数列单元测试及答案

数列单元测试 (B卷)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共

40分。

1．等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当

首项a 1与d 变化时，a 2+a 8+a 11是一个定值，则下各数中也为定值的是 A ．S 7 B ．S 8 C ．S 13 D ．S 15

2．若等比数列{a n }中，a 2+a 5+a 11=2, a 5+a 8+a 14=6，则a 2+a 5+a 8+a 11+a 14的值为 （ ） A ．8 B ．大于8

3．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则

C ．

6． 有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的

增长率是前一年的一半，同时，由于设备不断老化，每年将损失年产量的10%，则年产量最高的是改进设备后的 ） （

A ．第一年 C ．第四年

B

．

第

三

年

D ．第五年

7．若数列{a n }是等比数列, 则数列{a n +a n+1}

8．设{a n }是等差数列，从{a 1, a 2, a 3, , a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差

数列，则这样不同的等差数列最多有

（ ） A ．90个 B ．120 9

C ．180个

．

已

D ．200个 知

数

列 个

A ．一定是等比数列

B ．可能是等比数列, 也可能是等差数列 C ．一定是等差数列 D ．一定不是等比数列

242

31

D ．

240

41

a 2-a 1

= b 2

A ．1 4

．

在

等

比

C ．2

B

．

－

1

D ．±1

{a n }中a 1=-60, a n +1=a n +3, 则|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|

数

列

{a n }

中，等于（ ）

A ．445

（ ） C ．1080

B

．

765

a

a 7⋅a 11=6, a 4+a 14=5, 则20等于

a 10

5

．

在

等

差

数

列

D ．3105

2 332C ．或

23

A ．

B ．

32

10．已知数列{a n }，“对任意的

23D ．－或－

32

n ∈N *, 点P n (n , a n ) 都在直线y =3x +2上”是

“{a n }为等

{a n }

中，

2(a 1+a 4+a 7) +3(a 9+a 11) =24，则此数列的

前13项之和等于（ ）

差数列”的

A ．充分而不必 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 11．等差数列{a n }的前

要条

件

A ．13 C ．52

B D ．156

．26

n 项和为S n ，

S 30=12S 10，S 10+S 30=130，则S 20=

A ．40 C ．60

B

（ ）

．

50

等差数列时，有a 0-4a 1+6a 2-4a 3+a 4=0，

由此归纳：当a 0, a 1, a 2 a n 成等差数列

D ．70

12．等比数列{an }中，a 1=512，公比q=-

1，2

02n

时有c n a 0-c 1) n c n a n n a 1+c n a 2- +(-1

用Ⅱn 表示它的前n 项之积：Ⅱn =a1·a 2„a n 则Ⅱ1，Ⅱ2，„，中最大的是

A ．Ⅱ11 C ．Ⅱ9

B

．

Ⅱ

如果a 0, a 1, a 2, , a n 成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为 .

16．在等比数列{a n }中, 记

S n =a 1+a 2+ +a n , 已知a 3=2S 2+1,

10

D ．Ⅱ8

a 4=2S 3+1, 则公比q ＝ ；

三、解答题：本大题共9小题，共108分. 17．（本小题满分12分） 已

知

数

列

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共

20分.

13．某网络公司，1996年的市场占有率为A ，根

据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如图所示：

则该公司1998年的市场占有率

为 ；如果把1996年作为第一年，那么第n 年的市场占有率为 .

14．若含有集合A={1，2，4，8，16}中三个元素

的A 的所有子集依次记为B 1，B 2，B 3，„，B （其中n ∈N*），又将集合B （2，3，„，n i i =1，

n ）的元素的和记为a i ，则a 1+a 2+a 3 + +a n

15．当a 0, a 1, a 2成等差数列时，有

{a n }

满足

a 2a +11

a 1=, 且当n >1, n ∈N *时, 有n -1=n -1.

5a n 1-2a n

（Ⅰ）求证：数列{

1

}为等差数列； a n

（Ⅱ）试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.

a 0-2a 1+a 2=0, 当a 0, a 1, a 2, a 3成等差数列

时，有

a 0-3a 1+3a 2-a 3=0, 当a 0, a 1, a 2, a 3, a 4

成

18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足

a 1=3a (a >0), a n +1

2

a n +a 2a -a

=, 设b n =n

2a n a n +a

（1）求数列{bn }的通项公式；

（2）设数列{bn }的前项和为S n ，试比较S n 与

7

的大小，并证明你的结论. 8

19．（本小题满分12分）

已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 3=11, S 9=153,

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设a n =log 2b n ，证明{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .

20．（本小题满分12分）

已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1a 6=21, S 6=66. （1）求数列{a n }的通项公式a n ；

a +3 （2）设b n =n ⋅2

4

项和T n .

a n +34

，求数列{b n }前n

21．（本小题满分12分）已知函数

P ，„，P ，„，已知当n ≥2时，点P 是把线段P n －1 Pn+1作n 等分的分点中最靠近P n+1的点，设线段P 1P 2，P 2P 3，„，P n Pn+1的长度分别为a 1，a 2，a 3，„，a n ，其中a 1=1.

*

（Ⅰ）写出a 2，a 3和a n （n ≥2，n ∈N ）

f (x ) =log a x (a >0且a ≠1),

若数列：

的表达式；

（Ⅱ）证明：a 1+a 2+a 3+„+a n

*

2, f (a 1), f (a 2), „，

（Ⅲ）设点. M n (n , a n )(n >2, n ∈N *), 在这

*

f (a n ), 2n +4(n ∈N ) 成等差数列.

（1）求数列{a n }的通项a n ；

（2）若0

n →∞

些点中是否存在两个点同时在函数 y =

k

如果(k >0) 的图象上，2

(x -1)

（3）若a =2, 令b n =a n ⋅f (a n ) ，对任意

n ∈N *, 都有b n >f -1(t ) , 求实数t 的取值范

围. 22．（本小题满分14分）x 轴上有一列点P 1，P 2，

存在，请求出点的坐标；如果不存在，

请说明理由.

数列单元测试 (B卷) 答案

一、选择题：

7A

; (2-21-n ) A

二、填空题：13．4. 14. 186

C n -c n C m (-1) a ⋅a ⋅a ⋅ ⋅a 012n 15．

1

2

n n

C n

=1. 16. 3

）

当

三、解答题： 17．解

：（Ⅰ

⎧a 1+2d =11

⎪

解得d =3, a 1=5, ∴a n =3n +2. ⎨9⨯8

9a +d =1531⎪2⎩

…………4分 （

a n

a 2a +1

n ≥2时, 由n -1=n -1得, a n -1-a n -4a n -1a n =0

a n 1-2a n

…………2分 两边

同

除

以

2）

b n +12a n +1

b n =2, =a n =2a n +1-a n =23=8, ∴{b n }

b n 2

是公比为8的等比数列. ……4分

又

有

11

a n a n -1得, -=4

a n a n -1

，…………4分

11-=4对n >1且n ∈N *a a n -1即n 成立，

b 1=2=32

…………4分

a 1

32(1-8n ) 32n

∴T n ==(8-1).

1-87

11

是以=5

a 1

∴a n 为首项，d=4为公差的等差数列. …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，111=+(n -1) d =4n +1, 所以, a n =. a n a 14n +1 ……8分

6(a 1+a 6)

=66. ∴2

又a 1a 6=21，∴a 1、a 6是二次方程x 2-22x +21=0的20. (I )

{a n }为等差数列. ∴S 6=

又公差d >0. ∴a 6>a 1. ∴a 1=1, a 6=21. 21-1由a 6=a 1+(6-1)d =21得d ==4,

5

∴通项公式a n =4n -3... ⋯. ⋯. ⋯(6分)

∴

a 1a 2=

111⨯=.

5945 …………9分

{a n }的第t 项，则

设a 1a 2是数列

a t =

11

=, 4t +145

解得，t=11∈N*，………11分

a n +3a n 4+3

2=n 2n ,.. ⋯. ⋯(II )由a n =4n -3，得b n =4

∴T n =2+222+323+424++n 2n , 两边同乘以2得：2T n =22+223+324+两式相减得

+(n -1)2n +n 2n +1,

+2n -n 2n +1

{a }∴a 1a 2是数列n 的第11项. …………12

分

18．（1） （2）

b n =

12n -1

T n -2T n =2+22+23+24+ =

2(1-2n )1-2

1 =2n +1-2-n 2n +1

-n 2n +1

S n -

[1**********]1

=(4+8+16+ +) -

18=[1**********]81-2

19．（本小题满分12分）

解：（

(1-n )2n +1-2

∴T n =(n -1)2n +1+2... ⋯. ⋯. ⋯(12分)

21

．

（

1

）

1）

2n +4=2+(n +2-1) d , ∴d =2, ∴f (a n ) =2+(n +1-1) ⋅2=2n +2, ∴a n =a 2n +2

a 4(1-a 2n ) a 4

lim S n =lim =. 22n →∞n →∞1-a 1-a （2）

（

3

）

1

1-() n -1

11112≤1+1++2+ +n -2=1+=3-() n -2

2222

1-2

…………9分

而n =1时，易知a 1=1

*2n +3

a ) b n =a n ⋅f (a n ) =(2n +2) a 2n +2=(2n +2) ⋅22n +2=(n +12a . a 3+ +a n

（III ）假设有两个点A

b n +1n +2

=⋅4>1b n n +1

∴b n +1>b n .

（

p , a p ), B (q , a q )(p ≠q , p

*

q ∈N 、，且

∴{b n }为递增数列 ∴b n 中最小项为b 1=2⋅25=26, f -1(t ) =2t , ∴26>2t , ∴t

22．解：（I ）由已知

p >2, q >2) ，

y =

都在函数

k (x -1) 2

上，即

a p =

P n -1P n =(n -1) P n P n +1, 令

k k

, a =. q

(p -1) 2(q -1) 2

(p -1) 2(q -1) 2

=k , =k ,

(p -1)! (q -1)! 所以消去k 得

n =2, P , …………1分 1P 2=P 3P 4, 所以a 2=1

令

n =3, P 2P 3=2P 3P 4, 所以a 3=

……………2分

1

,

2……………

(p -1) 2(q -1) 2

=

(p -1)! (q -1)! ，……①…………11分

同理，

a n 1

=, a n -1n -1

n 2

{b n },b n =

n ! 的增减情况，以下考查数列

b n -b n -1

n 2(n -1) 2n -(n -1) 2n 2-3n +1

=-==-n ! (n -1)! (n -1)! (n -1)!

所以

，

a n =

111111

a n -1=⋅a n -1= =⋅ ⋅1n -1n -1n -2n -1n -22

1

(n ≥2). (n -1)!

=

2

当n >2时，n -3n +1>0，所以对于数

列

{b n }有b 2>b 3>b 4> >b n >

……………………13分

所以①式不能成立，所以，不可能有两个点

……………………4分 （II ）因为1111

=≤=n -2(n ≥2)

(n -1)! 1⨯2⨯3⨯4 ⨯(n -1) 2⋅2⋅2 22…………6分 所

a 1+a 2+a 3+ +a n =1+

111++ +1! 2! (n -1)!

y =

同时在函数

k

上. 2

(x -1) ……14

以