截长补短法
全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全
一、截长补短法构造全等三角形
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
典型例题精讲
【例1】 如图，在∆ABC 中，∠BAC =60︒，AD 是∠BAC 的平分线，且AC =AB +BD ，求∠ABC 的度
数．
【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE =BD ，连接ED 、EC ．
由AC =AB +BD 知AE =AC ，
而∠BAC =60︒，则∆AEC 为等边三角形． 注意到∠EAD =∠CAD ，AD =AD ，AE =AC ， 故∆AED ≌∆ACD .
从而有DE =DC ，∠DEC =∠DCE ， 故∠BED =∠BDE =∠DCE +∠DEC =2∠DEC .
所以∠DEC =∠DCE =20︒，∠ABC =∠BEC +∠BCE =60︒+20︒=80︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE =AB ，则由题意可知CE =BD . 在∆ABD 和∆AED 中，AB =AE ，∠BAD =∠EAD ，AD =AD ， 则∆ABD ≌∆AED ，从而BD =DE ， 进而有DE =CE ，∠ECD =∠EDC ，
∠AED =∠ECD +∠EDC =2∠ECD .
注意到∠ABD =∠AED ，则：
13
∠ABC +∠ACB =∠ABC +∠ABC =∠ABC =180︒-∠BAC =120︒，
22
故∠ABC =80︒.
【答案】见解析．
断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
A
【例2】 已知∆ABC 中，∠A =60︒，BD 、CE 分别平分∠ABC 和. ∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判
E
O
D
B C
【解析】BE +CD =BC ，
理由是：在BC 上截取BF =BE ，连结OF ，
利用SAS 证得∆BEO ≌∆BFO ，∴∠1=∠2，
1
∵∠A =60︒，∴∠BOC =90︒+∠A =120︒，∴∠DOE =120︒，
2
∴∠A +∠DOE =180︒，∴∠AEO +∠ADO =180︒， ∴∠1+∠3=180︒，
∵∠2+∠4=180︒，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4， 利用AAS 证得∆CDO ≌∆CFO ，∴CD =CF ， ∴BC =BF +CF =BE +CD ．
【答案】见解析．
A
E 1
O
43F
D
B C
【例3】 如图，已知在△ABC 内，∠BAC =60︒，∠C =40︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ
分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．
A
B
Q
P
C
【解析】延长AB 至D ，使BD =BP ，连DP ．
在等腰△BPD 中，可得∠BDP =40︒， 从而∠BDP =40︒=∠ACP ， △ADP ≌△ACP （ASA ），故AD =AC
又∠QBC =40︒=∠QCB ，故 BQ =QC ，BD =BP ． 从而BQ +AQ =AB +BP ．
【答案】见解析．
【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC >BA ，AD =CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180︒．
A
D
B
【解析】延长BA 至F ，使BF =BC ，连FD
△BDF ≌△BDC （SAS ）， 故∠DFB =∠DCB ，FD =DC
又AD =CD ，故在等腰△BFD 中，∠D FB =∠D AF 故有∠BAD +∠BCD =180︒
【答案】见解析．
C
【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120︒，∠MDN =60︒，求
证：MN =MB +NC ．
A
N
B
C
B
1
M
【解析】延长NC 至E ，使得CE =MB
∵ ∆BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120︒，∴∠DBC =∠DCB =30︒ ∵ ∆ABC 是等边三角形． ∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60︒
∴∠MBD =∠ABC +∠DBC =∠ACB +∠DCB =∠DCN =∠DCE =90︒ 在∆DBM 和∆DCE 中，BD =DC ，MB =CE ， ∴ ∆DBM ≌∆DCE . ∴D E =D M , ∠1=∠2.
又∵ ∠1+∠NDC =60︒，∴ ∠2+∠NDC =∠END =60︒. 在∆MDN 与∆EDN 中，
ND =ND ，∠MDN =∠EDN =60︒，D E =D M
∴ ∆MND ≌∆END ∴ MN =EN =NC +MB
【答案】见解析．
A
N
B
E
【例6】 如图在△ABC 中，AB >AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点，求证：AB -AC >PB -PC ．
【解析】延长AC 至F ，使AF =AB ，连PD
△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP =PF 由三角形性质知
PB -PC =PF -PC
【答案】见解析．
【例7】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求
证：BC =AB +DC ．
B
A
E
C
【解析】在BC 上截取BF =AB ，连接EF
∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠FBE
又∵BE =BE ，∴△ABE ≌△FBE （SAS ），∴∠A =∠BFE ． ∵AB //CD ，∴∠A +∠D =180︒
∵∠BFE +∠CFE =180︒，∴∠D =∠CFE 又∵∠DCE =∠FCE ，CE 平分∠BCD ，CE =CE ∴△DCE ≌△FCE （AAS ），∴CD =CF ∴BC =BF +CF =AB +CD
【答案】见解析．
D
【例8】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN ⊥DM 且与∠ABC 外角的平分线交于
D
C
N
A M B E
点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
D
C
N
A M B E
【解析】猜测DM =MN . 在AD 上截取AG =AM ，
∴DG =MB ，∴∠AGM =45︒
∴∠DGM =∠MBN =135︒，∴∠ADM =∠NMB ， ∴∆DGM ≌∆MBN ，∴DM =MN ．
【答案】见解析．
【例9】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE ，求证：BE +DF =AE ．
A
D
A
D
F
B
C
F C
E M B E
【解析】延长CB 至M ，使得BM =D F ，连接AM .
∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =D F ∴∆ABM ≌∆ADF
∴∠AFD =∠AM B ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD
∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AM B =∠EAM ，AE =EM =BE +BM =BE +DF
【答案】见解析．
【例10】 如图所示，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求
证：AE =BC +CE ．
A
D
M E
B
C
【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：
中那一条线段相等．
(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．
【答案】延长AB 到F ，使BF =CE ，则由正方形性质知AF =AB +BF =BC +CE
下面我们利用全等三角形来证明AE =AF ．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角
∠BGF =∠CGE ，所以Rt ΔBGF ≌∆CGE (AAS )，
1
从而BG =GC =BC ，FG =EG ，BG =DM
2
于是Rt ΔABG ≌Rt ΔADM (SAS )，
1
所以∠BAG =∠DAM =∠BAE =∠EAG ，AG 是∠EAF 的平分线
2
F
∠ABC +∠AED =180︒，【例11】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，求证：AD 平分∠CDE ．
A
B E
C
D
【解析】延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .
∵∠ABC +∠AED =180︒，∠AEF +∠AED =180︒，∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ，∴△ABC ≌△AEF ． ∴EF =BC ，AC =AF
∵BC +DE =CD ，∴CD =DE +EF =DF
∴△ADC ≌△ADF ，∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .
【答案】见解析．
F
B
E
C D
【例12】 若P 为∆ABC 所在平面上一点，且∠APB =∠BPC =∠CPA =120︒，则点P 叫做∆ABC 的费马点．
（1）若点P 为锐角∆ABC 的费马点，且∠ABC =60︒，PA =3，PC =4，则PB 的值为_____；
（2）如图，在锐角∆ABC 外侧作等边∆ACB ′，连结BB ′．
=PA +PB +PC ． 求证：BB ′过∆ABC 的费马点P ，且BB ′
B'
B
【解析】（1
）
（2）证明：在BB ′上取点P ，使∠BPC =120︒，
连结AP ，再在PB ′上截取PE =PC ，连结CE ． ∵∠BPC =120︒，∴∠EPC =60︒，∴∆PCE 为正三角形，
=120︒， ∴PC =CE ，∠PCE =60︒，∠CEB ′
C ，∠ACB ′=60︒， ∵∆ACB ′为正三角形，∴AC =B ′
=60︒，∴∠PCA =∠ECB ′∴∠PCA +∠ACE =∠ACE +∠ECB ′， CE ，∴∠APC =∠B ′CE =120︒，PA =EB ′∴∆ACP ≌∆B ′，
∴∠APB =∠APC =∠BPC =120︒， ∴P 为∆ABC 的费马点， ∴BB ′过∆ABC 的费马点P ，
=EB ′+PB +PE =PA +PB +PC ． 且BB ′
【答案】见解析．
B
B'
课后复习
【作业1】已知，AD 平分∠BAC ，AC =AB +BD ，求证：∠B =2∠C ．
A
B
D
C
【解析】延长AB 至点E ，使AE =AC ，连接DE
∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠CAD ∵AE =AC ，AD =AD ，
∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴∠E =∠C ∵AC =AB +BD ，∴AE =AB +BD
∵AE =AB +BE ，∴BD =BE ，∴∠BDE =∠E ∵∠ABC =∠E +∠BDE ，
∴∠ABC =2∠E ，∴∠ABC =2∠C ．
【答案】见解析．
A
B
D
C
E
【作业2】如图，△ABC 中，AB =2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD =BD ，求证：CD ⊥AC ．
A
C
B
D
【解析】在AB 上取中点F ，连接FD ．
则△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 的中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故∠AFD =90︒ △ADF ≌△ADC （SAS ）
∠ACD =∠AFD =90︒，即：CD ⊥AC
【答案】见解析．
【作业3】如图所示，∆ABC 是边长为1的正三角形，∆BDC 是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点
作一个60︒的∠MDN ，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求∆AMN 的周长．
【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE =BM .
在∆BDM 与∆CDE 中，因为BD =CD ，∠MBD =∠ECD =90︒，BM =CE ， 所以∆BDM ≌∆CDE ，故MD =ED .
因为∠BDC =120︒，∠MDN =60 ，所以∠BDM +∠NDC =60︒. 又因为∠BDM =∠CDE ，所以∠MDN =∠EDN =60︒.
在∆MND 与∆END 中，DN =DN ，∠MDN =∠EDN =60︒，D M =D E ， 所以∆MND ≌∆END ，则NE =MN ，所以∆AMN 的周长为2.
【答案】见解析．
【作业4】已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B +∠D =180︒，求证：AE =AD +BE ．
D
A
【解析】在AE 上取F ，使EF =EB ，连接CF
∵CE ⊥AB
∴∠CEB =∠CEF =90︒
∵EB =EF ，CE =CE ，
∴△CEB ≌△CEF
∴∠B =∠CFE
∵∠B ＋∠D =180︒，∠CFE +∠CFA =180︒ ∴∠D =∠CFA
∵AC 平分∠BAD
∴∠DAC =∠FAC
∵AC =AC
∴△ADC ≌△AFC （SAS ）
∴AD =AF
∴AE =AF +FE =AD +BE
【答案】见解析．
C E B
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