高考试题中的焦点四边形的最值问题1

中学数学研究２００８年第７期

例谈高考试题中的“焦点四边形＂的最值问题

浙江省杭州师范大学附属中学（３１００３０）

苏立标

如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过

圆锥曲线的焦点，我们把这样的四边形一ｑ做焦点四边形．圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角形有许多相似的性质，焦点四边形中的最值问题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题中频频亮相，值得关注，这类问题往往把考查圆

ＭＦ与ＦＮ共线，且ＰＦ・ＭＦ＝０．求四边形ＰＭＱＮ的面积的最小值和最大值．

解：由条件知朋Ｎ和ＰＱ是椭圆的两条

弦，且尥’，一ＬＰＱ，所以ＭＮ和ＰＱ中至少有一

个斜率存在，不妨设ＰＱ的斜率为惫，则ＰｌＱ的方程为ｙ＝ｋ＋１，代入椭圆方程得

锥曲线的性质与求最值问题结合起来，形成一

个知识与能力的交汇点，是考查学生综合应用知识能力的良好载体，倍受命题者所推崇，成为一道新的亮点．本文试图通过例析高考试题进行分类归纳其常见的类型，以供高考复习时参考．

一、只有一条对角线过焦点的“焦点四边

形＂

（２＋七２）ｚ２＋２如一１＝ｏ＝》ＩＰＱｌ＝￣／广ｊｌｊ≯Ｉｚｌ

飞Ｉ＝学．

２√２（１＋老）

（１）当愚≠ｏ时，ＭＮ的斜率为一言，易得

ｆＭＮＩ＝———１』二，故四边形的面积为

例ｌ

．

（２００５年全国高考数学试题）Ｐ、Ｑ、

２二

．．ｊ‘．．上‘

２＋壶

Ｍ、Ｎ四点都在椭圆ｚ２＋等＝１上，Ｆ为椭圆

在ｙ轴正半轴上的焦点，已知ＰＦ与ＦＱ共线，

二：丢ＩＰＱｌ．１ＭＮ

二

Ｉ：掣，令“：

５＋２忌２＋丢

■■ｊ■—ｔ—ｂ■｝■｝■｝—ｋ■ｔ●—‘■｝■ｅ－■ｅｊｋ－－■Ｐ—｝啦●ｋ■它■‘■｝■｝■｝坐■｝坐坐妊妇■亡■‘■ｔ■ｔ■■坐●■｝—■

解析：（１）当，ｌ＝１时，Ｓ１＝口ｌ＝２（口ｌ一１），解得ｎ１＝２；当，ｚ≥２时，口。＝Ｓ。一Ｓ。一ｌ＝

是等差比数列；当ｄ＝０时，印数列｛ｎ。｝是常数数列时，数列｛口。｝不是等差比数列．

（３）通项形如“＝口矿＋６（口６≠０）形式的

２（口。一１）一２（口。一ｌ一１），．’．口。＝２口。一１，于是数列｛口。｝是首项为２，公比为２的等比数列，．。．口。

＝２”（佗∈Ｎ’）．

－．‘对任意咒∈Ｎ。。鱼止［１生丛＝

口Ｈ＋ｌ一Ⅱ“

，，ｎ十２一，＇一＋ｌ

数列，如６。＝２・３”＋１，显然此数列｛％｝既不是

等差数列，也不是等比数列，但％±掣＝

………～’…７。毛兰；毛气毛二妥善．兰｝：３（３为常数），．．．数列２・３”＋１＋１—２・３”一ｌ

｛６。ｆ是等差比数列．

乞百可三芎－２２（２为常数）’．．．数列｛％｝为等差

比数列．

点评：本题设计精妙，既考查了数列中％和Ｓ。的关系等数列的基础知识，又考查了学生

理解和学习新知识（等差比数列）的能力．第（３）问答案不唯一，具有一定的开放性．

（２）设等差数列｛口。｝的公差为ｄ，则口。＋２

穹÷掣＝萼＝１（１为常数），所以数列｛口。｝

口Ｈ＋ｌ一口Ｈ

ｄ

、

一口。＋１＝口。＋ｌ一口。＝ｄ．当ｄ≠０时，

一‘。。～‘’

１…‘’‘…

・３７・

　

２００８年第７期ｎ丢滑ｓ・警等＿２（１一点），因为

“＝足２＋丢，所以喾≤ｓ＜２．

（２）当足＝ｏ时，ｓ＝丢ＩＰＱ…．俐Ｉ＝２，

因此答案是：ｓ一＝２，ｓ耐。＝普．

二、两条对角线都过同一个焦点的“焦点四边形”

例２（２００７年安徽省高考数学试题）设Ｆ是抛物线Ｇ：ｚ２＝４ｙ的焦点．．

（１）过点Ｐ（０，一４）作抛物线Ｇ的切线，求切线方程；

（２）设Ａ，Ｂ为抛物线Ｇ上异于原点的两点，且满足ＦＡ・ＦＢ＝０，延长ＡＦ，ＢＦ分别交抛

物线Ｇ于点ｃ，Ｄ，求四边形ＡＢｃＤ‘而积的最

小值．

解：（１）设切点Ｑ（ｚｏ，署）．由ｙ７２考，知

抛物线在Ｑ点处的切线斜率为掣，故所求切线

方程为ｙ一警＝等（ｚ—ｚ。），即ｙ＝等ｚ一雩，因为点Ｐ（ｏ，一４）在切线上．所以一４＝一雩，

ｚ５＝１６，ｚｏ＝±４．所求切线方程为ｙ＝±２ｚ一

４．

（２）设Ａ（ｚ１，３，１），Ｃ（ｚ２，ｙ２）．由题意知，直线Ａｅ的斜率志存在，由对称性，不妨设是＞Ｏ．因直线ＡＣ过焦点Ｆ（０，１），所以直线ＡＣ的

方程为ｙ＝如＋１．点Ａ，Ｃ的坐标满足方程组

ｌｙ亍如＋１，得ｚ２—４垃一４：ｏ，由根与系数的Ｌｚ‘＝４ｖ，

’

关系知ｌ动圯２Ｉ

Ａｃ

Ｉ：汀孺．Ｌｚｌｚ２２一ｑ．

２：ｋ

“ｉ了习ｅ五五＝４（１＋晟２）．

因为Ａｃ上ＢＤ，所以ＢＤ的斜率为一吉，

从而肋的方程为ｙ２一专ｚ＋１・

同理可求得Ｉ

ＢＤ

Ｉ＝４（１＋（一｛）２）＝

　

中学数学研究

垒（！±垒尘

。

忌２

‰＝号ＩＡＣＩ

ＩＢＤ｜＝学＝８（忌２

＋２＋去）≥３２．

当忌＝１时等号成立．所以四边形ＡＢＣＤ面积的最小值为３２．

点评：这是一个非常有趣的焦点四边形，它的两条对角线相互垂直，那么这样的焦点四边形有什么性质呢？我们易得：

性质如果四边形ＡＢＣＤ是抛物线ｙ２＝

交于抛物线的焦点Ｆ，且ＦＡ・ＦＢ＝０，则两条对

角线的中点所在的直线过定点（詈ｐ，ｏ）．

证明：设对角线ＡＣ的斜率为忌，将ＡＣ的

方程ｊ，＝忌（ｚ一等）代入抛物线方程联立，求得

Ａｃ的中点坐标为Ｍ（笔荸户，丢ｐ），把惫换成

一｛可得ＢＤ的中点坐标为Ｎ（丝：》ｐ，

定

Ｚ

‘

一幼），由两点式方程得ＭＮ：ｙ（１一忌２）＝惫（ｚ

一号户），所以两条对角线的中点所在的直线过定点（詈夕，ｏ）．

三、两条对角线分别过两个焦点的“焦点四边形”

例３（２００７年全国高考卷试题）已知椭圆

等＋芳＝ｌ的左、右焦点分别为Ｆｌ，・Ｆ２．过Ｆｌ

的直线交椭圆于Ｂ，Ｄ两点，过Ｆ２的直线交椭

圆于Ａ，Ｃ两点，且ＡＣ上肋，垂足为Ｐ．

（１）设Ｐ点的坐标为（ｚｏ，如），证明：警＋

誓＜１；

（２）求四边形ＡＢＣＤ的面积的最小值．

解：（１）椭圆的半焦距ｆ＝／ｒ乏＝１．由

ＡＣｊ－ＢＤ知点Ｐ在以线段ＦＩＦ２为直径的圆

上，故ｚ５＋ｙ６＝－，所以誓＋誓≤誓＋誓：吉

２如（夕＞０）的焦点四边形，对角线ＡＣ与肋

中学数学研究２００８年第７期

递推数．列中的不等变形．，

浙江省宁海县知恩中学（３１５６００）

贝跃敏

，解决递推数列有关问题，我们经常要通过恒等变形，将递推式转化为熟知的，简单明了的式子，比如等差或等比数列等，从而顺利解决问题．本文通过几个范例来研究递推数列中的非恒等变形，即通过“不等变形”，恰到好处地将递推恒等式化为“不等递推式”，再进行类比，推理去论证所求结论．

例１

＋—Ｌ，（，ｚ＝２，３，４，……）．

ⅡＨ—ｌ

（１）求口２，口３的值；

（２）证明：当咒＝２，３，４，……时，√２咒一１＜口。≤￣／３，ｌ一２．

’分析：将所要证明不等式两边平方得

２，ｌ一１＜口：≤３行一２①

由此得到两个重要信息：须对口。施行平方

巳知数列｛口。｝中，口ｌ＝１，口。＝口。一１

生■Ｐ■ｔ＿坐■｝■｝■｝■｝■｝－坐－●坐■｝■‘■｝■ｔ■｝■Ｐ童生■｝■ｔ■ｅ■｝■丘■ｔ■｝■音■皇■ｅ－■｝生生啦■｝堂｛｝坐

（２）（ｉ）当ＢＤ的斜率足存在且是≠ｏ时，肋

的方程为ｙ＝忌（ｚ＋１），代入椭圆方程等＋羞

＝】，并化简得（３忌２＋２）ｚ２＋６志２ｚ＋３志２—６＝

０．

设Ｂ（ｚｌ，ｙ１），Ｄ（ｚ２，ｙ２），则ｚ１＋ｚ２＝

廊忆。他Ｉ＿．蚓；因为Ａｃ与ＡｃＩ：兰｛；三掣：黜，四边形

Ｂｃ相交于点Ｐ，且Ａｃ的斜率为一吉，所以

ｌ

３×去ｆ２

朋～

ＢＤ

一蟊币，ｚｌｚ２２甭瓦，所以ｌ删Ｉ一篇问ｚｚ＝糍，所以Ｉ肋Ｉ＝

＝１（口＞６＞０）的焦点分别为Ｆｌ（一１，０）、Ｆ２（１，０），右准线ｚ交ｚ轴于点Ａ，且ＡＦｌ＝２

．▲

２

剐之．（１）试求椭圆的方程；（２）过Ｆｌ、Ｆ２分别

作互相垂直的两直线与椭圆分别交于Ｄ、Ｅ、

Ｍ、Ｎ四点（如图所示），试求四边形Ｄ＾伍Ｎ面

积的最大值．

（答案是：四边形ＤＭＥＮ面积的最大值为

４，最小值为裴）

厶Ｊ

ＡＢｃＤ的面积ｓ＝吉ｌ

番靛岛≥犀登蠢

Ｉ・Ｉ

Ａｃ

Ｉ＝

点评：该题与例３真可谓异曲同工、不谋而合．这类问题融最值与圆锥曲线的性质为一体，实现知识之间的重组，既考查了解析几何的基

本思想方法又渗透了学生综合应用知识的能

力，再加上命题者的匠心独运，更使得问题变得有厚重感．

＝粪．当且仅当五２：１时，上式取等号．

（ｉｉ）当肋的斜率忌＝０或斜率不存在时，

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例谈高考试题中的"焦点四边形"的最值问题

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

苏立标

浙江省杭州师范大学附属中学,310030中学数学研究

STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2008，""(7)0次

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