弹性力学的半逆解法
弹性力学的半逆解法研究
指导老师： 刘 平
姓 名： 曹 天 阁 班 级： 研13 学 号： M13746
弹性力学的半逆解法研究
姓名：曹天阁 学号：M13746
摘要:利用应力平衡方程和相容方程的特点 ，根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学; 解析法; 应力函数
THE SEMI- REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS OF THE ELASTICITY Abstract :Stress component functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium equations and stress compatible equation according to boundary conditions。 Shear stress function is recom2mended to solve the elasticity problems。 Key words:elasticity;analysis method;stress function
半逆解法是圣维南于 1856 年提出来的 ，它是求解弹性力学问题十分重要的方法 ，在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式 ，再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数
实际上 ，按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相容方程和边界条件 ，则是问题的解。可以看出 ，在不考虑体积力的情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此 ，我们可以在假设某一应力分量 ，利用平衡方程求出其余的应力分量后再代入相容方程求解。这样 ，由于未经过消元运算 ，所以方程的阶数较低 ，可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解 ，还可以通过放松边界条件 ，进而求出一组近似解[2]。由平衡方程可以看出 ，通过假设剪应力函数而用平衡方程求出其余应力分量较方便。
图 1 受均布载荷的简支梁
1 用应力分量函数求解弹性力学问题的实例
1. 1 受均布载荷的简支梁
平面问题的平衡方程与相容方程是
∂σx ∂τyx
+=0 ∂x ∂y
∂τxy ∂x
+
∂σy ∂y
=0 （1）
∇2(σx +σy ) =0
把(1) 式的前两式分别对 y 与 x 求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到 ∇τxy =0 （2） 由(2) 式可以看出τxy 函数的指数一般不超过 3 次 ，可以用三次多项式求解 ，也可以直 接利用材料力学结果求解
4
τxy
6qx h 2
=-3(-y 2)
h 4
代入方程(1)的前两式积分后可以得出
6qx 2y 2qy 33qx +f (y ) ，+g (x ) （3） σx =- σy =-3+ 3
h h 2h
把(3)式代入方程(1)的第三式可求出
4qy 32
f (y ) =-3+Ay +Dy +E （4）
h
g (x ) =-Ax +Bx +C （5） 利用边界条件 y = - h/ 2 时 ，σy = - q; y = h/ 2 时 ，σy = 0 ，得到 A = B = 0 ， C =
-
q/
2; 利用端部
--2
x = L 截面合力以及合力矩条件
⎰
-h
σx d y =0, ⎰σx yd y , ⎰
6qL 23q
τxy dy =-ql , 得到H =3- ，K = 0。受均布载荷的简
h 5h
支梁应力解为
6qy 26y 4y 232
σx =3(L -x ) +(2-)
h h h 5
σy =-
q y 2y
(+1)(-1) 2 （6）
2h h
τxy
6qx h 2
=-3(-y 2)
h 4
1. 2 半无限平面受法向集中力的弗拉芒解
[3]
图 2 半无限平面受集中力
对于长度远大于梁高度的地基梁 ，可简化为集中力用作用半无限平面上的平面应变问题(见图 2) 。利用极坐标求解 ，极坐标下的平面问题平衡方程与相容方程是
∂σρ∂ρ
+
∂τρφ
ρ∂φ
+
+
σρ-σφ
=0 ρ
+2τρφ
=0 （7）
∂τρφ∂ρ
∂σφ
ρ∂φρ
⎡d ∂∂2⎤
(ρ) +22⎥(∂ρ+∂φ) =0 （8） ⎢ ρd ρ∂ρρ∂φ⎣⎦
考察主应力坐标系下的拉梅 - 麦克斯韦尔方程[3]
∂σ1σ1-σ2
+=0 ∂s 1ρ2∂σ2σ1-σ2
+=0 ∂s 2ρ1
式中，s 1，s 2分别为主应力坐标系下σ1，σ2方向的曲线坐标; ρ1，ρ2分别为主应力坐标系下曲线坐标的曲率半径。
根据边界条件和对称性知道s 1为直线束 ，而s 2为圆弧。所以必有τρϕ=0 ，利用(7) 式积分得到σφ=f (ρ) 。根据边界条件可知 ，当θ=±代入平衡方程的另一式 ，则有
π
2
，σφ=f (ρ) =0。把这一结果
ρ
∂σρ∂ρ
+σρ=0 （9）
解得σρ=
F (φ)
⎛∂2∂2∂2⎫
，再带入相容方程 ∂ρ2+ρ∂ρ+ρ2∂φ2⎪⎪σρ=0，得到 ρ⎝⎭
1
ρ
3
F (φ) +
1
ρ
3
F ''(φ) =0 （10）
方程(10) 的解是F (φ) =A cos φ+B sin φ，所以
σρ=(A cos φ+B sin φ （11）
利用分布在半径为ρ的半圆上σρ的合力为 F 的条件 ，可得到(11) 式中的代定常数
A =
1
, B =0。 由此得出 ，弗拉芒解为 2π
F cos φ
, σφ=0, τρφ=0 （12）
2πρ
σρ=
1. 3 薄板柱面弯曲的近似解
图 3 对边简支板受均布载荷
一个对边简支，长为b ，宽为a ( a 《 b) ，厚度为 t 的薄板受集度为 q 的均布载荷作用(见图 3) ，下面给出近似解。
空间问题不计体积力的平衡方程和相容方程为
∂σx ∂τyx ∂τzx
++=0 ∂x ∂y ∂z
∂τxy ∂x
+
∂σy ∂y
+
∂τzy ∂z
=0
∂τxz ∂τyz ∂σz
++=0 （13）
∂x ∂y ∂z
∇2(σx +σy +σz )=0，∇4τxy =0，∇4τyz =0，∇4τzx =0
由于把 y 向的长度 b 视为无限长的柱面弯曲 ，则该问题简化成两维问题 ，所有应力分量均不含自变量 y 。显然各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的 ，或者各分量增加一个常数项 ，它们仍能满足所有方程。为此 ，可以参考材料力学中梁的解 ，取σy =0，
σz =-2q (-) 2(1+) ，τxy =0，τyz =0。原方程组为
∂σx ∂τxz
+=0 ∂x ∂z
1
2z t z t
∂τzx ∂σz
+=0 （13）
∂x ∂z ∇2(σx +σy )=0
把所取的应力分量分别代入(13)式中的各方程 ，可以求
⎛1
τxz =-2qx -
⎝2
2
z ⎫⎛1z ⎫
⎪ +⎪+f (z ) t ⎭⎝2t ⎭
2
1z 2
σx =-3qx (+3) +x f '(z ) +F (z ) （14）
4t t
把(14)式代入相容方程
⎤⎛∂2⎛13z z 3⎫∂2⎫⎡z 3⎫2⎛1' ⎪ ⎪ ⎪+-2q ++-3qx ++x f (z ) +F (z ) ⎥=0 ∂x 2∂z 2⎪⎢ 44t t 3⎪ 4t t 3⎪
⎝⎭⎣⎝⎭⎝⎭⎦
解之可得到问题的解
6q 2qz ⎛4z 23⎫2
-⎪ σx =3l -x z + ，σy =0 2 ⎪t t ⎝t 5⎭
()
⎛1
σz =-2q -
⎝2z ⎫z
τxy =τyz =0 （15） ⎪(1+) ，
t ⎭t
2
这个结果对相对两边受约束的狭长板来说也有相当满意的精度 ，而且与一般求解板的位移法相比其求解过程大大简化了。
2 结论
(1)通过以上实例可以看出 ，直接按应力的平衡方程及相容方程通过用应力分量函数的
方法求解弹性力学问题可以大大简化求结果程。
(2)由材料力学中儒拉夫公式的推导过程及弹性力学理论分析的结果知道 ，弹性体内的剪应力对边界条件敏感性较差 ，借用材料力学的剪应力函数求解往往能得出较为满意的结果。
(3)认真分析弹性体内各应力分量的分布特点 ，从而给出某应力分量的函数形式极为重要 ，可以借用已有的相近问题的一些应力分量的函数式求解。
参考文献
1 徐芝纶。弹性力学(上、下) 。北京 :人民教育出版社 ，1979。 2 铁木辛柯。板壳理论。北京 :科学出版社 ，1964。
3 王光钦 ，丁贵宝 ，刘长虹 ，等。弹性力学。北京 :中国铁道出版社 ，2004。