教案棱柱与棱锥
【教学过程】 *揭示课题
9.5.1 棱柱与棱锥 *情境导入 【知识回顾】
在九年制义务教育阶段,我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体.
(1) (2) (3) (4)
图9−55
象直棱柱(图9−55(1))那样,由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的交点叫做多面体的顶点,不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.
像圆柱(图9−55(2))、圆锥(图9−55(3))、球(图9−55(4))那样的封闭几何体叫做旋转体. 【观察】
图9−56
观察图9−56所示的多面体,可以发现它们具如下特征:
(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形; (2)每相邻两个四边形的公共边互相平行.
*引入新知
有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,
互相平行
的两个面,叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面.相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.两个底面间的距离,叫做棱柱的高.
图9−56所示的四个多面体都是棱柱.
表示棱柱时,通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母,中间用一条短横线隔开,例如,图9−56(2)所示的棱柱,可以记作棱柱ABCDA1B1C1D1,或简记作棱柱AC1.
经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱,如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱.
侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9−56(2);侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,如图9−56(1);底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,如图9−56(3)和(4),分别为正四棱柱和正五棱柱.
正棱柱有下列性质:
(1)侧棱垂直于底面,各侧棱长都相等,并且等于正棱柱的高;
(2)两个底面中心的连线是正棱柱的高. [想一想]
如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形,它是不是正四棱柱?如果四棱柱的底面是正方形,它是不是正四棱柱?
正棱柱所有侧面的面积之和,叫做正棱柱的侧面积.正棱柱的侧面积与两个底面面积之和,叫做正棱柱的全面积.
图9−57
观察正棱柱的表面展开图(图9−57),可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为
S正棱柱侧ch (9.1)
S正棱柱全ch2S底
(9.2)
其中,c表示正棱柱底面的周长,h表示正棱柱的高,S底表示正棱柱底面的面积.
可以得到正棱柱的体积计算公式为(公式推导略)
V正棱柱S底h (9.3)
其中, S底表示正棱柱的底面的面积,h是正棱柱的高.
*例题讲解
例1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm,高为5 cm,求这个正三棱柱的侧面积和体积.
*练习强化
1.已知正方体的棱长是2cm,则它的表面积是,体积是
2.已知正三棱柱的底面积边长为6cm,高为9cm,求它的侧面积、表面积和体积。
*情境导入
观察图9−60所示的多面体,可以发现它们具如下特征:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点.
(3)
图9−60
【实验】
准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器,将正三棱锥容器中装满沙子,然后
倒入正三棱柱形状的容器中,发现:连续倒三次正好将正三棱柱容器装满.
*引入新知
具备上述特征的多面体叫做棱锥.多边形叫做棱锥的底面(简称底),
有公共顶点的三角形
面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、…….通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥.例如,图9−60(2)中的棱锥记作:棱锥SABCD.
底面是正多边形,其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱锥叫做正棱锥.图9−60中(1)、(2)分别表示正三棱锥、正四棱锥.
正棱锥有下列性质: (1)各侧棱的长相等;
(2)各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高都叫做正棱锥的斜高; (3)顶点到底面中心的连线垂直与底面,是正棱锥的高;
(4)正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形; (5)正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形. 【想一想】
四棱锥P-ABCD中,如果棱锥的侧棱长相等,那么它是不是正四棱锥?如果棱锥的底面是正方形,那么它是不是正四棱锥?
图9−61
观察正棱锥的表面展开图(图9−61),可以得到正棱锥的侧面积、全面积(表面积)计算公式分别为 S正棱锥侧
1
ch (9.4) 2
S正棱锥全
1
chS底. (9.5) 2
其中,c表示正棱锥底面的周长,h是正棱锥的斜高,S底表示正棱锥的底面的面积,h是正棱锥的高.
由实验表明,对于同底等高的棱锥与棱柱,棱锥的体积是棱柱体积的三分之一.即
V正棱锥
1
S底h. (9.6) 3
其中, S底表示正棱锥的底面的面积,h是正棱锥的高. *例题讲解
例1 如图9−62,正三棱锥P-ABC中,点O是底面中心,PO=12 cm,斜高PD=13 cm.求它的侧面积、体积(面积精确到0.1cm2,体积精确到1cm3).
*练习强化
1.设计一个正四棱锥形的冷水塔顶,高是0.85cm,底面边长是1.5cm,制造这种塔顶至少需要多少平方米铁板?冷水塔顶的容积是多少立方米? *归纳小结
正棱柱的侧面积、全面积、体积公式,正棱锥的侧面积、全面积、体积公式?
结论:
S正棱柱侧ch; S正棱柱全ch2S底; V正棱柱S底h;
S正棱锥侧
V正棱锥
1
S底h. 3
11
ch; S正棱锥全chS底; 22