房价数模论文

第十一届大学生数学建模竞赛

（2017.05.17-2015.05.22）

主办： 东南大学教务处

承办： 东南大学数学学院 东南大学数学建模竞赛组委会

论文题目： 基于房产属性的房价研究模型 参赛号： 2017025

参赛队员信息：

一、问题重述

B 房价涨跌的合理性分析

在过去的一年，国内部分城市如深圳、合肥、厦门、南京、苏州

等地房价涨幅都较大，原因是多方面，有其内因，也有外因，有合理

的，也有不合理的。它涉及到当地的经济、社会、人口、地理位势、环境、未来发展等多种因素，还包括外部干扰及国家及当地的政策等因素。

问题一：请收集这些城市的相关信息，对其房价上涨的合理性进

行分析，并给出一些参考性建议。

问题二，基于你们的分析，还有那些城市有可能会出现类似情况。

问题三：目前的一些城市采取了各种限购措施，请你们组定量分

析这些措施对防止房价上涨过快作用如何。

二、合理假设

1．房地产产品具有一定的生产周期

2．房价的计算只考虑生产成本带来的消费属性和作为投资品的投资属性

3．理想居民合理负担房价是仅基于居民收入得到的房价，不考虑供求、成本、投资等其他因素

4．成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税费；且一年时间内的地价、建安造价和税费率都基本不变

5．每个城市的容积率有所不同，但城市容积率基本不变

6. 城市的经济发展水平可以由城市GDP 和人均GDP 来近似代替

7. 消费者的支付能力有通过居民人均可支配收入来衡量

8. 商品房的供给水平可以由年房屋竣工面积来衡量

9. 计算房屋的投资属性的投资价值用租金来进行计算，而不采用售出

法，因为存在泡沫

10. 可以将政策的力度量化为限制因子p

11. 房地产商是追求利润最大化的，同时他们能做出最佳决策

三、符号说明

详见各题目中的符号说明

四、问题分析

房地产是一种商品。什么是商品？商品是用来交换的劳动产品。商品分为自然属性和社会属性，商品的自然属性就是它的物质属性, 商品的社会属性也就是它的价值属性。房地产商品的价值属性表现为：一、为人们所需要, 具有宜居性这样的独特的使用价值；二、是社会综合的劳动产品, 它凝结着巨大的人类一般劳动, 具有较高的价值；三、其价值既是由社会平均劳动时间所决定，又由于附有土地又具稀缺性，因此其价值既受价值规律制约，又受土地价格规律制约这样双重的价格规律制约。房地产作为一种特殊的商品，其特殊性在于：一、占用土地资源与空间因而不具流动性；二、消费周期比较长容易带来似乎永不变质的误解；三、整体价值高，属于资产性商品。

针对第一题

房价的本身具有消费品定价的特点，可以用成本+利润的方法来

估计房价中消费品属性所带来的价值；同时房价具有投资产品的定价属性，可以参考回报率的投资价值计算方法来估计房价中投资属性带

来的价值；另外，房产作为一个消费时间长、价格高的“大件”，可以用居民的收入来反向估算居民能够合理负担的房价；最后，通过供需因素的选择，我们可以做回归方程，进行房价的拟合。

对第二题

第一题中已经获得了房价对于各个因素的变化关系，通过我们选

取的样本城市的因素特征，寻找全国属性类似的城市，这样的城市很可能会发生与样本城市同样的房价状况。

对第三题

这几所城市中我们选择政策调控较多的南京市和合肥市作为样本，因为本身政府政策调控难以量化，所以从两个方面进行阐述。第一方面，先做出两座城市的房价随时间的变化图，然后寻找政府在此期间的相应政策并列出政策发布后房价的定量变化情况。第二方面，我们基于开发商的追求利益的决策，将政府政策定量为限制因子P 以代表政策的调节力度，然后建立房价与限制因子p 之间的数学模型，针对求出的模型，进行政策调节对于房价上涨过快的作用。

五、模型的建立以及求解

（一）问题一的解决：

从开发商利润、合理负担房价、合理投资价值进行合理性验证，并通过供需模型进行阐述。

1. 房地产的成本以及开发商利润的分析（基于房地产消费品属性和成本的房价分析）

作为一种消费品，房价P 主要由四部分构成：土地成本LC ，建

安成本ASC ，其他成本（包括各种税费、管理费）OC ，开发商的预期利润EPE 。

即P=LC+ASC+OC+EPE

通过资料查询，我们可以得知，在一般的地产开发过程中其他成

本OC 约为土地成本LC 和建安成本ASC 之和的20%。

通过对公开统计资料的查询，我们对深圳、合肥、厦门、南京、

苏州的这几项数据得到表格如下：

城市(2014年) 房价 土地价格 建安工程 其他成本 开发商利润 利润额度 深圳

合肥

厦门

南京

苏州

城市(2015年) 房价 土地价格 建安工程 其他成本 开发商利润 利润额度 深圳

合肥

厦门

南京

苏州 33942 8316 2994.24 2262.048 20369.712 60.01% 20.66% 47.93% 17.75% 24723 11088 2663.94 2750.388 8220.672 678.612 3085.328 33.25% 43.11% 27.80% 42.61% 7157 1982.06 1411 15378 7775 11198 3785.3 12319 3935.75 8 1476.82 1850.364 4275.816 1570.5 1071.16 4771.04 1926.4431172.4385284.36744 42.90% 76 7695 3688.42 1399.5 1017.584 1589.496 16122 5277 11489 6312 14106 7596 1718.53 1399.106 7727.364 1562.83 1574.966 2039.204 2228.1831964.8362316.9798 16.43%

5

7

首先，由图上表格可以看到，样本城市除南京和苏州2015年时的房地产利润额度在17.75%低于但接近20%以外，其他所有城市所有年份的开发商的利润额度均超过20%，甚至基本上在30%-40%之间。然而通过查阅资料我们得知，国际上房地产行业的利润在5%-10%，显然，我国房地产行业利润远远超过了国际平均水平。所以说，我国的地产商实际上拿走了过多的利润。

其次，我们会发现，土地价格往往和开发商利润轮流成为房价中的价格最大项，那么为什么会这样呢？土地成本过高的背后实际上是地方政府的推波助澜。

实体经济下滑，地方政府土地财政依赖更重，作为经济支柱的房地产业就显得尤为重要。地方政府过度依赖土地出让金源于收支失衡，地方政府担负了全国公共支出的85%，而返还财税收入只占一半，收入严重不足，只能够通过土地出让金弥补。地方政府的利益当然会被房价上涨捆绑。

由以上分析这完全可以得出出样本城市的房价存在着不合理性，房地产存在泡沫。

2. 关于我国居民的合理负担房价的分析

（1）合理房价就是在城市地区或一定范围内符合居民收入水平和

经济可持续发展的对社会经济发展和居民未来生活质量能够做到提升保障的房屋地产公开销售价格。

通过居民合理负担房价的计算，来验证中国房价的合理性。 （2）提到合理房价，房价与居民的收入相适应。让人联想起一个经常被用来佐证我国房价高的专业术语--" 房价收入比" 。所谓房价收入比，是指一个地方或城市每户居民的家庭购房总价与家庭年收入的比值，该指标用于描述一个地区居民购房的支付能力。目前有一种比较流行的说法认为，房价收入比在3-6倍之间为合理区间，如果考虑住房贷款因素，住房消费占居民收入的比重应低于30%。然而很明显，按照这一标准我国多数城市房价都属于过高。如图：

城市 年份 房价收入比 年份 房价收入比

深圳 2014 27.169459 2015 34.220862

合肥 2014 13.26919 2015 13.015548

厦门 2014 18.746038 2015 18.272926

南京 2014 11.837765 2015 11.213886

苏州 2014 13.26563 2015 10.95485

可以发现，样本城市的房价收入比都在10以上，其中深圳的房价收入比甚至高达30，而世界银行认定的较为合理的房价收入比在3到6，样本城市的房价收入比远远超过了合理房价收入比。 我们可以认为房价并不合理，存在房地产泡沫。

城市 人均可

支配收入

2014 人均可支配收入递增 2015 合理负 担房价 2014 2015 商品房房价 2014 实际房价与 理想房价比 2014 2015 深圳

合肥

厦门

南京 40948 44633. 3 24271. 26604. 64 72 36915 39703 42568 46104 2015比2014年递增 1.089999512 1.096123707 1.075524854 1.083067

093 2015 2097.3 2286.1 1243.2 1362.7 1890.7 2033.5 2180.3 2361.4 24723 7157 15378 11198 33942 7695 16122 11489 11.788013 14.8471195 5.7569176 5.64687752 8.1334955 7.92820261 5.1359905 4.86533412

通过数据查找和计算得出了上表，我们可以清楚的发现实际上符合居民生活的合理负担房价是远远低于城市实际房价的，虽然因为中国特殊的国情，致使合理负担房价无法真正准确地显示出实际的合理房价，需要加入修正因子进行修正，基于成本和投资修正因子，我们得出按城市的不同，大概合理负担房价的5倍、3.5倍、4倍、3倍即为理想房价。但我们可以发现，实际房价与理想房价比超过了修正因子的修正范围，所以很明显，房价并不合理。

3. 房价的投资属性分析

目前国内投资渠道狭窄，其中股票、基金、外汇、黄金白银，甚至艺术品，都具有高风险和不可控性，一般的老百姓轻易不敢涉足。但高通胀所带来的人民币大幅贬值，使国人的安全意识显得岌岌可危，中国惶恐不安该如何得到释放？在经济形势依旧变幻莫测的今

天，要想使保命钱真的能保命，只能寻找一个最安全的投资产品，而此时房产作为一个选项出现了。

任何商品的价格都与货币相关，都可以说是一种金融现象，但房地产价格尤甚！房地产不是简单的一般消费品，也不是简单的耐用消费品，其原因有二：1、它与资产相关，也就是说它可以产生持续的租值；2、它与金融杠杆相关，购买房地产需要借助于信贷。

所以说，对房价进行分析时，我们有必要且应该考虑其投资属性对于房价的影响。

针对租赁市场我们可以得到如下情况：

A. 租赁市场有大量卖家和买家，而且一般双方以个人、家庭、中介所的形式存在，力量很分散，基本上没有垄断。

B. 租赁市场的供需弹性较高。因为消费者针对租房非常理性，而且房屋租赁是有可分性的，消费者可以根据当时的经济状况、实际需要和市场情况进行合理的抉择，人们经济状况较差时，往往会进行多人合租或者去租赁别的房屋。

C. 租赁是短期行为，租赁市场具有较大的流动性。

D. 租赁门槛较低，违约成本小，双方完全可以自由进退出。 E. 租赁市场的信息非常对称。

F. 政府行为对租赁市场的影响比较小。

总体而言，租赁市场基本上是一个完全竞争市场，其资金回报收益具有现实性、可靠性和持续性的特点。

为对房价的合理性进行检验，我们可以从以下几个方面检验：

（1）对投资回报率ROI 的计算，这里采用租金回报率分析法。 ROI——投资回报率 x——平均房产价格 M——平均投资楼面面积 Rent——平均房屋月租金

Tc——月折耗费用（包括物业费、折旧费等）

12（Re nt -Tc ）

计算公式为： ROI =

M ⋅x

通过各地方统计局的数据，通过计算，得到各城市的ROI 报表： ROI 深圳 合肥 厦门 南京 苏州

根据上表我们可以发现，各样本城市的资金回报率ROI 普遍低于3.5%。而一般来说对于商住两用类物业，一般认为的投资回报率在5%-7%，而超高回报率（认为的比较高收益的投资回报率）15%以上。如果按照正常的投资回报率来计算，实际上各样本城市的房价是虚高的，需要降价40%-50%。

2011

2012

2013

2014

2015

2.1420% 2.5550% 2.6754% 3.2911% 3.2089% 3.2976% 3.3587% 3.6144% 2.1658% 2.6240%

2.1647% 2.4405% 1.9342% 3.6428% 3.2248% 3.0056% 2.9237% 2.7059% 2.5193% 3.3510% 3.3510% 3.2786% 2.3311% 2.4041% 2.3106%

（3）简易房产估值计算：

查阅相关金融投资资料得知，一般国际投资公司采用国际简易评估法来评估一个物业投资资产。

REX ——物业总投资回报率估算值 Rent ——平均租金 X ——房屋购买价

基本公式为：如果该物业的年收益×15年=房产购买价，则认为该物业物有所值，即

REX

15Re nt

X

这是国际上专业的理财公司评估一处物业的投资价值的简单方法。 物业总投

2011

资回报率 深圳 合肥 厦门 南京 苏州

查阅金融投资学的相关资料我们得知，一般认为，若REX>1则说明该项投资物超所值，而REX

36.3454% 42.9192% 36.1593% 40.2475% 31.6652% 44.8738% 54.2406% 59.4175% 52.5639% 48.9825% 53.8176% 54.3498% 48.2598% 44.4908% 41.5110% 55.2138% 58.6680% 54.1801% 54.2829% 53.0960% 36.1834% 43.3801% 38.7566% 39.7143% 38.3272%

2012

2013

2014

2015

表中明显发现，所有城市的REX 都低于60%，2015年深圳的物业总投资估算值甚至低至31.6652%，按照REX=0.8的可接受投资收益计算，厦门房价溢价达50%，其他城市房价普遍溢价30%-40%。明显房价存在不合理性，我们认为房价虚高，存在着房地产泡沫。 4. 房价自身属性的一些简单分析 （1）样本城市的房价变化图

从变化趋势可以看出，近几年（从2012年开始）房价的增速过快。 是前几年房价涨速的数倍，从中发觉增速的不合理性。 （2）居民消费价格指数CPI 与房价变化指数比较图

居民消费价格指数可以代表消费品的价格增速，通过与房价涨幅比较，对房价涨幅进行分析，可以粗略分析房价是否合理，以下是五座城市的房价变化指数与CPI 随时间变化的折线图：

我们从各个城市的房价变化指数和居民消费变化指数的比较中可以发现，居民消费指数一直维持2%-5%，而房价变化指数虽然有较大的变化，但是大多维持在10%以上，大概是居民消费变化指数的5-10倍，由此观之，房价的涨幅过大过快，房价虚高，存在不合理之处。 5. 基于供需关系房价的模型 5.1.引言

从以上的分析我们可以看出，样本城市的房价的确存在不合理之处，房地产行业存在着泡沫，为了更好地分析影响房价上涨的因素，以便剖析预测房价，我们针对房产市场的供需关系，对房价进行分析，

供求关系(supply-demand relationship) 指在商品经济条件下，商品供给和需求之间的相互联系、相互制约的关系，它是生产和消费之间的关系在市场上的反映。通过找到影响供给和需求的因子，进而针对房地产的供求关系进行分析，得出房价的模型。 5.2 供需因素的分析和元素选取 A. 需求因素

（1）、房地产需求的涵义

房地产需求是指房地产消费者（包括生产经营性消费主体和个人消费者），在特定的时期内、一定的价格水平上，愿意购买而且能够购买的房地产商品量。 （2）、房地产需求的特点 a 房地产需求的整体性 b 房地产需求的区域性 c 房地产需求的层次性 （3）、房地产需求的类型 a 生产性需求

指物质生产部门和服务部门为满足生产经营需要而形成的对房地产商品的需求，其需求的主体是各类企事业单位和个体工商业者。 b 消费性需求

由人们的居住需要而形成的房地产需求，主要是住宅房地产需求，其需求的主体是居民家庭。 c 投资性需求

指人们购置房地产不是为了直接生产和消费，而是作为一种价值形式储存，在合适的时候再出售或出租，以达到保值增值的目的。 （4）、影响房地产需求的主要因素 a 、国民经济发展水平 b 、居民收入水平和消费结构 c 、房地产价格 d 、城市化水平 e 、国家有关经济政策 f 、消费者对未来的预期 （5）、因素选取

用城市GDP 总量来代表国民经济发展水平。 用职工平均收入代表居民收入水平和消费结构 B. 供给因素

（1）、房地产供给的涵义

房地产供给是指生产者在某一特定时期内，在每一价格水平上愿意而且能够租售的房地产商品量。在生产者的供给中既包括了新生产的房地产商品（俗称增量房），也包括过去生产的存货（俗称存量房）。 房地产供给要具备两个条件：

出售或出租的愿望，这主要取决于价格为主的交易条件。

供给能力，这主要取决于房地产开发商的经济实力和经营管理水平。 （2）、房地产供给的特点

a 城市土地供应的刚性和一级市场的垄断性

b 房地产供给的层次性 c 房地产供给的滞后性

房地产商品的生产周期长，一般要一二年，甚至数年。较长的生产周期决定了房地产供给的滞后性，这种滞后性又导致了房地产供给的风险性。

d 房地产供给的时期性

（3）、决定房地产供给的主要因素分析 a 、房地产市场价格

b 、土地价格和城市土地的数量 c 、资金供应量和利率 d 、税收政策

e 、建筑材料供应能力和建筑能力 f 、房地产开发商对未来的预期 （4）、因素选取

选取年竣工面积代表土地价格和土地数量，近似可代表供给。 5.3针对选取的供需因子的房价模型

综合A 、B ，我们考虑城市国民生产总值GDP 、人均可支配收入awage （average wage ）、年竣工面积cra （completed residential areas ）来对房价进行模型建立。

房价与城市GDP 总量，房价与人均可支配收入awage ，房价与年竣工面积cra 的散点图如下：

图（1）城市GDP 与房价关系

图（2）人均可支配收入avwage 与房价关系

图（3）房屋竣工面积cra 与房价关系

可以发现城市GDP 总量以及居民人均可支配收入avwage 和房价都有很强的线性关系。

对于这此三种因素，我们对其与房价之间进行三元函数的拟合。 假设其与房价关系均为线性，公式为：

P =o +a 1⋅GDP +a 2⋅awage +a 3⋅cra

o ——一般常数项

GDP ——城市的国民生产总值 awage ——居民可支配收入 cra ——房屋竣工面积

通过拟合得到相应的回归方程：

深圳：x=16778+2.3*GDP+0.0032*awage-3.1*cra; 厦门：x=6603+4.1*GDP+0.00031*awage-4.5*cra; 南京：x=11291+3*GDP+0.00093*awage-1,9*cra; 苏州：x=4402+1.8*GDP+0.0022*awage-2.4*cra.

可以得到，GDP 的增长和人均可支配收入的增长会使房价升高，而房屋竣工面积的增加会使房价降低。

通过得到的方程计算的来的理论房价与实际房价的对比图如下，我们可以看出其吻合情况较好。

6. 综合回答以及建议

从前4的分析中，我们可以看出，房价存在不合理性，其增速也存在不合理性，而且房价的上涨长远来看是不可避免的。

然而，我们需要对房价的涨速进行很大的限制。主要可通过以下几点。

（1）针对房价的成本模型P=LC+ASC+OC+EPE，我们需要降低建房陈本，并大幅度压低开发商的利润EPE ，使其达到8%-10%的合理范围，

并对土地转让政策进行修正，避免各式“地王”的出现，并运用行政、金融和法律手段，禁止地方政府与开发商联手哄抬地价、房价，对捂盘惜售、置地增值的行为进行强力的打击，从而降低房价。

（2）从房产的供需模型分析P =o +a 1⋅GDP +a 2⋅awage -a 3⋅cra ，（这里a 都是正数）我们要加大供给。其一，要加大保障性住房建设力度，加快开发商的开发进度，以满足迫切需要消费品住房人群的需要；其二，要通过税收来提高持有多套房屋的成本，使部分投资性房屋重回市场，进而增加商品房供给，进而降低房价。

（3）从其他需求因素分析，我们需要降低需求。第一，金融上，利用贷款差别化利率、加息、调高首付比率等金融杠杆调节手段，降低投资者的风险承受度，降低其买房能力，降低投资性买房需求。第二， 直接通过部分行政和法律手段，对某些囤积商品房的投机行为进行严厉打击，从而减少需求，降低房价。

（二）问题二：通过城市属性比较来寻找可能出现类似情况的城市 基于问题一的模型，根据城市特征

城市

杭州

郑州

福州

武汉

佛山

宁波 GDP/亿元 竣工面积/万平方米 城镇人均年可支配收入/元 房价(元/平方米) 18367 9362 14083 9721 7844 12243 10050.21 7311.52 5618.08 10905.6 8003.9186 363.4106 8003.61 973.7575 1665.23 48316 1076.66 33214 1064.05 34982 804.58 36435.96 39756.9 47852

无锡

珠海 8518.26 1264.94 45129 38322 7526 14221 2025.4111 196.3921

（三）问题三：通过政府政策对需求的影响来进行阐述

可以知道，政府应对房价过高的一般政策是针对两个方面，一个是加大供给，例如增加保障性住房的建设和进行棚户区改造，以减少中低收入人群对于住房的刚性需求。二是减少需求，主要是抑制投资和投机性住房需求。首先是采取经济和法律手段，以及必要的行政手段，主要是用差别化贷款利率、税率以及土地供应政策；其次是直接采取行政限制手段，利用行政政策比如限购等来直接限制购房行为。 而近些年房产市场的异常火爆，居民对购置房产尤其是进行投资性房产购置的热情很高，进而导致房源不足，部分开发商趁机哄抬房价，而房价的进一步上升又导致了居民投机心理的进一步激化，真正需要买房的部分中低收入人群被拒之门外，房地产行业变成了一场资本的狂欢，产生了房地产泡沫。这种房地产市场的过热状态引起了国家的警惕和重视，对此中央和各级地方政府都制定了一系列的政策来对房地产市场进行干预。

1. 相关政策对于房价的直接影响情况

我们通过制作样本城市的房价的月度变化图（以南京和合肥为例）并与相关时间的政府调控政策作比较，来进行政策对房价变化的分析。

（1）南京房价

从上表可知，南京房价呈波动增长的趋势，其中有三次较大的下跌，而从2015年房价缓慢增长复苏，2016年开始南京的房价增长速率突然加快，而后下跌一次后反弹，针对这些情况，我们找到相对应时间的政府出台的政策。

对于三次下跌，对应的时间点的政策：

2014.2.24政府关于加强我市住房保障和供应体系建设的意见 宁政发〔2014〕48号 半年时间中平均房价大约下降3982.23元

2015.4.29. 市政府关于印发南京市保障性住房共有产权管理办法（试行）的通知 宁政规字〔2015〕10号

一季度平均房价下降约2884.17元

2016年9月25日开始，退出一系列限购政策。南京市2016以来的第六次房地产调控政策正式“落地”——在9月25日重启限购政策的基础上，南京对于限购和限贷两大政策再次“加码”，离婚后的单身人士只能购买一套住房，二套房的首付比例高至8成，“升级”后的南京楼市调控政策被称为史上最严。

一个月内平均房价下跌约5106.57元

对2015年开始的房价上涨潮流：

2015年3月30日，中国人民银行[微博]、住建部、银监会三部委联合发布《关于个人住房贷款政策有关问题的通知》，将二套房首付比例下限下调至四成，公积金贷款购买首套房首付最低降至二成。同日，财政部和国税总局也发布《关于调整个人住房转让营业税政策的通知》，将普通住房营业税免征期由五年改为二年。以此为分界点，各个城市纷纷为房地产行业松绑，其中南京大约在2016年进行相应松绑措施。

2016.4.18 市政府关于推进供给侧结构性改革促进房地产市场平稳健康发展的实施意见 宁政发〔2016〕75号

从2015年开始，房价在一年半内上涨约9768.64元

（2）合肥房价

总体来说，合肥市房价也是波动上升的，在2014年6月开始有一次房价的平稳下降，2016年的7月和10月分别发生了两次较大房价下跌；与南京市相同，合肥房价从2015年开始复苏，并在2015年11月份开始，房价上涨速度明显加快。

针对三次下跌情况：

2014.4.27合肥市人民政府办公厅关于进一步加强我市房地产项目管理工作的通知 合政办〔2014〕12号

一个季度内平均房价下降约1503.62元

2016.6.22 合肥市人民政府办公厅关于进一步做好我市房地产市场调控工作的通知 合政办秘〔2016〕77号

两个月内平均房价下降约1224.22元

2016.10.2 合肥市人民政府办公厅转发市房地产管理局市国土资源局市规划局市物价局市工商局市金融办市政府新闻办关于进一步促进我市房地产市场平稳健康发展的若干意见的通知

合政办〔2016〕43号

一个月内平均房价下降约1373.36元

针对上涨情况：

2015年3月30日，中国人民银行[微博]、住建部、银监会三部委联合发布《关于个人住房贷款政策有关问题的通知》，将二套房首付比例下限下调至四成，公积金贷款购买首套房首付最低降至二成。同日，财政部和国税总局也发布《关于调整个人住房转让营业税政策的通知》，将普通住房营业税免征期由五年改为二年。以此为分界点，各个城市纷纷为房地产行业松绑，其中合肥大约在2015年底进行相应松绑措施。

两年内房价约上涨5016.05元

2. 对相关政策进行一定程度量化的数学模型

1）模型假设：

（1）假设房地产商是一个理性的正常的房地产商，他会尽量的追求利润的最大化并且做出最优选择，并且在此过程中完全是一个单纯的商品出售问题，不涉及囤积居奇和哄抬房价的行为。

（2）假设单位面积的成本为s ，房屋售价为x ，忽略其他费用，假设需求量r 是随机变量，其概率密度为p(r)。

（3）假设政府的限制因子为p ，潜在购买力是有关于p 的函数记作k （p ），实际供应量为y 。

2）模型建立：

如果是一个追求利润最大化的开发商，那么他一定会选择最优的决策方案，首先我们计算平均销售量E(x).（此x 只代表未知量，与房价x 无关）

E (x ) =⎰rp (r ) dr +⎰y p (r ) dr . （式1） 00y ∞

（第二项表示当需求量大于等于供应量的时候，取需求量等于供应量） 利润函数为

R (y ) =

因为xE (x ) -sy . （式2） ⎰+∞

0p(r)dr=1，所以，可知

y R (y ) =(x -s ) y -x ⎰(y -r ) p (r ) dr . （式3） 0

（第一项为已售房毛利，第二项为未售出房亏损）

所以当开发商要获取最大利润是，只需对式(3)求导另其为0，就能够获得房地产商决策时选择的实际供房量y1，即

y d R (y ) =(x -s ) -x ⎰p (r ) dr =0. （式4） 0dy

所以y1满足条件： ⎰y 1

0p (r ) =x -s . （式5） x

通过查阅资料，我们可以假设需求量r 服从U[0,s(p)],即 p (r ) =1

k (p ) (0

将式(6)带入式(5)得

x -s y 1=k (p ) . （式7） x

经过整理，我们可以得到房价的公式，如下：

s ⋅k (p ) x =y 1-k (p ) . （式8）

此即房价x 的函数关于政府政策调控因素产生的限制因子p 的函数 整理得：

s x =y 1 . （式9） -1k (p )

明显房价x 是潜在购买力k(p)的增函数，潜在购买力k(p)越小，相应的房价x 也会减小。而潜在购买力k(p)是政府政策调控因素产生的限制因子p 的减函数，p 越大，代表政府的调控力度越大，此时潜在购买力k(p)就会越小。

基于题号1. 我们可以得到相应时间的政策对于房价的影响，带入相关数据，我们可以发现k （p ）在南京市2016年9月份政策出台后值最小，p 因子最大，而实际上其政策也被称作最严限购令，力度很大；在合肥市2014年四月份政策出台时的至最大，p 因子相对最小，实际上该政策只是一次房地产结构调整，政策力度较小（只考虑政策出台时，并只考虑下跌时）。综合来说，该模型符合房价变化和政策的相关力度的关系。

六、模型优化

第一点，基于房屋的消费品属性，我们建立了基于成本的房价模型，然而数据来源复杂，而且房地产的特征性对成本核算的影响很大，所以平均统计数据并不能很好地反映房价模型，应该采用加权处理的方式进行考量。

第二点，实际上基于居民人均可支配收入的模型也应进行分类别的加权处理建模，还有首付比率等影响因素我们没有考虑。

第三点，虽然我们基于房地产的供需因素建立起了表示房地产价格的多元线形回归模型，而且由此计算出来的结果从整体来看，大体趋势与实际还是比较符合的。但该模型仍然存在着很多问题。影响房地产价格的因素有好多，而在建立模型时我们忽略掉了很多其它有重

要影响的供需因素，例如银行利率、税收费率、可开发土地总量，城市经济水平可能用人均GDP 衡量更为妥当，同样的，城市规模、房屋销售情况等也有很大的影响。而且，我们没有考虑到市场投资因素对需求因素的巨大影响。还有，政府政策因为难以量化所以我们并没有出现在这个模型中。

第四点，针对问题（三）的政府政策影响，我们虽然对政府政策进行了变量化，但是变量p 的值无法确定，只能用强弱的笼统称谓。可以考虑运用PSR （状态-压力-响应）模型进行分析计算。

七、参考文献

略