四参数正弦波曲线拟合的快速算法
·4·
理论与实践
2006年第26卷第1期
四参数正弦波曲线拟合的快速算法
梁志国,张大治,孙王景宇,李新良
中国一航北京长城计量测试技术研究所计量与校准国防科技重点实验室,北京1(00095)
摘
要:介绍了一种基于信号频率估计方法,利用三参数正弦波拟合算法实现的四参数最小二乘正弦
波拟合算法,特点是:绝对收敛;不需要对参数进行预估计;算法简洁;不需要迭代过程;运算速1)2)3)4)5)度高。仿真实验验证了方法的有效性、正确性和局限性。
关键词:正弦波;曲线拟合;收敛性;评价中图分类号:241.5O
文献标识码:A
文章编号:1002-6061(2006)01-0004-04
--AFastArithmeticMethodofFourparameterSineWaveCurvefit
-,Z-,S-,L-LIANGZhiguoHANGDazhiUNJingyuIXinliang
(,B00095,)NationalLaboratoryofMetrologyandCalibrationofChangchengInstituteofMetrology&Measurementeijing1China
:,af--AbstractInthispaperourparameterleastsquaresinewavecurvefitmethodbasedonthe--frequencyestimationmethodandrealizedbyusingthethreeparametersinewavecurvefitmethodis.T:1);2)-;introducedhefeaturesofitareabsoluteconvergencewithoutthepreestimationofparameters3);4);5).Tsimpleandeasytoberealizednoiterationhighspeedcalculationcoursehesimulationresults,r.haveprovedthecorrectnessightnessandthedefectofthismethod
:;c-;c;eKeywordssinusoidalwaveurvefitonvergencevaluation
0概述
正弦波曲线的四个独立参数分别为:幅度、频率、相位和直流分量。
由正弦波形的等间距采样序列获得其四参数拟合正弦曲线函数,是一种基本信号处理方法,在许多场合下获得了应用,如评价数据采集系统的有效位数、采集
1]速率、交流增益、通道间延迟、触发特性等[在调制信,2-5]号的数字化解调和失真度测量中,也有应用[。
值距离目标值"太远"则很容易导致迭代过程发散或,收敛到局部最优点而不是总体最优点上,致使拟合结果错误。另外,多数四参数正弦波拟合算法的共同缺点是拟合过程需要大量运算时间,从而影响了算法的效提高运算效率和缩短运行时率和实时性应用。因此,
间,也一直是四参数正弦波曲线拟合的目标之一。
一种显而易见的方法是使用组合方法与技术来达到目的,即不是同时使用四参数拟合方法获得最终结果,而是通过其它方法首先对信号的频率进行估计,在此基础上,再使用已知信号频率的三参数正弦拟合算
12,16]
法进行拟合,最终获得正弦波形的四个参数[。当正
针对四参数正弦波曲线拟合算法,已有众多学者
6-16]
作过大量研究工作[人们比较关注。对于这类算法,6]其以下几方面的特性[:①相对精度;②绝对精度;③效
率;④收敛性;⑤运行时间;⑥残差形式;⑦鲁棒性。
通过上述研究,人们发现,已知频率,关于幅度、相位和直流分量的三参数正弦波曲线拟合是一种闭合的线性过程,绝对收敛。而四参数正弦波曲线拟合则不然,尚无确切的数学公式可直接计算获得拟合参数,多数已知的方法都属非线性迭代拟合过程,若拟合初始
收稿日期:2005-07-18
作者简介:梁志国(男,研究员,硕士,研究方向为数字1962-),化仪器与系统校准评价、模式识别。
弦信号采样序列是等间隔采样序列时,该拟合过程将不需要叠代运算,从而具有速度快、过程简洁的特点,但精度通常较四参数直接拟合差。本文下面的过程具有这样的特点。
首先,将详细介绍一种三参数正弦波曲线拟合算法;然后介绍一种正弦频率估计方法;最后,介绍由它们的组合获得的四参数正弦波曲线拟合算法。
15]
1三参数正弦波曲线拟合法[
设理想正弦信号为
计测技术
()=A0(2)+B(2)+D0ytcosπftsinπft0
=C(2+θ)+D0(1)cosπft00
数据记录序列为时刻t,,…,,,tty12n的采集样本y12
采集速率v已知,采样间隔为Δ,…,,=i×Δ=i/,ttytvni
数字角频率ω则式(可表示成(=1,…,),=2/,1)inπfv下列离散形式
y(i)=A0cos(ωi)+B(sin(ωi)+D00
=Ccos(ωi+θ)+D0(2)00
三参数正弦波曲线拟合过程,即为输入信号的数理论与实践
HgH
可获得绝对收敛的四参数正弦波曲线计方法相结合,拟合方法。
]四参数正弦波曲线拟合的快速收敛算法
_]]
]^_正弦信号序列频率的估计[
关于正弦波序列频率的估计方法,有很多文献做12,1‘a31]
了讨论[根据精度b速度b实时性和信号质量的,
不同,可以采取不同的方法。
当式(所述正弦信号被执行均匀采样后获得的1)等间隔采样序列为y其表述的函数关系如,,…,,yy12n字角频率ω已知,选取或寻找A,B,D,使下式所述残差平方和最小:
n
ε=
Σ[
yi
-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D]2
(3)
i=1
则,参数A,B,D即为A0,B0,D0的最小二乘拟合值。为寻找出A,B,D,
构造矩阵c
os(ωH1)sin(ωH1)1G
=cos(ωH2)sin(ωH2)1…
…
…
cos(ωHn)sin(ωHn)1y1AM=y2
…
NO0
=ByDn
则式(3)
可用矩阵表示为ε=ε(ω)=(M-GO0)P
(M-GO0
)当式(3)最小时可得O0的最小二乘解OQ0
:OQ0
=(GPG)-1(GPM)拟合函数为
y
Q(i)=Acos(ωi)+Bsin(ωi)+D其幅度和相位表达形式
yQ(i)=Ccos(ωi
+θ)+D其中
C
=
STcUSnNAV0θ
=A
)STcUSnA
)+πNAZ0拟合残差为
[i=yi
-Acos(ωi)-Bsin(ωi)-D拟合残差有效值为ε\
=
其中
n
nε=Σ[2
i=Σ(yi-y
Q(i))2i=1
i=1
由于这是一种闭合算法,因而收敛是肯定的。将上述三参数正弦波曲线拟合方法与信号频率估
式(2)
所示。令c(i)=C0cos(ωi+θ0
),i=1,2,…,n(d)若测量点yi的误差为ei
,f=2cosω,则有yi=y(i)+ei=c(i)+D+ei(g)
c(i)+c(i-2)=(2cosω)hc(i-1)
=fhc(i-1)
(i)y(i)-D+y(i-2)-D=f(y(i
-1)-D)(‘)yi-D-ei+yi-2-D-ei-2=f(yi-1-D-ei-1)(j)yi+1-D-ei+1+yi-1-D-ei-1=f(yi-D-ei)(k)令
li=yi-yi-1(10)mi=ei-ei-1
(11)
则由式(j)和(k)
得li+1+li-1-fli=mi+1+mi-1-fmi
(12)由于可以认为ei为随机误差,故式(12)右侧也可以认为是随机误差。通过选取f使得
n-1
n=
Σ(
li+1
+li-1-fli)2
=oin(13)
i=3
令pf
=0,
则得n-1
lnln-1+l3l2+2Σl
ili-1f=
i=d
n-1
(1d)
Σl
2
i
i=3
ω=STccos(f/2)
(1g)
ω即为数字角频率的最小二乘估计值。
]^]四参数正弦波曲线拟合的快速算法
将第2^1节和第1节的运算过程结合起来,即构成了组合形式的四参数正弦波最小二乘拟合算法。从上述过程可见,两种算法均只涉及使用了加b减b乘b除的四则运算,属于不需要经过叠代的闭合算法,因而没有收敛性问题,即过程总是收敛的。
q仿真实验验证
对于四参数正弦波曲线拟合算法的较全面评价需
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理论与实践
2006年第26卷第1期
采样速率4G量系统量程-5～5V、/。当仿真A/SasD位数变化时,其用本文上述方法获得的四参数拟合结所述的果如表1所示。表2为相同条件下使用文献[4]频率搜索法获得的拟合结果,表3为相同条件下使用
[6]
Newton迭代法获得的拟合结果。
要使用蒙特卡罗仿真方法,或使用文献[所述方法32]首先获得其指标以最终确定优劣。限于篇幅,这里只选择在一组特定条件下的不同算法的结果比较来间接考察其相对优劣。
设定,仿真信号标称幅度为4V、标称频率为
标称相位0r标称直流分量0V。仿真测6254321Hz、、ad
表1本文所述方法四参数正弦波拟合结果
()/A/Dbits
[***********]
幅度/V0.445107633.448146023.955097173.996357773.999658273.999926573.999987014.000004563.99999176
频率/Hz[***********][***********][***********]066254349
相位/rad-0.393-0.914-0.232-0.0474-0.0007870.007090.009310.01000.00950
直流分量/V
-3
6.69×10-32.86×10-52.50×10-5-5.11×10-5-1.43×10-6-4.63×10-6-1.39×10
有效位数/bits信噪比/dB
0.03981.032.884.957.389.3411.7613.2512.41
2.047.9919.1331.5946.2258.0172.5781.5576.49
噪信比8.920.5800.1400.03310.006130.001580.0002950.0001050.000188
-1.91×10-4.89×10
-7-7
表2频率搜索迭代方法四参数正弦波拟合结果
()/A/Dbits
[***********][***********]4
幅度/V3.815322633.934561383.976834213.991792103.997092603.998962063.999623873.999870493.999954843.999987313.999997144.000001984.000000384.000000203.999999974.000000064.000000014.000000023.999999443.999999163.999999413.99999942
频率/Hz[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]3236254323
相位/rad
-3
9.17×10
直流分量/V-0.500-0.250-0.125
-2
-6.25×10-2-3.13×10-2-1.57×10-3-7.83×10-3-3.91×10-3-1.95×10-4-9.76×10-4-4.90×10-4-2.45×10-4-1.22×10-5-6.09×10-5-3.05×10-5-1.52×10-6-7.52×10-6-3.73×10-6-1.83×10-7-8.93×10-7-4.07×10-7-1.73×10
有效位数/bits信噪比/dB
3.344.305.296.297.308.309.3110.3111.3112.3213.3126.5115.8516.2215.8015.5216.5217.8026.0426.9725.8326.55
21.9027.7133.6739.6945.7451.7957.8363.8669.8975.9481.93161.3797.2499.4396.9095.22101.25108.93158.55164.19157.29161.64
噪信比0.106
-2
5.25×10-22.62×10-21.30×10-36.49×10-33.23×10-31.61×10-48.04×10-44.02×10-42.00×10-41.00×10-81.07×10-51.72×10-51.34×10-51.79×10-52.17×10-51.09×10-64.49×10-81.48×10-97.74×10-81.71×10-81.04×10
9.52×10
-3
-3
9.71×10-39.76×10-39.81×10-39.81×10-39.81×10-39.81×10-39.82×10-39.83×10-39.83×10-39.90×10-39.82×10-39.82×10-39.82×10-39.82×10-39.82×10-39.82×10-39.80×10-39.79×10-39.80×10-39.80×10
计测技术
表3Newton迭代法四参数正弦波拟合结果
()/A/Dbits
[***********][***********]4
幅度/V3.8135095673.9342103453.9767350553.9917789033.9970880783.9989620753.9996234943.9998696453.9999539843.9999864393.9999962753.9999993064.0000003684.0000001963.9999999714.0000000524.0000000074.0000000214.0000000153.9999999964.0000000023.999999994
频率/Hz[***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********][***********]3216254321
相位/rad
-4
-2.90×10
理论与实践
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直流分量/V-0.500-0.250-0.125
-2
-6.25×10
有效位数/bits信噪比/dB
3.344.305.296.297.308.309.3110.3111.3112.3213.3214.3215.3216.3217.3318.3219.3120.3021.2922.1522.8123.15
21.9027.7133.6739.6945.7451.7957.8363.8769.9175.9581.9787.9994.03100.07106.10112.08118.06124.04129.94135.16139.11141.16
噪信比0.106
-2
5.25×10-22.62×10
-3.03×10
-4
-4
-1.11×10-5-6.96×10
0.0130
-3
6.49×10-33.23×10-31.61×10-48.03×10-44.01×10-42.00×10-41.00×10-55.00×10-52.49×10-51.24×10-66.21×10-63.12×10-61.57×10-77.88×10-73.99×10-72.19×10-71.39×10-71.10×10
-9.43×10
-6
-3.13×10
-2
-5
-1.92×10-5-1.44×10-5-1.61×10-6-2.95×10-65.81×10-62.44×10-74.71×10-7-1.51×10-71.35×10-82.65×10-8-1.75×10-82.83×10-94.39×10-108.93×10-9-3.14×10-9-1.76×10
-2
-1.57×10-3-7.83×10-3-3.91×10-3-1.95×10-4-9.76×10-4-4.90×10-4-2.45×10-4-1.22×10-5-6.09×10-5-3.05×10-5-1.52×10-6-7.52×10-6-3.73×10-6-1.81×10-7-8.58×10-7-3.83×10
-10-7
-1.42×10-1.49×10
从上述仿真过程及结果可见,本文所述方法的运算速度最快,也最为便捷,没有收敛性问题,但对数据要求较高,且拟合精度最差,当A/6位时,D位数低到1拟合结果已经非常差了,原因在于本文方法的频率估计精度受数据质量影响非常严重;频率搜索方法的运算速度最慢,但收敛性较好,精度中等;而Newton法的精度最高,速度中等,但有时拟合结果不收敛。
算法。
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4结束语
综上所述可见,用本文所述方法进行四参数正弦波拟合,具有如下特点:不存在过程的收敛问题,因1)而总是可以获得一个估计结果;不需要对参数进行2)预估计,算法简洁;不需要迭代过程,所有结果都可3)以一次运算获得,因而具有较高的运算速度;量化噪4)声和随机误差对本文所述频率估计算法影响非常大,因此其最适合于测量数据比较精确的序列模型估计;估计过程对序列所含信号周期数没有要求,故可以5)
依据精确的局部周期数据对参数模型进行估计,此为其重要特点;如果对测量序列进行一下预处理,使其6)近似含有整数个信号周期,将可以进一步降低估计结果的不确定度。7如果选取其它效果更加优良的信号)频率估计方法,将可以获得更加有价值的正弦波拟合
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计测技术
小了定焦带来的测量不确定度。另外采用双刀口扫描可进行器件调平判断和环境振动、噪声的判断,以便及设法消除其对测量不确定度的影响。时发现问题,
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