函数选择题难题
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2015-2016学年度邵阳县二中第三次月考卷
数学
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
一、选择题
1.设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,对x ∈R ,都有f (x -2) =f (x +2) ,且当
x ∈[-2, 0]时,
.若在区间[-2, ]6内关于x 的方程f (x ) -l a o g x +(
=2) a >恰有0(3个不同实根,则a 的取值范围是( )
A .1
试题分析:由f (x -2) =f (x +2) ,得f (x ) =f (x +4) ,所以函数f (x ) 是周期为4
的函数.
又f (x ) 是偶函数,且x ∈[-2,0]-x
2
-1,所以x ∈[0,2]
时,f (x ) =2x
-1.方程f (x ) -log a (x +2) =0(a >1) 在[-2,6]内有三个根,即函数
y =f (x ) 与函数y =log a (x +2) (a >1) 在[-2,6]内有三个交点,作出函数y =f (x )
与y =log a (x +2) (a >1) 图像如图所示,则两个图像在[-2,6]内恰有三个交点的条件是⎨
⎧log a (2+2)
⎩log (6+2) >3
(a >1) B .
a 试卷第1页,总19页
考点:1、指数函数与对数函数的图象与性质;2、函数的零点与方程根的关系;3、不等式的解法.
【方法点睛】方程的根为对应函数的零点,而函数的零点通常还可转化为两个函数的交点,因此求解函数的零点个数通常有两种方法:(1)直接法,即求解出所有的零点;(
2)数形结合法,即转化为原函数的图象与x 轴的交点个数或分解为两个函数相等,进而判断两个函数图象的交点个数,此法往往更实用.而函数函数的图象要求正确,特别是关键点的作法.
2.已知定义在[0, +∞)
上的函数f (x ) 满足f (x ) =2f (x +2) ,当x ∈[0, 2) 时,f (x ) =-2x 2+4x ,设f (x ) 在[2n -2, 2n ) 上的最大值为
a n (n ∈N *) ,且{a n }的前n 项和为S n ,则S n =( ). A 【答案】B
【解析】
试题分析:因为定义在[0, +∞) 上的函数f (x ) 满足f (x ) =2f (x +2) 恒成立,所以
以
.
设
x ∈[2n -2,2n ) ,则x -2n -2∈[0,2).因为当x ∈[0, 2) 时,f (x ) =-2x 2+4x ,所
以
f ⎡⎣x -(2n -2)⎤
⎦
=
-2⎡⎣x -(2n -2)⎤2
⎦
+
4⎡⎣x -(2n -2)⎤⎦
,所以
,2+所以f
(
)x =21-n ⎡⎣-(2-x +2)2n +1⎤⎦
,x ∈[2n -2,2n ) ,所以x =2n -1时,f (x ) 的最大值为22-n ,即a 2-n n =2,所以前n 项
B .
考点:1、函数解析式;2、等比数列的前n 项和.
【思路点睛】本题解答有两个关键点:(1)由f (x ) =2f (x +2) 导出类似于函数周期性;(2)转化自变量区间[2n -2, 2n ) 为[0,2) 后,利用已知区间[0,2) 上的解析式,确定在区间[2n -2, 2n ) 上的解析式.
试卷第2页,总19页
2
3.定义在(1, +∞) 上的函数f (x ) 满足下列两个条件:(1)对任意的x ∈(1, +∞) 恒有(2)当x ∈(1, 2] 时,f (x ) =2-x .记函数g (x ) =f (x ) -k (x -1) ,f (2x ) =2f (x ) 成立;
若函数g (x ) 恰有两个零点,则实数k 的取值范围是( ) A .[1, 2) B【答案】B 【解析】
试题分析:由题意得:当x ∈(1, 2] 时,f (x ) =2-x .当x ∈(2,4]时f (x ) =4-x ;当x ∈(4,8]时f (x ) =8-x ;函数g (x ) 恰有两个零点即函数y =f (x ) 与直线y =k (x -1) 有且仅有两个交点,而y =k (x -1) 过点(2,2)时,有且仅有一个交点,k =2,y =k (x -1) 过
点(4,4)k 考点:函数零点
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
4.已知y =f (x )是奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )=lnx -ax (a>),当x ∈(-2,0)时,f (x )的最小值为1,则a = ( ) A .-1 B.1 C. D.e 2
【答案】8 【解析】 试题分析:∵
是奇函数且在上的最小值为1,
在
上的最大值为
.
当时,, 令得,又,∴. 当
时,
,当
时,
,
所以在上单调递增;在上单调递减,
,
.故B 正确.
试卷第3页,总19页
考点:1函数的奇偶性;2用导数求最值.
5.已知函数f (x
) =ax 2-(3-a ) x +1, g (x ) =x ,若对于任意实数x , f (x ) 与g (x ) 至少
有一
个为正数,则实数a 的取值范围是( )
A .0≤a ≤3 B.0≤a 试题分析:由题意得:当x ≤0时,f (x ) >0,而f (0)=1,因此只需:当x
f (x ) >0,
从而a >0,(3-a ) 2
-4a
0a =0,解得:0≤a
选B
.
考点:二次函数性质
6a , b , c 互不相等,且f (a ) =f (b ) =f (c ), 则
abc 的取值范围是( )
A .(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 【答案】C
【解析】
试题分析:在坐标系中画出f (x ) 的图像如图,
不妨设a
考点:数形结合思想.
【方法点睛】该题属于函数的典型题,利用数形结合思想,研究一次函数、对数函数的图象,从而利用f (a ) =f (b ) =f (c ) ,结合函数的图像以及对数的运算性质,得到
abc =c ,再从图中确定出c 的取值范围,求得abc 的取值范围.
⎧⎨
e x 7.已知函数f (x)=+a
x ≤0,若函数f (x ) 在R 上有两个不同零点,则a 的取
⎩2x -1
x >0
值范围是( ).
试卷第4页,总19页
A .[-1, +∞) B.(-1, +∞) C.(-1, 0) D.[-1, 0)[ 【答案】D 【解析】
试题分析:令2x -1=0,求所以方程e x +a =0有一个非正根,即又当x ≤0时,有-e x ∈[-1,0) ,所以a 的取值范围是[-1,0) ,a =-e x , x ∈(-∞,0]有解,
故选D .
考点:函数的零点,取值范围问题的求解.
【易错点睛】该题属于已知函数零点个数求参数的取值范围问题,属于中档题目,在求
解的过程中,一定要把握住函数有两个不同零点的条件,而分段函数应该分段来处理,注意当x >0e x +a =0有一个非正根,所以等价于函数a =-e x , x ∈(-∞,0]的值域,从而求得结果,一定要注意分段函数分段处理和函数的转化问题.
8.已知函数f (x ) =x 2-2x ,g (x ) =ax +2(a >0) ,且对任意的x 1∈[-1,2],都存在
x 2∈[-1,2],
使f (x 2) =g (x 1) ,则实数a 的取值范围是 ( ) (A )[3,+∞) (B )(0,3] (C ) (D )
【答案】D 【解析】
试题分析:根据题意可知函数的值域是函数
的值域的子集,又函数的值域为
,函数
的值域为
,所以
,所
以有,求得实数a 的取值范围是,故选D.
考点:函数的值域,集合间的关系. 【思路点睛】该题属于求参数的取值范围问题,属于较难题目,注意任意和存在的区别,从而确定函数
的值域为函数
的值域的子集,求出两个函数的值域,利用
,得出对应的不等式组,从而求得结果.
9.下列四个命题:(1)函数f (x )在x >0时是增函数,x <0也是增函数,所以f (x )
是增函数;(2)若函数f (x )=ax 2+bx +2与x 轴没有交点,则b 2
-8a <0且a >0;
(3)y =x 2
-2|x|-3的递增区间为[1,+∞).其中正确命题的个数是( ) A .0 B.1 C.2 D.3 【答案】A
试卷第5页,总19页
【解析】
试题分析:A 项错误,在两段内递增不能保证在全体实数递增,B 项错误,函数可能为二次函数可能为一次函数,需分情况讨论;C 项错误,函数的增区间有两个[1,+∞)与[-1,0] 考点:函数单调性与最值
10.设f (
x )与g (x )是定义在同一区间a , b 上的两个函数,若函
数
[]
y =f (x )-g (x )在x ∈[a , b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a , b ]上是
“关联函数”,区间
[a , b ]
称为“关联区间”。若
f (x )=x 2-
3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是
“关联函数”,则m 的取值范围为( ) A
.[-10,] C.(-∞,-2] D【答案】A 【解析】
试题分析:∵f (x )=x 2
-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”
, 故函数y =h (x ) =f (x ) -g (x ) =x 5-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点,
考点:函数的零点、函数值.
【思路点睛】由题意将f (x )=x 2
-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”
,先转化为y =h (x ) =f (x ) -g (x ) =x 5
-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点,再根
m 的取值范围.
11.已知f (x ) =⎧⎨x +k (1-a 2), x ≥0
x 2-4x +(3-a ) , x
, a ∈R ,对任意非零实数x ⎩2
1,存在唯一的非零实数x 2(x 1≠x 2) ,使得f (x 1) =f (x 2) 成立,则实数k 的取值范围是( ) A .k ≤0 B.k ≥8 C.0≤k ≤8 D.k ≤0或k ≥8 【答案】D 【解析】
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试题分析:由函数解析式可知当x ≥0时函数单调性递增,当x
∴k (1-a 2) =(3-a ) 2∴(k +1)a 2-6a +9-k =0∴∆=36-4(k +1)(9-k )≥0
∴k ≤0或k ≥8,故选D
有实根,
考点:1.函数的性质及应用;2.一元二次不等式解集
【方法点睛】本题考查了分段函数的运用,主要考查二次函数的性质,以及二次不等式的解法,本题的入手点在对已知条件“对任意非零实数x 1,存在唯一的非零实数
x 2(x 1≠x 2) ,使得f (x 1) =f (x 2) 成立”的理解:同一函数值对应的自变量值有两个,
因此结合函数单调性可得到在两段内的函数值取值范围相同,即两函数最小值相等,从而得到a , k 的关系式(1-a 2) =(3-a ) 2,求k 的范围可将关系式转化为关于a 的二次方程有实数解或转化为以a 为自变量以k 为函数值的函数求值域
12.设a , b ∈R , 且⎧⎪⎨(a -1) 3
+2015(a -1) =-2016
2) +2015(b -2) =2016
,则a +b 的值为( ) ⎪⎩(b -3
A .0 B.1 C.2 D.3
【答案】D 【解析】 试
题
分析
:
⎧⎪⎨(a -3
1+) a 2-0=-15①(⎪⎩(b -32+)
b 2-0=15②(
将
1两)
相
0加
162)
式
22016
得
(a -1)3
+(b -2)3
+2015(a -1+b -2)=0
∴(a +b -3)⎡⎣(a -1)2+(a -1)(b -2)+(b -2)2
⎤⎦+2015(a +b -3)=0
∴(a +b -3)⎡22
⎣(a -1)+(a -1)(b -2)+(b -2)+2015⎤⎦
=0
(a -1)2+(a -1)(b -2)+(b -2)2
+2015>0恒成立∴a +b -3=0∴a +b =3,故
选D
考点:整理代换代数式求值
【方法点睛】本题中由已知关系式中a , b 的次数最高为3次,因此直接解方程组有一定的困难,因此考虑将已知两关系式进行拼凑使其出现a +b 项,结合两式中出现2016与
-2016,因此考虑到两式相加得(a -1)3+(b -2)3
+2015(a -1+b -2)=0,进而需
将(a -1)3
+(b -2)3
结合立方和公式转化出a +b 项来表示,从而通过提取公因式的方法使方程次数降低,达到求解的目的
试卷第7页,总19页
13.下列区间中,函数f (x ) =2x -5存在零点的区间是( ) A .(-1,0) B.(0,1) C.(1,2)
D.(2,3) 【答案】D
【解析】 试
题分析:
f (-1)=2-1-5
1-5
(2)=-1
)=8-5>0
∴f (
2)f (3)
考点:零点存在性定理
14
.如图,面积为8的平行四边形OABC ,对角线AC ⊥CO ,AC 与
BO 交于点E ,某指数函数y =a x (a >0, 且
a ≠1),经过点E , B ,则a =
A .2 D
.3
【答案】A 【解析】
试题分析:设点A (0,m ), 则由已知可得,.又因点E 、B A .
考点:已知图像上点求函数解析式.
【方法点睛】本题是通过四边形的面积求出相应点的坐标,然后代入指数函数的解析式
中,求出a 的值即可.思路简单,难点在于解关于m,a 技巧.
15.已知定义在R 上的函数
为偶函数,
a =(f l 0o . g 5
b =3() , f )
2
l =(o
c g ),则f 5a , , b m , c 的大小关系为2
A .a
C .c
试卷第8页,总19页
试题分析:因函数为偶函数,所以可得,m=0,增函数.又因为
显然函数在[0,为+∞)
a =f (log0.53)=f (log23), b =f (log 25), c =f (2m )=f (0)
, 且0
所以c
【方法点睛】利用函数奇偶性及单调性进行比大小是一个很重要的题型.注意偶函数的利用其将变量统一到同一个单调区间,可以避免讨论,
降低试题的麻烦度.
16.若a , b 是函数f (x )=x 2
-px +q (p >0, q >0) 的两个不同的零点,且a , b , -4 这
三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p +q 的值等于( )
A .16 B.10 C.26 D.9 【答案】C 【解析】
试题分析:a , b 是函数f
(x )=2x -p x +(q p >0, q >0)的两个不同的零点
∴⎧⎨
a +b =p
,假设a
a , b 成等差数列,a , -4, b 成等比数列,所以⎩ab =q
⎧⎨
2a =b -4⎧⎩
ab =16∴⎨a =2⎩b =8∴⎧⎨p =10
⎩q =16∴p +q =26,故选C 考点:1.函数零点;2.等差数列,等比数列
【方法点睛】函数零点问题常转化为与函数对应的方程的根,本题中有关于一元二次方程的根常利用根与系数的关系求解,由a >0, b >0可知成递增等差数列的三项a , b , -4中-4为第一项,从而确定关系式2a =b -4,三数成等比数列可确定-4只能为中间项,因此有ab =(-4)2
,解方程组求得a , b 值,进而代入可得到p , q 的值
17.设函数f (x ) =⎧⎪32
⎨2x +3x +1(x ≤0)
ax ,在[-2,2]上的最大值为2,则实数a 的取
⎪⎩e (x>0)
值范围是( )
【答案】D 【解析】
试题分析:x ≤0时f (x )=2x 3
+3x 2
+1,f ' (x )=6x 2
+6x =6x (x +1),
∴x 0;-1
在(-1,0)上单调递减.
试卷第9页,总19页
所以[-2,0]上f (x )max =f (-1)=2
. 当x >0时f (x
)=e ,
ax
a =0时f (x )=1
a >0时f (x )=e ax 在(0,2]上单调递增,所以f (x )max =f (2)=e 2a ,由题意可得 ax
当a
18x 的方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有5个不等的实数根的充分必要条件是( )
A .b 0 B.b >-2且c
0 D.b ≥-2且c =0 【答案】C 【解析】
试题分析:当x =
0时f (x )=0,当x =0为f
2
(x )+bf (x )+c =0的一个根时可得
c =0.
所以f
2
(x )+bf (x )+c =0即f 2(x )+bf (x )=0有
4个不同的根, f (x )≠0,
∴f (x )=-b 有4个根.
x ≠0: 由图可知-b >2⇒b
. 综上可得b
试卷第10页,总19页
考点:1函数零点;2对勾函数;3数形结合思想.
19.已知函数f (x )的图像是连续不断的,有如下的x ,f (x )的对应表
则函数f (x )存在零点的区间有( ) (A )区间[1
,2]和[2,3] (B
)区间[2,3]和[3,4]
(C )区间[2,3]、[3,4]和[4,5] (D )区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
【答案】C 【解析】
试题分析:因为f (2)>0,f (3)0,f (5)
所以在区间[2,3],[3,4],[4,5]内有零点, 选C. 考点:零点的存在性定理.
20.函数f (x ) =3ax +1-2a 在区间[-1,1]上存在x 0,使f (x 0) =0(x 0≠±1) ,则a 的取值范围是( ) A .a
试题分析:由题意
可知函数
f (x )在(-1,1)
内上有零点
∴f (1-)f (
)1
-5)a +1
a
21.函数f (x )=ln x +2x -3的零点所在的区间是( ) A .(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4) 【答案】B 【解析】
试题分析: f (1)=ln1+2-30,由函数零点存在性定理可知零点在区间(1, 2)上 考点:函数零点存在性定理 22 试卷第11页,总19页
A . B. C. (1,2) D. (2,4)
【答案】C 【解析】
f (1)f (2)
,
则零点在
(1,2)
区间.故答案选C .
考点:零点存在性定理.
⎧ln |x -1|,x ≠1
23.已知函数f (x ) =⎨
⎩
0, x =1, g (x ) =a (x
+2a )(x -a +2) ,
若f (x
) 与g (x ) 同
时满足条件:①∀x ∈R , f (x ) >0或g (x ) >0;②∃x 0∈(-∞, -1],f (x 0) g (x 0)
A 、(-∞,-1) 2) B 、(-∞,-1) (0 2)
C 、(-∞,0) 2)
D 、(-∞,0) (0 2)
【答案】B
【解析】
试题分析:如图1,由f (x ) 的图象可知,当x ∈(-∞,
0) (2,+∞) 时,f (x ) >0,为满足条件①,可得g (
x ) >0
在[0,2]上恒成立;为满足条件②,由于在(-∞,-1]上总有f (x ) >0,故∃x 0∈-∞(-,]1,g (x 0)
时,g (x ) =0,不满足条件;当a ≠0时,考虑函数g (x ) 的零点x =-2a ,x =a -2;
当a a -2
,
为满足条件得⎧⎨
a -2
,-2a >2,
解得a 0时,-2a >a -2⎩,
为满足条件,得
⎧⎨
a -2解得
⎩
-2a
试卷第12页,总19页
B .
考点:分段函数图象、二次函数的图象和性质.
【思路点睛】先画出分段函数f (x ) 的图象,结合条件①,得g (x ) >0在[0,2]上恒成立,由条件②得∃x 0∈(-∞,-1],g (x 0) 0和a
讨论方程根的位置. 24.函数f (x )=ln(x+1 ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 【答案】B 【解析】
试题分析:因为f (1)=ln 2-11,所以由零点存在定理得函数0
f (x ) 在区间(1,2)上至少有一个零点,选B .
考点:零点存在定理
25.函数f (x
)=x -1-2sin πx 的所有零点之和等于 ( ) A
.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】
试题分析:函数f (x )
=x -1-2sin πx 的零点可以看作是函数g (x ) =2sin πx 与直线
y =x -1的交点的横坐标,由于直线y =x -1过点(1,0),而g (x ) =2sin πx 也关于点
(1,0)对称,
因此函数g (x ) =2sin πx 与直线y =x -1的交点一定关于点(1,0)对称.作出它们的图象,如图,当x ≤-1时,y =x -1≤-2,当x ≥3时,y =x -1≥2,因此
g (x ) =2sin πx 与直线y =x -1在[-1,0]
上有两个交点,在[2,3]上有两个交点,又x =1也是它们的交点,所以所求零点之和为
2⨯2+1=5,故选B .
试卷第13页,总19页
考点:函数的零点.
【名师点晴】本题考查函数的零点问题,解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交点,从而利用函数图象的对称性,把零点两两配对,它们的和为2,再根据图象(函数的周期性与单调性)确定出在给定区间内零点的个数,不要忘记对称点也可能是函数的一个零点,最终可求得结论.
26.已知函数f (x ) 的周期为4,且当x ∈(-1,3]x ∈(-1,1],
x ∈(1,3],
其
中m >0.若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解,则m 的取值范围为 ( )
A 【答案】B
【解析】
试题分析:作出函数y =f (x ) y =f (x ) 在[0,3]上显然有3y =f (x ) 在[3,5]上有两交点,在[7,9]上无交点,B . 考点:方程根的分布与函数的零点.
试卷第14页,总19页
【名师点晴】本题考查方程的解与函数零点之间的关系.解题关键是把方程的解的个数转化为函数图象的交点个数,由函数的周期性作出函数f (x ) 的大致图象,y =f (x ) m
的取值范围. 27.已知函数f (x ) =⎨
⎧|lg(-x ) |,x
3
⎩x -6x +4, x ≥0
,若关于x 的函数y =[f (x )]2-bf (x ) +1有8
) A .(2,8) B.(2,8] 【答案】C 【解析】
试题分析:方程y =[f (x )]2-bf (x ) +1有8个不同实数解,即要求对应于f (x )等于某个常数k ,有2个不同的k
,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到4个x 与之对应,就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f (x )的简图:由图可知,只有满足条件的k 在开区间(0,4]时符合题意.再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案.
∵函数f (x ) =⎧⎪⎨|lg(-x ) |,x
⎪⎩
x 3-6x +4=(x -2)(x 2
+2x -2) ,x ≥0,作出f (x )的简图,如图所示:
由图象可得当f (x )在(0,4]上任意取一个值时,都有四个不同的x 与f (x )的值对应. 再结合题中函数y =[f (x )]2
-bf (x ) +1有8个不同的零点,
可得关于k 的方程 k 2-bk +1=0有两个不同的实数根k 1、k 2,且0
C .
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考点:根的存在性及个数判断
【名师点睛】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,采用数形结合的方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,属于中档题. 判断函数零点个数的方法
(1)解方程法:若对应方程f (x )=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f (a )·f(b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点;(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
28.已知函数,5若存在实数x 1, x 2, x 3, x 4, 满足
x 1
A .(27,45) B.(0,27) C.(0,45) D.(45,72) 【答案】B
【解析】
试题分析:如图是函数f (x ) 的图象,且log 3x 2=-log 3x 1,所以x 1x 2=1试卷第16页,总19页
(x 3-3)(15-x 3) =-(x 3-9) 2+36,由于3
故选B .
考点:函数的图象,函数的零点.
【名师点晴】本题考查函数图象的应用,解题的关键是正确作出函数的图象,理解函数的性质,x 1, x 2, x 3, x 4可以看作是函数y =f (x ) 与直线y =m (m =f (x 1)) 的交点的横坐标,由对数函数的性质知x 1, x 2满足log 3x 2=-log 3x 1,即x 1x 2=1,x 3, x 4关于x =9对称,即x 3+x 4=18
二次函数的取值范围问题,转化与化归思想是我们解决新问题的法宝.
29.已知定义在R 上的函数y =f (x ) 对任意
x 都满足f (x +1) =-f (x ) ,且当0≤x
试题分析:由已知f (x +2) =-f (x +1) =f (x ) ,所以f (x ) 是周期函数且周期为2,当
1≤x
考点:函数的零点.
【名师点晴】函数的零点是方程f (x ) =0的根,它是一个实数,是函数y =f (x ) 的图象与x 轴交点的横坐标,求函数零点的方法一般有:一是直接求根或作出函数的图象,二是利用零点存在定理求零点(判断零点存在),三是转化为求两曲线的交点问题,四
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是利用函数的单调性和极值求零点. 30.已知λ∈R x 的方程
f (g (x )) =λ
有6个解,则λ的取值范围为( )
A 【答案】D
【解析】
试题分析:函数f (x )
在(-∞, -
1]上递减,在[-1,0) 和(0,+∞) 上递增,f (x ) 的图象如图所示,由于方程g (x ) =m 最多只有两解,
因此由题意f (n ) =λ有三解,所以0
满足n 11,n 1=-1-λ,所以g (x ) =x 2-4x +1+4λ=-1-λ有两解,(x -2) 2=-5λ+2>0,所以D . 考点:函数的零点,方程根的分布.
【名师点晴】本题考查方程根的分布,难度很大.它是一个与复合函数有关的问题,解题方法与我们常规方法不一样,常规方法是求出函数f (g (x )) 的表达式,解方程
f (g (x )) =λ或作出函数f (g (x )) 的图象,由数形结合方法得出结论,但本题f (g (x ))
的表达式很复杂,由于含有参数,几乎不能求出正确结果,因此我们从复合函数的角度来考虑,以简化方法.方程f (g (x )) =λ可以这样解,求出方程f (x ) =λ的解为x 0,再解方程g (x ) =x 0即得,这样得到题中解法.
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三、解答题(题型注释) 二、填空题(题型注释)
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第II 卷(非选择题)
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