (x 0)
x
2
a 1+a x -ax -(1+a )(x -1-a )(x +1)
由m ′(x ) =1-=.
x x x x 因为x >0,所以x +1>0,令m ′(x ) =0,得x =1+a .
①当1+a ≤1,即a ≤0时,m (x ) 在11,e]上单调递增,只需m (1)=2+a a +1+1
令m (1+a ) =1+a -a ln(1+a ) +1a
t +1
考查式子
t -11+a e 2+1
③当1+a >e,即a >e-1时,m (x ) 在11,e]上单调递减,只需m (e)=e -a +,解得a >.
e e -1
⎛e +1,+∞⎫.(12分)
综上所述,实数a 的取值范围是(-∞,-2) ∪ ⎪
⎝e -1⎭
x 22
(22)【解析】(Ⅰ) 直线l :y =x ,曲线C +y =1,(4分)
2
2
⎧x =x +223
(Ⅱ) 设点M (x ,y ) ,过点M 的直线为l :⎨(t 为参数) 由直线l 与曲线C 相交可得2⎩y =y +20
1
1
2
2(x 0
x 0+2y 0-22
8⎪8x 2y ⎪22
3|MB |=+2y 0) t +x 0+2y 0-2=0,由|MA |·=即1表示椭圆.
3⎪363⎪2⎪⎪
x 22x 222
取y =x +m 代入y =1得3x +4mx +2m -2=0,由Δ>0⇒3
=1夹在平行直线y =x 3之间的两段椭圆弧.(10分) 3
(23)【解析】(Ⅰ) 当a =1,不等式|x +1|+2|x -1|-1>x +2,即为|x +1|+2|x -1|>x +3,不等式等价于
⎧⎧⎪x 1⎨,或⎨或⎨⇒x 2,
⎪3x -1>x +3⎪1-3x >x +3⎪3-x >x +3⎩⎩⎩
22
所以所求不等式的解集为{x |x 2}.(5分)
(Ⅱ) 由f (x ) ≤a (x +2) ⇒|x +1|+2|x -1|-a ≤a (x +2) ,即|x +1|+2|x -1|≤a (x +3) .
⎧1-3x ,x
设g (x ) =|x +1|+2|x -1|=⎨3-x ,-1≤x ≤1,如图,P (-3,0) ,k
⎩3x -1,x >1.
1=,k =k =-3. P A
2PD BC
11⎫故由题可知a
分) 2