夫琅禾费单缝衍射光强分布MATLAB分析毕业论文

毕业设计（论文）

摘 要

衍射为人们所熟悉的现象，对于光的这种特殊现象在很多方面有着应用。 在光的衍射的基础上，介绍了什么是夫琅禾费衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强分布特点，以基尔霍夫积分定理为基础，利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，采用对观察屏上各点的光强进行计算的方法，对衍射条纹分析对比研究，重点研究了夫琅禾费单缝衍射光强分布以及衍射的条纹分析，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。

关键词：夫琅禾费单缝衍射；光强分布；衍射条纹；对比分析

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Abstract

Diffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phenomenon has applications in many areas.

In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribution of light intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffraction similar to the formula derived from the theory that the Fraunhofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the images collected on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffraction fringes of comparative study, focused on the Fraunhofer single-slit diffraction intensity distribution and diffraction analysis of the fringe The results with the experimental results have been very good anastomosis.

Key words：Fraunhofer single-slit diffraction；light distribution；diffraction fringes ; comparative analysis

目 录

第1章 概 述........................................................................................................... 1

1.1 光的衍射 ................................................................................................ 1

1.2 研究的内容与目的 ................................................................................ 2

第2章 夫琅禾费衍射原理 .................................................................................... 3

2.1 惠更斯—菲涅耳原理 ............................................................................ 3

2.2 夫琅禾费衍射 ........................................................................................ 4

2.3 实现夫琅禾费衍射的几种方法 ............................................................ 5

2.4 菲涅耳半波带分析法 ............................................................................ 7

2.5 夫琅禾费衍射光强图样特点 .............................................................. 10

2.6 本章小结 .............................................................................................. 12

第3章 光强分布的推导 ...................................................................................... 13

3.1 基尔霍夫积分定理 .............................................................................. 13

3.2 基尔霍夫衍射公式 .............................................................................. 15

3.3 基尔霍夫衍射公式的近似 .................................................................. 17

3.4 夫琅禾费单缝衍射光强分布 .............................................................. 19

3.5 本章小结 .............................................................................................. 20

第4章 条纹分析................................................................................................... 21

4.1 理论分析 .............................................................................................. 21

4.2 仿真分析 .............................................................................................. 23

4.3 实验分析 .............................................................................................. 26

4.4 对比分析 .............................................................................................. 28

4.5 本章小结 .............................................................................................. 29

结 论....................................................................................... 错误！未定义书签。

参考文献................................................................................................................. 30 致 谢....................................................................................... 错误！未定义书签。

第1章 概 述

1.1 光的衍射

1.1.1 衍射特点

光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。

光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫做光的绕射，即光可以绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。

(a) Σ

(b) S

图 1-1 光的衍射现象 KK Σ

如图1-1所示，让一个足够亮的点光源S发出的光透过一个圆孔∑，照射到屏幕K上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影，如图 1-1（a）所示；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环，当使用单色光源时，这是一组明暗相见的同心环带，如图1-1（b）所示，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使

圆孔变小，光斑及圆环不跟着变小，反而会增大起来，这就是光的衍射现象。

1.1.2 衍射与干涉的关系

干涉现象和衍射现象都是光具有波动性的重要特征，那么，它们有怎样的区别和联系呢，简单地说，干涉是若干光束的叠加，更确切地讲应该是，当参与叠加的各束光本身的传播行为可近似用几何光学直线传播的模型描写时，这个叠加问题是纯干涉问题；若参与叠加的各束光本身的传播明显地不符合几何光学模型，则应该说，对每一束而言都存在着衍射，而各束光之间则存在干涉联系。在一般问题中，干涉和衍射两者的作用是同时存在的。从本质上说，干涉和衍射都是波的相干叠加的结果，只是参与相干叠加的对象有所区别，干涉是有限几束光叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加。其次，出现的干涉和衍射花样都是明暗相间的条纹，但在光强分布上有间距均匀与相对集中的不同。

1.1.3 衍射的应用

光的衍射决定光学仪器的分辨本领；气体或液体中的大量悬浮粒子对光的散射，衍射也起重要的作用。衍射应用大致可以概括为以下四个方面：

1、 光谱分析：如衍射光栅光谱仪。

2、 结构分析:衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大”作用,故而利用图样分析结构,如X射线结构学。

3、 成像:在相干光成像系统中,引进两次衍射成像概念，由此发展成为空间滤波技术和光学信息处理。光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领。

4、 波阵面再现: 一种全新的两步无透镜成像法，也称为波阵面再现术，这是

全息术原理中的重要一步。

1.2 研究的内容与目的

通过衍射现象进一步了解夫琅禾费衍射，首先从原理出发，掌握夫琅禾费单缝衍射的原理，利用三角公式和积分处理,通过对光强的计算和对其分布特点的理论研究，从中找出光强分布规律，再利用matlab软件描绘出其光强分布，最后通过实验采集的图样进行验证，对比研究分析衍射条纹的特点。

第2章 夫琅禾费衍射原理

2.1 惠更斯—菲涅耳原理

最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，并予以发展。

图 2-1 惠更斯原理

S 图

惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是：如图2-1

所示的波源S，在某一时刻所产生波的波阵面为∑

，则∑面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面'即是该时刻这些球面次波的包迹面，波阵面的法线面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其

强度分布。

菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面'上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯—菲涅耳原理。

利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。

根据惠更斯—菲涅耳原理，图2-2所示的一个单色光源S对于空间任意点P的作用，可以看作是S和P之间任一波面∑上各点发出的次波在P点相干叠加的结果。假设波面上任意点Q的光场复振幅为EQ，在Q点取一个面元d，则d面元上的次波源对P点光场的贡献为

PCKEQdEeikr~

rd

式中，C是比例系数；rQP，K称为倾斜因子，它是与元波面法线和QP的夹角（称为衍射角）有关的量，按照菲涅耳的假设：当0时，K有最大值；随着的增大，K迅速减小；当/2时K＝0。因此，途中波面∑上只有ZZ范围内的部分对P点光振动有贡献。所以P点的光场复振幅为

PCE EikrerK d (2-1) 

这就是惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯－菲涅耳公式。

当S是点光源时，Q点的光场复振幅为

QAeikRER

式中，R是光源到Q点的距离。在这种情况下，E(Q)可以从积分号中提出来，但

P值。因此，从理是由于K的具体形式未知，不可能由(2-1)式确切地确定E~

论上来讲，这个原理是不够完善的。

2.2 夫琅禾费衍射

在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之间距离的远近而将衍射分为两类，一类是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形；另一类是夫琅禾费衍射，指的是光源

和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。粗略地说，菲涅耳衍射是近场衍射，光源O ,观察屏E (或二者之一) 到衍射屏S 的距离为有限的衍射，如图2-3所示。 夫琅禾费衍射是远场衍射，光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射，如图2-4所示。不过应当注意，在成像衍射系统中，像面的衍射场在一定条件下也是夫琅禾费衍射场，此时无论像面（接收屏位置）或光源位置，它们与衍射屏的距离都可以是很近的。当然，夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特例，其衍射积分计算较为简单，实验上也不难实现，应用价值又很大，故它一直是衍射问题的研究重点。尤其是现代光学中傅里叶光学的兴起，赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义。

图 2-3 菲涅耳衍射 O

图 2-4 夫琅禾费衍射 2.3 实现夫琅禾费衍射的几种方法

无论是在实验室中或者别的什么地方,都不可能将光源和衍射场放在无限远，实际接收夫琅禾费衍射的装置有以下四种：

1、焦面接收装置（以单缝衍射为例，下同）

把点光源S放在凸透镜L1的前焦平面上，在凸透镜L2的后焦平面上接收衍射

场，见图2-5。

图 2-6 远场接收装置

2、 远场接收装置

当满足远场条件时，狭缝前后也可以不用透镜，而直接获得夫琅禾费衍射图样。远场条件是：① 光源离狭缝很远，即R

2，其中，R是光源到狭缝的距



2离，为狭缝宽度的一半；② 接收场距狭缝足够远，即z

射场距狭缝的距离。观察点P在z

2，其中，z为衍的条件下，只要求其满足傍轴条件即可，

而这一般都是满足的。图2-6为远场接收光路，假设一束平行光垂直入射到狭缝上。

3、象面接收装置（一）

衍射屏处于透镜的后方，如图2-7所示。S在光轴上，代表点光源的象面，S为S的象点。理论上已经证明了面上呈现的图样为夫琅禾费衍射图样，即屏上任一点P的复振幅与角度的函数关系符合夫琅禾费衍射的积分形式。

图 2-8 象面接收装置（二）

4

、象面接收装置（二）

衍射屏处于透镜的前方，如图2-8所示。P点是场点P的共轭点，S也在光轴上。如果光路逆转自右向左，S变为点光源，衍射屏便处于透镜的后方了，

面上的衍射图样就同象面接收装置（一）

面上的情况，z相应地取代z，所以实际呈现在图2-8的面上的衍射图样可由物面上设想的共轭衍射图样导出，二者为物象关系。

2.4 菲涅耳半波带分析法

2.4.1 夫琅禾费单缝衍射的零级大点

图 2-9 单缝衍射的零级极大

L1的宽度为a，也就是说狭缝的两侧边A与B的距离ABa。狭缝的长度垂直于图面。

把此狭缝的宽度a分割成许多个（设为N个）窄条，每个窄条的宽度都等于

Sa/N

。当单色平行光的波阵面到达此狭缝中时，每个窄条可看成一个子波源，

它向各个方向发出子波。

上述单缝后面放一个凸透镜，此透镜L2的主轴垂直于单缝和屏，屏放在透镜的焦平面位置。

从单缝发出的所有子波中、传播方向与主轴平行的光线，被透镜聚焦于主焦点F（即主轴与屏的交点）。从单缝中任一点发出的上述光线、经透镜到F点的光程都相等，因此F点成为这些子波干涉加强的最强点，称为零级极大点，如果S是一条与狭缝平行的直线光源，则在Q0处显出一条与狭缝平行的零级亮纹。

2.4.2 用菲涅耳半波带法说明单缝衍射

如图2-10所示，在零级极大点Q0的旁边有一个干涉相消的第一级极小点Q1。现在要分析此极小点Q1应满足的条件。

图 2-10

单缝衍射的一级极小

设上述Q1点与透镜的光心C的连线CQ1与主轴成1角。此1角就是单缝发出无数子波中、被透镜会聚于Q1点的那一组平行光线与主轴所成角度。此1角称为此组平行光线的衍射角。此组平行光线的垂直平面AD1与单缝AB的夹角也等于此衍射角1，即BAD11。

上述衍射角为1的平行光线，从AD1垂直面中任一点经透镜到屏上Q1点的光程都相等。因此，上述任何两条平行光线的光程差L，就等于它们从单缝AB到垂直面AD1的光程差。这一组光程差L中的最大光程差Lm1应是单缝两端B与A的光程差BD1。

相消的结果。已知上述一组平行光线在屏上Q1点形成第一级极小，也就是说，这一组平行光线整体在Q1点形成干涉相消。如果将这组平行光线平分成上下两个半组，当这两组的平均光程差为半波长时，可达到整组干涉相消的结果。具体说来，可在单缝AB的中点作一垂直于图面的直线，将单缝平分成A与B上下两部分，同时也将上述平行光线分成上下两组，这两组平行光线到达Q1点的平均光程差、应等于半波长，即L



2

，于是这两组平行光线一对一对地在Q1形成干涉相

消。根据上述分析，可将屏上Q1点应满足的条件总结如下：

BD1Lm12L2



2



(2-2)

BD1asin1 (2-3)

Q0Q1x1ftg1

Q0Q1x1

(2-4)

(2-5)

此式的f是透镜的焦距，x1是以Q0为原点的Q1位置坐标。x1是负一级极Q-1

的坐标。Q1与Q-1对称地分布在Q0的两侧。

图 2-11 单缝衍射的二级极小

图2-11表示在一级极小Q1旁边有二级极小Q2。此Q2点所对应的平行光线的衍射角12，所对应的最大光程差为BD2Lm2BD1。

按照Q2点的特点，应将单缝平分成四个部分，即AA1A1B1B1B，并要求其中相邻两部分上述平行光线的平均光程差都等于半波长，即L



2

。因此，

从单缝中的AA1与A1两部分发出的上述平行光线在Q2形成干涉相消；从B1与

B1B两部分发出的平行光线也在Q2形成干涉相消。因此，参照（2-2）至（2-5）式，

可将此Q2成为二级极小的条件总结如下：

BD2Lm24l4



2

2

BD2asin22 Q0Q2x2ftg2

Q0Q2x2

按上述例子可把夫琅禾费单缝衍射屏上各级极小Q1、Q2、Q3…的条件都写下来：

BDLm2k1Lk1

BDasink1

Q0Qk1x

，

Q0Qk1xftg



k11,2

如上所述菲涅耳提出的简单方法称为半波带法，具有如下特点：（1）将到达

单缝的波阵面分割成面积相等的矩形窄条（窄条长度平行于狭缝），每个窄条称为一个波带，各个波带含有相同数目的子波源。（2）要求相邻波带发出的子波会聚到达屏上Q点的平均光程差都等于半波长。（3）如果分割成的波带数恰为偶数2k1，则此Q点便是此单缝衍射的第k1级极小位置。

2.5 夫琅禾费衍射光强图样特点

2.5.1 图样特点

观察点和光源与障碍物的距离有限，在计算光程和叠加后的光强等问题时，都难免遇到繁琐的数学运算。夫琅禾费在1821-1822年间研究了观察点和光源距障碍物都是无限远（平行光束）时的衍射现象。在这种情况下，计算衍射图样中光强的分布时，数学运算就比较简单。所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，得到平行光束；所谓观察点在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射图样，在使用光学仪器的多数情况中，光束总是要透过透镜的。因而经常会遇到这种衍射现象，而且由于透镜的会聚，衍射图样的光强将比菲涅耳衍射图样的光强大大增加。

图2-12为红光单狭缝衍射图样，其特点是在中央有一条特别明亮的亮条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹，相邻亮条纹之间有一条暗条纹，如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧的亮条纹是等宽的，而中央亮条纹的宽度为其他亮条纹的两倍。

图 2-12 红光单缝衍射图样

图2-13 单缝衍射光路

2.5.2 强度的计算

现在我们用惠更新-菲涅耳原理来解释上述现象。如图2-13所示。为了清楚起见，图中狭缝的宽度BB'已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。将缝的面积分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波。其振幅正比于窄带的宽度dx，设光波的初位相为零，b为缝BB'的宽度，A0b，而宽度dx的窄条上次波的振幅为A0dx，则狭缝处各窄带所发次波的振动可用下式表示：

这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。现在，首先对其中沿图面与原

b

dE0

A0dx

cost

入射方向成θ角（称为衍射角）的方向传播的所有各次波进行研究。在入射光束的平面波面BB’上各次波的位相都相等，通过透镜L2后在焦平面FF上的同一点P处叠加。要计算P点的合振幅，必须考虑到各次波的位相关系，这取决于由各窄带到P点的光程如何。现在作平面BD垂直于衍射方向B'D，根据BD面上各点的位相分布情况即可决定在P点相遇的各次波的位相关系。我们知道，从平面BD上各点沿衍射方向通过透镜而达到P点的光程都相等。这就只要算出从平面BB'到平面BD的各平行直线段之间的光程差就可以了。MN为沿着衍射角θ进行的任一条路程，令BM=x，则MNxsin，这就是从M和从B两点所发次波沿平行于MN方向到达平面BD时的光程差。得BD面上N点的光振动的表达式为

dE

A0dxb

cos(

2



xsint)

2

xsin

t

)

Adxi(

dE0e

b或

dE

A0dxb

e

i2



xsin

其复振幅为：

为简化计算起见，上式中假设各次波到达P点时有相同的振幅（不考虑振幅

宽（从x=0到x=b）积分。最后可得沿着衍射角θ方向传播的所有次波在观察点P叠加起来的合振幅：

sin(

APA0

b

sin)

b

sin

令u(bsin)/，通常称(sinu)/u为u的sinc函数，并写成sincu，故P点的光强为

IPI0sincu

2

(2-6)

2.5.3 衍射花样的光强分布

当光屏放置在透镜L2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由（2-6）式决定。不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。首先来决定衍射花样中光强最大值和最小值的位置。即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

ddu(sinuu

22

)

2sinu(ucosusinu)

u

3

0

u由此得 sin0u,tg u

分别解以上两式，可得出所有的极值点。 1、单缝衍射中央最大值的位置：

由sinu0，解得满足u0bsin00的一些衍射方向，即sin00 (中间最大值的位置)，也就是在焦点P0处，IpA02，光强为最大。这里，叠加的各

个次波位相差为零，所以振幅叠加互相加强。

2、单缝衍射最小值的位置：

由sinu0，解得满足uk2bsink2k的一些衍射方向，即

sin

kk



b

k1,2,3（最小值位置）

时，AP为零，屏上这些点是暗的。

2.6 本章小结

本章从惠更斯—菲涅耳原理出发解释了夫琅禾费衍射原理，介绍了4种可以在实验室中实现的夫琅禾费衍射的接收装置，通过菲涅耳半波带法说明了单缝衍射，并针对衍射图样的特点分析了夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。

第3章 光强分布的推导

3.1 基尔霍夫积分定理

假设有一个单色光波通过闭合曲线面Σ传播，如图3.1所示。

图 3-1 积分曲面

t时刻、空间P点处的光电场为

EP,tE~Pe

iwt

若P是无源点，该光场应满足标量波动方程：

2

2

E

1Ec

2

t

2

0 将（3-1）式代入，可得到

2Ek2E~

P0

式中，kwc，该式即为亥姆霍兹方程。

假设另一个任意复函数G~

也满足亥姆霍兹方程

2G~k2G~

0

且在Σ面内和Σ面上有连续的一、二阶偏微商，作积分

Q



~E~

~G~

G



nEnd 

3-1）3-2）3-3）3-4）

（

（

（

（

其中

n

表示在Σ面上每一点沿向外法线方向的偏微商，则由格林定理，有



V

~2~~2~

GEEGdV







~~

~E~GGEnn



d 

式中，V是Σ面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，得

~G

V

2

~~2~

EEGdV0



根据G所满足的条件，可选取G为球面波的波函数:

~eG

ikr

~~

r

（3-5）

这个函数除了在r=0点外，处处解析。

（3-4）式中的Σ应选取图3-1所示的复合曲面，其中是包围P点半径为小量ε的球面，该积分为

~~

~E~GGEnn







d0 

（3-6）

由（3-5）式，有

~G

~ikr

G1e

cosn,r-cosn,rik

nrrr

（3-7）

对于面上的点cosn,r1，r,所以

~

G

1eiknrr

ikr



因此 当ε→0时





~~

~E~GGEnn~ikik

eE~1~e2dδ4πP Eik4πE

εεεn

故有

1~

EP

4





~En

eikr

r

~eikEnr

r



d

（3-8）

这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围任一闭合曲线Σ上的光场联系起来。

3.2 基尔霍夫衍射公式

如图3-2所示，一个无限大的不透明平面屏，其有一开孔，用点光源S照明，设的线度满足Minr,l ,其中Minr,l表示r、l中较小的一个。

图 3-2 球面波在孔径上的衍射

围绕P点做一个闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面1，以P点为中心、R为半径的大球的部分球面2。

P点的光场复振幅为

1~

EP

4



12

~En

eikrr~eikrErn

d

（3-9）

因为屏的存在必然会干扰Σ处的场。特别是开孔边缘附近的场，在开孔线度的限制下，误差并不大，作为近似理论处理可采用基尔霍夫假定：

1、 在Σ

~E~

面上,E和

n

的值由入射波决定,与不存在屏时的值完全相同。因此

~

AiklE1Aikl~

Ee,cosn,like

lnll



（3-10）

式中



A是离点光源单位距离处的振幅，cosn,l



表示外向法线n与从S到Σ上某点



Q的矢量l之间的夹角余弦。

~E~

0。 2、在不透明屏的背照面1上，E0，n



对于2面rR,cosn,R1，且R1有

ikR

enR

ikRikR

1eeik ikRRR

因此在2上的积分为

14

2



e

~

E1~ikEd

R4n

ikR





e

~

E~2ikERd ， Rn

ikR

式中是2对P点所张的立体角，d是立体角元。

~

EeikR~

ikER0，当R时，由索末菲辐射条件得 limRR是有界的，Rn



所以上面的积分在R时为零。

通过上述讨论可知，只需考虑对孔径面的积分，即

1~

EP

41414

~En





eikrr~eikrEnr

d

=





ikr

1~e

cosn,likElrl



ikr

~1eElcosn,rikd

rr

=





eikr~

cosn,likElr





~

Elcosn,rik

eikrrd

=

ik4i





eikr~

Elr



ikr



cosn,lcosn,rd 



=









ecosn,rcosn,l~

Eld r2



（3-11）

其中略去法线微商中的和的项，因为它们比k要小得多。此式称为菲涅耳

r

11l

—基尔霍夫衍射公式。

与惠更斯－菲涅耳公式（2-1）进行比较,可得

Aikl~~

EQEle,K

l

cosn,rcosn,l

2

,Ci



将积分面元d视为次波源的话，（3-11）式可解释为：

1、P点的光场是Σ上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点

的复振幅EQ成正比，与波长成反比；

2、因子i表明次波源的振动相位超前于入射波

2

~

；

3、倾斜因子K表示次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在0与1之间。

3.3 基尔霍夫衍射公式的近似

对于一些极简单的衍射问题，也因为被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步做近似处理。

3.3.1 傍轴近似

在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线。对于傍轴光线，如图3-3开孔的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。因此，下面的两个近似条件都成立：



1、cosn,r1,于是K1；

2、rz1。

于是，（3-11）可以化简为

i~

EP

z1

~ikr

EQed





（3-12）

指数中的r未用z1代替，这是因为指数中r所影响的是次波场的相位，r的微小变化都会引起相位的很大变化。

x

图 3-3 孔径的衍射

3.3.2 距离近似

根据衍射现象，离衍射孔不同距离处，衍射图样是不同的。一种是菲涅耳衍射或近场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形；另一种是夫琅禾费衍射或远场衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。

1、 菲涅耳近似 如图3-3所示，设QPr，则由几何关系有

r

z1xx1yy1

2

2

2

z1

xx11z

1yy1

z

1

2





2

（3-13）

2

2222

1xx1yy11xx1yy1

z1122

28zz11

因为在指数上的相位因子决定了函数的周期性，每当相位因子改变时，指数函数反号，这种变化是不可忽略的，相位因子中只有远小于的项才可忽略。

于是，当z1大到满足

k8

xx

2

1yy1z

31

22max





（3-14）

时，上式第三项及以后的各项都可略去，即为

22

1xx1yy1

rz112

2z1

2222

xx1yy1x1y1xy

z1

2zz2z1

11

（3-15）

这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P点的光场复振幅为

xx2yy2

11

ikz11

22z1





i~

Ex,y

z1





~

Ex1,y1e

dx1dy1 （3-16）

2、夫琅禾费近似 当观察屏离孔的距离很大，满足

时

rz1

k

2

x

21

y12z1

2

2



max



（3-17）

xy2z1



xx1yy1

z1

（3-18）

这一近似称为夫琅禾费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫夫琅禾费衍射。在夫琅禾费近似下，P点的光场复振幅为

ie~

Ex,y

ikz1

ik

xy2z1

22

z1

e





ik

~

E(x1,y1)e

xx1yy1

z1

dx1dy1

（3-19）

3.4 夫琅禾费单缝衍射光强分布

如果只考虑单色平行光垂直入射到开孔平面上的的夫琅禾费衍射，则通常采用图3-4所示的夫琅禾费衍射装置。

单色点光源放置在透镜的前焦平面上，所产生的平行光垂直入射开孔Σ，由开孔的衍射，在透镜L2的后焦平面上可以观察到开孔Σ的夫琅禾费衍射图样，后焦平面上的各点的光场复振幅由（3-19）式给出。

图 3-4 夫琅禾费衍射装置

~

若开孔面上有均匀的光场分布，令Ex1,y1A常数。又因为透镜贴近孔径，

z1f。所以后焦平面上的光场复振幅可为

~iAikxx1yy1f

Ex,yCedx1dy1 , Ce

f

22xy

ikf2f





（3-20）

对于夫琅禾费单缝衍射，水平缝宽为a,垂直缝宽为b,则ba，沿y方向的衍射效应不明显，只在x方向有亮暗变化的衍射图样。由（3-20）式，衍射屏上P点的光场复振幅为

a~

EPC

2

ikxx1f

ae

dx1

Cfikx



ikxx1

f

e

|

a

22

a



2Cf

sinikx

kxa

sin2f

kxa

Cakxa2f

2f



~sinE0

（3-21）



式中E0

~

是观察屏中心点P0处光场复振幅。

sin

II0



2

相应P点的光强度为 式中，I

~E0

2

（3-22）

,

kxa2f



a



xf

asin,为衍射角。在衍射理论中，通常

称sin

2

2

为单缝衍射因子，I0为中央明纹中心处光强度，为单缝边缘光线

与中心光线的相位差。

根据（3-22）式可的单缝衍射的光强分布特征：

sin

1、在中央P点,0 ,我们使为一很小的趋于零的角,对求极限,则



1，II0，为中央主极大光强。

2、在k时k1、2,振幅AA0

sin



0，光强I0

2

为暗纹的光强。

sin323、 当32时,同理有I1A02

32

0.047I0为一级次极大光强。

4、 当52时,同理有I2

2sin52

A0

52

2

0.016I0为二级次极大光强。

2

sin72

5、 当72时,同理有I3A02

72

0.008I0为三级次极大光强。

3.5 本章小结

本章主要利用三角公式和积分处理进行夫琅禾费单缝衍射光强分布的推导。从基尔霍夫积分定理出发，进行了基尔霍夫衍射公式的推导，其中主要利用衍射公式的近似，最终推导出夫琅禾费的单缝衍射的光强公式。

第4章 条纹分析

4.1 理论分析

4.1.1 光强分布的极值点

当光屏放置在透镜L2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由（3-22）式决定，也就是说，衍射光场在P点的强度大小主要由因子或sin22决定。不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。

1、 当0或0时，该点光强度取最大值：

I(P)I(P0)Imax，称为主极大值；

2、 当k或asink,(k1,2,3)时，该点强度取极小值：

I(P)0Imin；

3、 相邻两个极小值之间存在一个极大值，由于因子sin221，该极大值

的强度总是小于主极大值，故称之为次极大值。 求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

2

dsind

2sincossin

0

3

解得 sin0,tan

于是得到夫琅禾费单缝衍射的次极大值位置满足关系为：tan。对于这一超越方程其根为

1.43,2.46,3.47

对应的sin值为

sin1.43



a

,2.46



a

,3.47



a



4.1.2 条纹的角宽度和线宽度

1、暗纹的角宽度

暗纹出现的位置在,2,3,的地方，对应的sin值为

sin



a

,

2a

,

3a

,

任何两相邻暗纹间的衍射角的差值为右对称分布的。

2、 亮纹的角宽度和线宽度



a

，即暗纹是以P0点为中心等间隔左

以相邻暗纹的焦距离作为亮纹的角宽度。在傍轴条件下，即很小时，暗纹的衍射角位置简化为sin

ka

，k1,2,3。中央主极大明纹宽度由k1的

暗纹的衍射角所确定，则主极大亮纹角宽度和线宽度分别为



2a2

， xf

2fa

（4-1）

在两相邻暗纹间存在的次极明纹，其角宽度和线宽度分别为

'



a



， x'f'

f

a



x2

（4-2）

4.1.3 条纹分布的影响因素

从以上结论可以看出，夫琅禾费单缝衍射图样的强度随衍射角度按着函数关系sin22变化；相邻暗条纹中心的角间距相等，因而所有次极大值亮纹的角宽度相等，但主极大值亮纹的角宽度为次极大值的两倍；相邻次极大值亮纹中心不等间距，随着衍射级次的增大，相邻次极大值亮纹中心的间距趋于恒定。

由（4-1）和（4-2）式可以看出，条纹分布的影响因素有： 1、 狭缝的宽度对条纹分布的影响

对于给定的波长，亮纹的宽度是与狭缝的宽度成反比的，在波前上对光束限制越大，也就是缝宽越小的时候，衍射场越弥散，衍射图样铺开的越宽；反之，当缝宽很大，光束几乎自由传播时，0，这表明衍射场基本上集中在沿直线传播的原方向上，在透镜焦面上衍射图样收缩为几何光学像点。 2、 入射光的波长对条纹分布的影响

在保持缝宽不变的条件下，波长越长，衍射效应越明显；波长越短，衍射效应越可忽略；但是，实际中，由于波长的数量级比较小，所以对衍射条纹的影响不是非常明显。

3、 接收屏的距离对条纹分布的影响

当其他条件不变的情况下，若接收屏沿轴向向前移动时，接收屏上的条纹间距变小，衍射图样展开范围减小；若沿轴向向后移动，接收屏上的条纹间距变大，衍射图样展开范围也增大。

4.2 仿真分析

4.2.1 Matlab仿真

根据理论的推导，利用衍射积分法对单缝夫琅禾费衍射进行Matlab仿真。衍射积分法是由衍射积分算出接收屏上的光强分布，然后根据该分布调制色彩作图，从而得到衍射图案，如图4-1所示：

图 4-1 夫琅禾费单缝衍射Matlab仿真图

夫琅禾费单缝衍射的仿真程序 ：波长 632.8nm,缝宽1mm，屏距1m。 lam=6328e-10; a=1e-3;D=1; ym=3*lam*D/a; ny=51;

ys=linspace(-ym,ym,ny); np=51;

yp=linspace(0,a,np); for i=1:ny sinphi=ys(i)/D;

alpha=2*pi*yp*sinphi/lam; sumcos=sum(cos(alpha)); sumsin=sum(sin(alpha));

B(i,:)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2;

end N=255;

Br=(B/max(B))*N; subplot(1,2,1) image(ym,ys,Br); colormap(gray(N)); subplot(1,2,2) plot(B,ys);

4.2.2 仿真分析

1、 狭缝的宽度对条纹分布的影响

当入射光波长为632.8nm，狭缝到接收屏的距离为1m ，狭缝的缝宽分别为0.5mm（外）, 1mm（中）, 1.5mm（内），进行仿真得到的仿真图如图4-2所示。

图 4-2 仿真不同缝宽条纹的对比图

从图中可以看出，当缝宽改变时，条纹宽度随着缝宽的增大而减小，反之亦然。可以得出结论：当只有缝宽改变，其他条件不改变的情况下，缝宽也与条纹宽度成反比。

2、 接收屏的距离对条纹分布的影响

图 4-3 仿真不同屏距条纹的对比图

当入射光波长为632.8nm，狭缝的缝宽为1mm ，狭缝到接收屏的距离为分别为0.5m（内）, 1m（中）, 1.5m（外），仿真到的条纹对比图如图4-3所示。

从图中可以看出，当屏距变大时，明显观察到的条纹的间距变大，图案的展开范围也增大。可以得出结论：当屏距改变，其他条件不改变的情况下，屏距与条纹的间距成正比。

3、 入射光的波长对条纹分布的影响

图 4-4 仿真不同波长条纹的对比图

利用Matlab对狭缝宽度为1mm，屏距为1m，入射光波长分别为500nm（内）,632.8nm（中）,700nm（外）的夫琅禾费单缝衍射进行衍射条纹仿真。仿真结果如图4-4所示。

从图中可以看到，波长越长，衍射效应越明显；波长越短，衍射效应越可忽略。而且波长的变化对衍射条纹的影响并不是很明显。

4.3 实验分析

4.3.1 实验数据采集

选取缝宽a0.07mm的衍射采集曲线进行实验分析，如图4-5所示。这里不采用分段测量法，而是在同一光强下读取实验数据。慢慢移动鼠标，读取衍射曲线上几个特殊点的X（ch）值、Y（A/D）值、电压值（局部视窗里），测得数据见表4-1：缝到CCD光敏面的垂直距离L：264.5mm

表 4-1 特殊点的数据采集情况表

图4-5 单缝衍射图样

4.3.2 实验分析

上一节从理论上分析了夫琅禾费单缝衍射条纹的一些影响因素，现在利用以上实验采集和条纹仿真，与条纹理论分析的结论进行对比分析研究。 1、 狭缝的宽度对条纹分布的影响

当入射光的波长为650nm，狭缝到接收屏的距离为50cm，狭缝的缝宽分别为 0.0068mm（绿1），0.0118mm（红2），0.0143mm（蓝3），实验采集到的条纹对比图如图4-6所示。

图 4-6 采集不同缝宽条纹的对比图

从图中可以看到，曲线1的高度最高，曲线3的高度最低，而曲线的高度表示为条纹的光强度，也就是说，光强的由强到弱顺序为曲线1、曲线2、曲线3，这个顺序恰为缝宽由小到大的顺序；当缝宽增大时，条纹的宽度却减小。可以得出结论：当只有缝宽改变，其他条件不改变的情况下，缝宽与衍射光强成反比，缝宽也与条纹宽度成反比。

2、 接收屏的距离对条纹分布的影响

图 4-7 采集不同屏距条纹的对比图

当入射光的波长为650nm，狭缝的宽度为0.0143mm，狭缝到接收屏的距离分别为50cm（绿1），70cm（蓝2），90cm（红3），实验采集到的条纹对比图如图4-7所示。

从图像中可以看到，曲线1所表示的条纹宽度在三条曲线里是最窄的，曲线3是三条曲线里最宽的，而且这三条曲线的展开范围是按着屏距的增大而变大的。可以得出结论：当只有屏距改变，其他条件不改变的情况下，屏距是与条纹宽度成正比，条纹分布的图样也随屏距的增大而变得稀疏，反之亦然。

4.4 对比分析

4.4.1 数值对比分析

根据采集完毕的数据计算出实验值，并和理论值相比较。

相对光强I/I0可以用Y（A/D）值相比得到，也可用电压值相比得到。当然误差是会有的，但误差很小，基本可以忽略。例如一级明纹的相对光强为：

（Y值相比）

1373210

0.04272

0.337.83

或 （电压值相比）



a

0.04215

的理论值计算参照公式sinm，其中m1，2，…即可求得。

实验值衍射角的计算：从采集到的曲线数据中可计算出一级暗纹离中央主极大中心的距离，这是原始数据，然后乘以CCD光敏元件的中心距才是实际距离。见表4-1所示，中央主极大中心的X（ch）值为1333，一级暗纹的X（ch）值为1567，两数之差为234，再乘以中心距11μm，得到一级暗纹离中央主极大中心的距离为2.574mm。依此方法计算出其它条纹距中央主极大中心的距离（表4-2）。

表4-2 各级条纹距中央主极大中心的实际距离（xi） 毫米

最后依据Xi/L计算得到一级暗纹处的衍射角0.0962，依此办法计算出其它条纹的衍射角。所得实验值与理论值如下表4-3所示。

根据光强分布规律：II0

sin

2



2

，其中



asin

，a是单缝宽度，是衍

射角，为入射光波长。利用所测数据建立方程，最后求的单缝宽度a0.11mm,光波长616m。

表4-3 实验值与理伦值对照表

4.4.2 条纹分布影响因素的对比分析

将实验分析结果、仿真分析结果与理论分析的结论进行对比，我们可以知道： 如果其他因素不变，只改变狭缝的宽度的情况下，当狭缝宽度越小时，观察到的衍射条纹的宽度越大，衍射的现象也就越明显，缝宽与条纹宽度成反比。

如果其他因素不变，只改变接收屏距离的情况下，当屏距越小时，观察到的衍射条纹的间距越小，反之亦然，接收屏的距离与条纹宽度成正比。

如果其他因素不变，只改变入射光波长的情况下，波长越长，衍射效应越明显；波长越短，衍射效应越可忽略。而且波长的变化对衍射条纹的影响并不是很明显。

经过这么对比分析可以得出，理论上的光强分布其特征与实验结果和仿真结果相吻合。

4.5 本章小结

本章说明了根据夫琅禾费单缝衍射光强分布的推导而进行了理论分析、仿真分析和实验分析，并将三者的结果进行具体的对比分析，本章重点分析了缝宽、屏距及波长对衍射条纹的影响。

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