椭圆焦半径的又两种计算方法
22数学通讯 2001年第11期
椭圆焦半径的又两种计算方法
玉邴图
(广南县一中,云南 663300)
中图分类号:O122-42 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)11-0022-02
文[1]将高中解析几何课本一道习题作
推广、引申,得到了椭圆焦半径的五种计算方法,随后笔者进一步研究,又得到两种计算方法,供参考.
方法1 P(xp,yp)是椭圆b2x2+a22=ab(a>b>0)上任一点,F1(,0),2(c,0)是左右焦点,若F1,1)max{|1|PF2|}a+
c-btg2)min{|c-btgα.
2
2
2
2
2
2
2
2
222
∴r21+r2=2d+2c.又∵r1+r2=2(1),((1)(2)
{a+{r1,r2}=a-
d2-b2,d2-b2.
PF1|,|PF2|}=a-
焦半径的这两种计算方法也有着广泛的应用,下面略举数例说明.
例1 F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=60°,且|PF1|・|PF2|等于椭圆的长半轴长的平方,试求此椭圆的离心率e.
解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距依次为a,b,c,又知2α=60°,即α=30°.
22
由方法1得|PF1|・|PF2|=a-(c-).b2tg2α
∴a2=a2-c2+b2tg230°.
∴c2=b2・tg230°=(a2-c2).
3
22
∴4c=a.
故e=.
2
例2 (2000年希望杯赛题)圆x2+y2=r2经过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),它们的一个交点为P,若△PF1F2的面积为26,椭圆长轴为15,试求a+b+c的值.
解1 ∵圆以F1F2为直径,∴∠F1PF2=90°.由题设及方法1得
)=2b2.|PF1|・|PF2|=a2-(c2-b2tg245°
c
[1]性质1得
证 由题设及文[2]性质1的1)知xp=222222-btgα=-btgα,由文
e
max{|PF1|,|PF2|}=a+exp =a+c2-b2tg2α.
min{|PF1|,|PF2|}=a-exp
=a-c2-b2tg2α.
方法2 P是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上任一点,F1(-c,0),F2(c,0)是左右焦点,若点P到原点O的距离为d,则
1)max{|PF1|,|PF2|}=a+
d-b;
2)min{|d-b.
2
2
2
2
PF1|,|PF2|}=a-
证 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,在△PF1F2中,由现行高中解析几何课本P6
222
例2结论得r21+r2=2(|OP|+|OF1|).
2001年第11期 数学通讯23
一个最值问题的物理模型
龙旺章
(隆回县第一中学,湖南 422200)
中图分类号:O122-45 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)11-0023-01
,求函数2
弧自由运动,由其总能量守恒可知,当其运动速度最大时,其电势有最小值,此时,其切向加速度必为零,设点电荷a对单位电荷eFA,点电荷be,Fx=ax=0,则在点,=FBsinx,
・sinx.2・xcos2x
题1 已知a>0,b>0,0
f(x)=
sinx
+
cos的最小值.
解 如图1,APB为一以|AB|=1为直径的半圆,设A点有带电为a的点电荷,B点有带电为
b的点电荷.对于弧上一
tgx=
bb
3
3
.
点P,令∠PAB=x,AP=sinx,,1 题1图
所以,当x=arctg
f(x)亦有最小值:
f(x)min=a
a
3
时,Up有最小值,
3
2
据点电荷U=k
.则P点电势r
)(k为静电常UP=+=k(+
sinxcosxsinxx
+1
2
+b
b
+1
数).这样,原问题便转化为在APB上找一点P0,使
UP0为最小值.设想有一单位正电荷e从B点沿圆
=a3+b3
2
.
∴S△PF1F2=
b2=26.
|PF1|・|PF2|sin90°=2
a-b=
2
2
又∵a=
,∴c=2.2
点,试求|PF1|・|PF2|的最大值和最小值.
解 由题设及方法2知|PF1|・|PF2|=a2+b2-d2=5-d2.
由椭圆的几何性质知:
dmax=a=2,dmin=b=1.∴|PF1|・|PF2|
max
∴a+b+c=13+.
解2 同解1得∠F1PF2=90°,由Rt△
的性质知|OP|=d=|F1F2|=c.由方法
2
2得
|PF1|・|PF2|=a2-d2+b2=a2-c2+b2=2b2.
=5-12=4,
|PF1|・|PF2|min=5-22=1.
与方法1,2有关的问题还有许多,在此不一一赘述. 参考文献:
[1] 玉邴图.研究课本习题培养创新能力.数学通
以下同解1.
例3 (1996年希望杯赛题)F1,F2是椭圆
2
4
+y2=1的两个焦点,P为椭圆上动
讯.2000(23).P22-23.[2] 玉邴图.一道课本复习题教学之我见.数学通
讯.1998(3).P16-18.