高三函数专题训练4(含答案)

1. 设函数y =f (x ) 是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当x ∈[-1，1)时，f (x ) =1-x 2；已知函数

⎧⎪lg |x |，x ≠0，

则函数f (x ) 和g (x ) 的图象在区间[-5，10]内公共点的个数为 ．15 g (x ) =⎨

x =0．⎪⎩1，

2. 若不等式(mx －1) ［3m －( x + 1)m －1］≥0对任意m ∈(0，+∞) 恒成立，则实数x 的值为 ▲ ．1 3. 设函数f (x ) ＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x ) 的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x ) 在点A ，B 处的

切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ．[-1,1]

2

x 2

, 则 4. 已知函数f (x ) =2

x +1

⎛1⎫

f (1)+f (2)+K +f (2013)+f (2014)+f ⎪+

⎝2⎭

⎛1⎫⎛1⎫f ⎪+L +f ⎪+32013⎝⎭⎝⎭1⎛1⎫

2013 f =⎪22014⎝⎭

2

⎧⎪ax +2x +1, x ≥0,

5. 已知函数f (x ) =⎨是偶函数，直线y =t 与函数f (x ) 的图像自左 2

⎪⎩-x +bx +c , x

至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若|AB |=|BC |，则实数t 的值为________． 713．

4

6. 已知函数f (x ) =3、-1

x -5

的图像关于直线y =x 对称，则m =

2x +m

⎧2x -a , x ≥0

7. 已知函数f (x ) =⎨，若方程f (x ) +x =0有且仅有两个解，则实数a 的取值范围

⎩f (x +1), x

是 . 14.a

8. 定义区间(c , d )、[c , d )、(c , d ]、[c , d ]的长度均为d -c (d >c ). 已知实数a , b (a >b ). 则满足

11+≥1的x 构成的区间的长度之和为 . x -a x -b

14. 2

⎧b ,(a ≥b ) 4

9. 定义一种新运算：a ⊗b =⎨，已知函数f (x ) =(1+) ⊗log 2x ，

x ⎩a ,(a

若函数g (x ) =f (x ) -k 恰有两个零点，则k 的取值范围为 (1, 2 ) 10. 设函数f (

x )=

，对任意x 1, x 2∈R ，恒有

f (x 1)-f (x 2)

x 1-x 2

小值是 .

答案：1

⎧e x , x

11. 已知函数f (x ) =⎨则f [f ()]

e ⎩ln x , x >0,

答案：

1

e

12. 设函数f (x ) =lg ⎢ax 2+x +(b 2-b +) ⎥(a ≠0) , 若对任意实数b ，函数f (x ) 的定义域为R ，则a 的

2取值范围为____________. 答案： (1,+∞)

13. 对于函数f (x ), g (x ) 和区间D ，如果存在x 0∈D ，使得|f (x 0) -g (x 0) |≤1，则称x 0是函数f (x ) 与

⎡⎣1⎤⎦

g (x ) 在区间D 上的“亲密点”。现给出四对函数：

①f (x ) =x 2, g (x ) =2x -2；

②f (x ) g (x ) =x +2；

③f (x ) =e x , g (x ) =x +1； ④f (x ) =ln x , g (x ) =x 则在区间(0,+∞) 上存在唯一“亲密点”的是 ①④ ．．

14. 己知函数f （x ）= tx，g （x ）=（2- t）x －4x+l．若对于任一实数x 0，函数值f （x 0）与g （x 0）中至少有一个为正数，则实数t 的取值范围是（ ）（－∞,-2） （0，2]

2

x ≤1

x

15.

函数f (x ) =⎨1，则方程f (x ) =e 的实根的个数是4

, x >1⎪x -1⎩

1. 已知函数f (x ) =mx -a ln x -m , g (x ) =（1）求g (x ) 的极值；

（2）设m =1, a

最小值；

（3）设a =2，若对任意给定的x 0∈(0,e]，在区间(0,e]上总存在t 1, t 2(t 1≠t 2) ，使得f (t 1) =f (t 2) =g (x 0)

成立，求m 的取值范围．

试题解析：（1）g '(x ) =

列表如下：

e x

，其中m ，a 均为实数． e x

11

恒成立，求a 的-

g (x 2) g (x 1)

e(1-x )

，令g '(x ) =0，得x = 1． „„„„„„„ 1分 e x

∵g (1) = 1，∴y =g (x ) 的极大值为1，无极小值． „„„„„„„3分

此时f (x ) 在(0,

22

) 上递减，在(,e) 上递增， m m

2. 已知函数f (x ) =x +

m

+2（m 为实常数）． x

（1）若函数y =f (x ) 图像上动点P 到定点Q (0, 2) 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若函数y =f (x ) 在区间[2, +∞) 上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；

（3）设m

⎡1⎤

, 1⎥有解，求k 的取值范围． ⎣2⎦

22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）设P (x , y ) ，则y =x +

m

+2， x

2

m ⎫⎛

|PQ |2=x 2+(y -2) 2=x 2+ x +⎪ „„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

x ⎭⎝

m 2

=2x +2+2m ≥22|m |+2m =2， „„„„„„„„„„„„„„（1分）

x

2

当m >0时，解得m =所以，m =

2-1；当m

2-1或m =-2-1． „„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

（只得到一个解，本小题得3分）

（2）由题意，任取x 1、x 2∈[2, +∞) ，且x 1

⎛⎫x 1x 2-m m m

⎪+2- x ++2>0，„„（2分） =(x -x ) ⋅121 ⎪x 2x 1x 1x 2⎝⎭

因为x 2-x 1>0，x 1x 2>0，所以x 1x 2-m >0，即m x 1≥2，得x 1x 2>4，所以m ≤4．

所以，m 的取值范围是(-∞, 4]． „„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） （3）由f (x ) ≤kx ，得x +因为x ∈⎢令t =

m

+2≤kx ， x

m 2⎡1⎤

, 1⎥，所以k ≥2++1， „„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

x x ⎣2⎦

12

2]， ，则t ∈[1, 2]，所以k ≥mt +2t +1，令g (t ) =mt 2+2t +1，t ∈[1，

x

于是，要使原不等式在x ∈⎢

⎡1⎤

2]）．„„（1分） , 1⎥有解，当且仅当k ≥g (t ) min （t ∈[1，

2⎣⎦

2

11⎫1⎛

因为m 0，

m m ⎝m ⎭

因为t ∈[1, 2]，故当0

213

≤，即m ≤-时，g (t ) min =g (2) =4m +5；„（4分）

3m 2

132

>，即-

2

综上，当m ≤-时，k ∈[4m +5, +∞) ；

3

2

当-

3