椭圆方程离心率和焦点三角形
椭圆的方程、离心率、焦点三角形、弦及中点(点差法)、最值 一、椭圆的方程
1. 已知椭圆mx3y6m0的一个焦点为(0,2)求m的值.()
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c2,根据关系abc可求出m的值.
2
2
2
2
2
x2y2
解:方程变形为1.因为焦点在y轴上,所以2m6,解得m3.
62m
又c2,所以2m62,m5适合.故m5.
2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P3,0,a3b,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数a和b(或a和b)的值,即可求得椭圆的标准方程.
2
2
2
x2y2
解:当焦点在x轴上时,设其方程为221ab0.
ab
x29022
由椭圆过点P3,知221.又a3b,代入得b1,故椭圆的方程为 y21.0,a9,
9aby2x2
当焦点在y轴上时,设其方程为221ab0.
ab0,知由椭圆过点P3,
9022
.又,联立解得,a81b9,故椭圆的方程为1a3b22
ab
y2x2
1. 819
3. 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为F1、F2,且PF1
425
和,过P点作焦点所33
425
,PF2.从椭圆定义知2aPF1PF225.即33
a5.
从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在RtPF2F1中,sinPF1F2
PF2PF1
1
,可2
求出PF1F2
6
,2cPF1cos
6
210222
,从而bac.
3x23y23x2y2
1或1. ∴所求椭圆方程为
510105
x2y2
4.已知方程1表示椭圆,求k的取值范围.
k53kk50,
解:由3k0,得3k5,且k4.
k53k,
∴满足条件的k的取值范围是3k5,且k4. 说明:本题易出现如下错解:由
k50,
得3k5,故k的取值范围是3k5.
3k0,
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中ab0这个条件,当ab时,并不表示椭圆. 5. 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过A(3,2)和B(2,1)两点的椭圆方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起见,
可设其方程为mxny1(m0,n0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程. 解:设所求椭圆方程为mxny1(m0,n0).由A(,2)和B(23,1)两点在椭圆上可得
22
x2y211m(3)n(2)1,3m4n1,
1.即所以m,n.故所求的椭圆方程为 2215515512mn1,m(23)n11,
2
2
2
2
三、焦点三角形
x2y2
1. 已知椭圆方程221ab0,长轴端点为A1,A2,焦点为F1,F2,P是椭
ab
圆上一点,A1PA2,F1PF2.求:F1PF2的面积(用a、b、表示). 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用S
1
absinC求面积.
2
解:如图,设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设Px,y,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知: F1F2
2
PF1PF22PF1PF2cos4c2.①
2
22
2b2
由椭圆定义知: PF1PF22a ②,则②-①得 PF1PF2.
1cos
故SF1PF2
四、弦及中点(点差法)
12b21
sin b2tan. PF1PF2sin
21cos22
x211
y21,例7 已知椭圆(1)求过点P且被P平分的弦所在直线的方程; 222
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ
求线段PQ中点M的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为Mx1,y1,Nx2,y2,线段MN的中点Rx,y,则
1, 2
x122y122,2
2
x22y22,
x1x22x,yy2y,12
①②③④
①-②得x1x2x1x22y1y2y1y20.
由题意知x1x2,则上式两端同除以x1x2,有
x1x22y1y2y1y2
x1x2
将③④代入得x2y
0,
y1y2
0.⑤
x1x2
(1)将x
yy2111
,故所求直线方程为: 2x4y30. ⑥ ,y代入⑤,得1
x1x2222
2
2
2
将⑥代入椭圆方程x2y2得6y6y
11
2x4y30为0,36460符合题意,
44
所求. (2)将
y1y2
2代入⑤得所求轨迹方程为: x4y0.(椭圆内部分)
x1x2
y1y2y122
代入⑤得所求轨迹方程为: x2y2x2y0.(椭圆内部分)
x1x2x2
(3)将
2
x12x22
y12y22, ⑦, 将③④平方并整理得 (4)由①+②得 :
2
22
x12x24x22x1x2, ⑧, y12y24y22y1y2, ⑨
4x22x1x2
4y22y1y22, ⑩ 将⑧⑨代入⑦得:
4
y211222
1.再将y1y2x1x2代入⑩式得: 2xx1x24y2x1x22, 即 x 122
2
此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8 已知椭圆4xy1及直线yxm. (1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为
22
2,求直线的方程. 5
2
2
2
2
解:(1)把直线方程yxm代入椭圆方程4xy1得 4xxm1,
22
即5x2mxm10.2m45m116m200,解得
2
2
2
. m
22
m212m
(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2,由(1)得x1x2,x1x2.
55
m2122m2
根据弦长公式得 :1.解得m0.方程为yx. 4
555
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程. 五、最值
2
x2y2
以椭圆过直线l:xy90上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最1的焦点为焦点,
123
短,点M应在何处?并求出此时的椭圆方程.
分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
x2y2
1的焦点为F13,解:如图所示,椭圆0,F23,0. 123
点F1关于直线l:xy90的对称点F的坐标为(-9,6),直线FF2的方程为x2y30.
x2y30解方程组得交点M的坐标为(-5,4).此时MF1MF2最小.
xy90
所求椭圆的长轴:2aMF1MF2FF26,∴a3,又c3,
x2y2
1.
∴bac35336.因此,所求椭圆的方程为
4536
2
2
2
2
2