高三数学重难点题目精选(一) 绝对好题

高三重难点题目精选

1、f (x ) =

cos x cos(30-x )

, 则f (1 )+f (2 )+⋅⋅⋅+f (58 )+f (59

)=p ⎫p 2⎪+y =2⎭4

2

2

2

2、已知抛物线C 1:y 2=2px 和圆C 2:⎛ x -

⎝

, 其中p >0, 直线l 经过C 1

p

2

的焦点, 依次交C 1, C 2于A , B , C , D 四点, 则AB ⋅CD 的值为____

3、已知：P 为椭圆

x

2

4

____.

25

+

y

2

9

=1上的任意一点，过椭圆的右顶点A 和上顶点B 分

别作与x 轴和y 轴的平行线交于C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，矩形PMCN 是S 1，三角形PDE 的面积是S 2，则S 1:S 2 （ A ）

A ．1 B．2

1

C ．2 D．与点P 的坐标有关

4、

已知点Q 0及抛物线y =y 0+PQ 的最小值为

()

x

2

4

上一动点P (x 0, y 0)，则

5、已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0) ，点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x 及圆(x -1) 2+y 2=4的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围为 ． 6、如图，点P (x , y ) (x >0, y >0) 是双曲线

x a

22

-

y b

22

=1(a >0, b >0) 上的动点，

F 1, F 2是双曲线的焦点，M 是∠F 1P F 2的平分线上一点，且F 2M ⋅MP =0. 某同学

用以下方法研究OM ：延长F 2M 交PF 1于点N ，可知∆PN F 2为等腰三角形，且

M 为F 2N 的中点，得O M =

12

NF 1= =a . 类似地：点P (x , y ) (x >0, y >0) 是椭圆

x a

22

+

y b

22

=1(a >b >0) 上的动点，F 1, F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1P F 2的平分线上一点，且

F 2M ⋅M P =0，则OM 的取值范围是 .

7、已知以

T =4为周

y P M

N

F 1

O

F 2

x

期的函数

f (x )

在

⎧m (1-|x |),x ∈(-1,1]

f (x ) =, 其中m >0, 若方程3f (x ) =x 恰有5个实数解, 则m (-1，3]上的解析式为⎨2

1-(x -2) , x ∈(1,3]⎩

48

的取值范围为______________. (, )

33

8、若定义在(-∞, 1) (1, +∞)上的函数y =f (x )满足f (x +2)=f (-x )，且当x ∈(1, +∞)时，

f

(x )=

2x -3x -1

，则下列结论中正确的是 （ C ）

（A ）存在t ∈R ，使f (x )≥2在⎢t -

⎣

⎡12⎡⎣

, t +

1⎤

恒成立； ⎥2⎦

1⎤

恒成立； 2⎥⎦

（B ）对任意t ∈R ，0≤f (x )≤2在⎢t -

⎡⎣

1212

12

, t +

-

（C ）对任意t ∈R ，f (x )在⎢t -

, t +

1⎤

上始终存在反函数； ⎥2⎦

1⎤

上始终存在反函数。 2⎥⎦

+

（D ）对任意t ∈R ，f (x )在⎢t -

⎡⎣

, t +

9、已知P 是∆ABC 内任一点, 且满足AP =x AB +y AC , x 、y ∈R , 则y +2x 的取值范围是 (0,2) _ .

10、设点A (1,0) ，B (2,1)，如果直线ax +by =1与线段A B 有一个公共点，那么a +b （ ）

15

5

22

（A ）最小值为 （B

）最小值为 （C ）最大值为

15

（D

）最大值为

5

11、2010年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，则小张不从事翻译工作且小赵不从事司机工作的概率是（B ）

313192

C . D . A . B .

520205

注：用间接法求解时，注意小赵不从事司机时有两种情况：一，不选司机；二、不参加。

12、某地有A , B , C , D 四人先后感染了甲型H 1N 1流感，其中只有A 到过疫区。B 肯定是受A 感染的. 对于C ，因为难以断定是受A 感染还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是

D 受A ，B 和C 感染的概率都是

12

。同样也假定

13

。在这种假定之下，B , C , D 中直接接受A 感染的人数X 就是一个随116

机变量，则X 的数学期望为 13、若x ∈A ，且

1x

11

, ,1, 2, 3, 4}的所有非空子集32

∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”．在集合M ={-1, 0,

中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 （ A ） A ．

117

B ．

151

C ．

7255

D ．

4255

14、定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，集合A ={1, 3, 5, 7, 9}的真子集可以作为A 的“孙集”的概率是

2631

.

15、定义函数f (x ) =[x [x , ]其中[x ]表示不超过x 的最大整数, 如:[1.5]=1，[-1.3]=-2, 当

x ∈[0，n ) (n ∈N ) 时, 设函数f (x ) 的值域为A , 记集合A 中的元素个数为a n , 则式子

*

a n +90n

的最小值

为 .13

16、证明：（母题）相关问题可网上搜索 （1）求证：(1+1)(1+

13)(1+

15) (1+

12n -1

) >

2n +1.

（2）求证：ln(1+n )

12

+

13

+ +

1n

a

x x

17、设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1. 5]=1, 2若函数f (x )=[-1. ]5=-，

⎡g (x )=⎢f

⎣

1+a

(

a >0, a ≠1)，则

(x )-

1⎤⎡1⎤

的值域为 。{-1，0} +f -x -()⎥⎢⎥2⎦⎣2⎦

⎧f (x )f (x )≤K

⎪

18、设函数y =f (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义，对于给定的正数K ，定义函数: f K (x )=⎨1

⎪f (x )f x >K

()⎩⎛1⎫

取函数f (x )= ⎪

⎝2⎭

x

，当K =

1

时，函数f K (x ) 的值域是 0, ⎥ [1, 2) ．

22

⎝

⎦

⎛1⎤

⎧f (x )f (x )≤K ⎪

19、设函数y =f (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义，对于给定的正数K ，定义函数:f K (x )=⎨1

⎪f (x )f x >K

()⎩

取函数f (x )=a

-x

（a ＞１）．当K =

1a

时，函数f K (x ) 值域是( D )

⎡1⎤⎛1⎤

B ． 0, A ．0, 1, a )[⎢a ⎥⎥ [1, a ]a ⎣⎦⎝⎦

C ．(0,1] ⎢, a ⎪ D ． 0, ⎥ [1, a ) ⎣a ⎭⎝a ⎦

⎧x >0⎪*

(n ∈N ) 所表示的平面区域D n 的整点20、设不等式组⎨y >0（即横坐标和纵坐标均为整数的点）

⎪y ≤-nx +4n ⎩

⎡1⎫⎛1⎤

个数为a n , 则

12010

(a 2+a 4+ +a 2010) =

21、已知数列A :a 1, a 2, , a n

(

0≤a 1

a j +a i 与a j -a i 两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：

①数列0,1,3,5,7具有性质P ；②数列0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a 1=0； ④若数列a 1, a 2, a 3, a 4, a 5(0≤a 1

22、设函数f (x ) 的定义域为D ，若存在非零常数l ，使得对于任意x ∈M (M ⊆D ) 都有f (x +l ) ≥f (x ) ，则称f (x ) 为M 上的高调函数，l 是一个高调值。现给出下列命题：

1

①函数f (x ) =() x 为R 上的高调函数；②函数f (x ) =sin 2x 为R 上的高调函数

2

③若函数f (x ) =x 2+2x 为(-∞, 1]上的高调函数，则高调值l 的取值范围是(-∞, -4]. 其中正确的命题个数是 （ D ）

（A ）0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

23、已知函数f (x ) =() x -l o g 2x ，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足

31

f (a ) ⋅f (b ) ⋅f (c )

（ C ）A ．x 0b C ．x 0c

24、在实数R 中定义一种运算“*”，具有下列性质： ⑴对任意a , b ∈R , a *b =b *a ⑵对任意a ∈R , a *0=a ⑶对任意a , b , c ∈R , (a *b )*c =c *(ab )+(a *c )+(b *c )-2c 则函数f (x )=x *25、设S 1=⎪⎨

⎛2 ⎝6

⎧⎛a ⎪⎩⎝c

x 2

x ∈R 的单调递减区间是(-∞, -

32

]．

⎧⎫b ⎫⎪⎛a ⎪,

S =⎨ 2⎪a , b , c , d ∈R , b =c ⎬

d ⎭⎪⎝c ⎪⎩⎭⎫b ⎫⎪

a , b , c , d ∈R , a =d =b +c =0⎬. 已知矩阵⎪d ⎭⎪⎭

4⎫

⎪=A +B , 其中A ∈S 1, B ∈S 2．那么B =8⎭⎛0 -⎫1 ⎪． 1 ⎝⎭ 2 2

15

26、设平面向量a =(1,2) ．当b 变化时, m =a +a ⋅b +b 的取值范围为 [, +∞) ．

4

27、若三个数a 1, a 2, a 3的方差为1，则3a 1+2, 3a 2+2, 3a 3+2的方差为9

⎛2011⎫ ⎪

28、记矩阵A= 0316⎪中的第i 行第j 列上的元素为a i , j ．现对矩阵A 中的元素按如下算法所示的

1315⎪⎝⎭

方法作变动，直到不能变动为止：若a i , j >a i +1, j ，则M ←a i , j , a i ,

j

←a i 1

+,

j

, a 1, i +

j

←M ，否则不改变，

这样得到矩阵B ．再对矩阵B 中的元素按如下算法所示的方法作变动：若a i , j >a i , j +1，则

1 ⎛0 0 ⎫

⎪

←N 1 1 3 5，否则不改变，这样得到矩阵C ，则 1 ⎪

1 2 ⎪3 6⎝⎭

N ←a i , j , a i , j ←a i

, j +1

, a i

j , +

29、洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即

n 2

）；如果它是奇数，则将它乘3加1（即

3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第六项为1，则n 的所有可能的取值为 {4, 5, 3 2 ． 30、数列{a n }满足a 1=1，a n +1=①当λ=0时，a 20=___

120

n -λn +1

2 ． a n ，其中λ∈R ，n =1，，

__；②若存在正整数m ，当n >m 时总有a n

__(2k -1, 2k ), k ∈N *___. 31、若(x +2)

2n

=a 2n x

2n

+a 2n -x 1

2n 1-

+ +a x +a x +1a x +0a , n ∈N ，则a 1+a 3+a 5+ +a 32

32*

n 1-

的值

为 .

12

(3

2n

-1)

32、对于给定的自然数n ，如果数列a 1, a 2, , a m (m >n ) 满足：1, 2, 3, , n 的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来的顺序排列而得到，则称a 1, a 2, , a m (m >n ) 是“n 的覆盖数列”. 如1, 2,1是“2的覆盖数列”；1, 2, 2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是“3的覆盖数列”为（ ）

, D . 1, 2, 3, 2, 2 , A .1, 2, 3, 3,1, 2, 3 B . 1, 2, 3, 2, 1 , C . 1, 2, 3, 1, 2⎧2n -1 , n

⎪

33、已知a n =⎨1n -1，S n 是数列{a n }的前n 项和（ ）

⎪(-) , n ≥2012⎩2

(A）lim a n 和lim S n 都存在 (B) lim a n 和lim S n 都不存在

n →∞

n →∞n →∞n →∞

(C) lim a n 存在，lim S n 不存在 (D) lim a n 不存在，lim S n 存在

n →∞

n →∞n →∞n →∞

⎧1

,1≤n ≤10002⎪⎪n

34、数列{a n }中，a n =⎨，则数列{a n }的极限值等于（ ） 2

⎪n , n ≥10012⎪⎩n -2n

A .0 B .1 C .0或1 D . 不存在

35、手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中A (2, 2) ，如图所示. 在作曲线段AB 时，该学生想把函数

1

y =x 2, x ∈[0, 2]的图像作适当变换，得到该段函数的曲线. 请写出曲线段

1

AB 在

x ∈[2，3]上对应的函数解析式

________.y =2

x -2）+2.

36、在证明恒等式1+2+3+ +n =

2

2

1

*

2222

16

n (n +1)(2n +1) (n ∈N ) 时，可利用组合数表示n ，即

3

3

3

3

*2

n =2C n +1-C n (n ∈N ) 推得. 类似地，在推导恒等式1+2+3+ +n =[

n (n +1) 2

](n ∈N ) 时，也

2*

31321*33

可以利用组合数表示n 推得. 则n =______________. 6C n +1+C n 或6C n +2-6C n +1+C n (n ∈N )

1⎧

2x , 0≤x ≤⎪⎪2

37、已知函数f (x ) =⎨，且f 1(x ) =f (x ) ，f n (x ) =f (f n -1(x )) ，n =1, 2, 3, . 则满足

⎪2-2x , 1

方程f n (x ) =x 的根的个数为（ ）C

A 、2n B 、2n 2 C 、2n D 、2(2n -1) 38、对任意一个非零复数z ，定义集合

A α

A Z =ωω=z , n ∈N

{

n *

}，设α是方程x

2

+1=0的一个根，若在

1

中任取两个不同的数，则其和为零的概率为P = (结果用分数表示) ．3

39、满足|z -z 0|+|z +2i |=4的复数z 在复平面上对应的点Z 的轨迹是线段，则复数z 0在复平面上对应的点的轨迹是 .

34

40、问题“求方程3x +4x =5x 的解”有如下的思路：方程3x +4x =5x 可变为(x +() x =1，考察函数

5534

f (x ) =(x +() x 可知，f (2)=1，且函数f (x ) 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解x =2. 仿照此解法

55

可得到不等式：x 6-(2x +3) >(2x +3) 3-x 2的解是 41、若f (x ) =

x x +1

，f 1(x ) =f (x ) ，f n (x ) =f n -1[f (x )](n ≥2，n ∈N *), 则f (1)+f (2)+„

+f (2012)+f 1(1)+f 2(1)+ +f 2012(1) ．

42、某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k (k ∈N ) 个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p (k ) ，

⎧1k

⎪() ⋅p (0) ，(0≤k

根据统计得到p (k ) =⎨2，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率

⎪0，(k ≥5) ⎩

为（ ） A.

815

； B.

47

； C．

3263

； D.

1631

43、“f (x ) 1≤”是“f (x ) 的最大值为1”的 条件. 必要非充分

44、一条铁路有n 个站，为适应客运需要，新增加了m 个站(m >1) ，客运车票增加了62张，求原有的车站个数.15

解析：P

2n +m

-P =62⇒n =

2n

62+m -m

2m

2

，又n , m ∈N *⇒n =15, m =2

45、如图, 在三棱锥P -A B C 中, P A 、P B 、PC 两两垂直, 且PA =3, PB =2, PC =1. 设M 是底面A B C 内一点, 定义f (M ) =(m , n , p ) , 其中m 、n 、p 分别是三棱锥M -PAB 、 三棱锥M -P B C 、三棱锥

12

M -P C A 的体积. 若f (M ) =(, x , y ) , 且

1x

+

a y

≥8恒成立, 则正实数a 的最小值为________.

46、椭圆

x

2

45题图

y

2

4

+

3

=1上有2007个不同的点P 1, P 2, , P 2007，椭圆的右焦点为F ，数列

{|FP n |}n (=1, 2, 3, , 2007) 是公差为

d x

2

的等差数列，则d 的取值范围

是 . (-

11003

, 0) ⋃(0,

11003

) 47、设双曲线

4

-y

2

=1的右焦点为F ，点P 1、P 2、„、P n 是其右

上方一段（2≤x ≤25，y ≥0）上的点，线段P k F 的长度为a k ，（k =1, 2, 3, , n ）．若数列{a n }成

1

55

等差数列且公差d ∈(,

5

) ，则n 最大取值为．14

13n -1

*

48、若f (n ) =1+

12

+

13

+ +(n ∈N ) ，则对于k ∈N ，f (k +1) =f (k ) +

n

*

*

49、用数学归纳法证明(n +1) ⋅(n +2) ⋅ ⋅(n +n ) =2⋅1⋅2⋅ ⋅(2n -1)(n ∈Z ) . 从假定当n =k 时等式成立证明当n =k +1时等式也成立时，等式左边需要加乘的式子是 . 2(2k +1)