利用零点分段法解含多绝对值不等式

利用零点分段法解含多绝对值不等式

对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．

一、步骤

通常分三步：

⑴找到使多个绝对值等于零的点．

⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ⑶将分段求得解集，再求它们的并集．

二、例题选讲

例1 求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．

分析：据绝对值为零时x 的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．

⎧x +2 (x ≥-2) ⎧x -1 (x ≥1) 解：∵ |x ＋2|＝⎨，|x －1|＝⎨． -x -2 (x

故可把全体实数x 分为三个部分：①x ＜－2，②－2≤x ＜1，③x ≥1．

所以原不等式等价于下面三个不等式组：

⎧x 3⎩⎧x >1，或(Ⅲ) ⎨x +2+x -1>3⎩⎧-2≤x 3⎩

不等式组(Ⅰ) 的解集是{x |x ＜－2}，

不等式组(Ⅱ) 的解集是∅，

不等式组(Ⅲ) 的解集是{x |x ＞1}．

综上可知原不等式的解集是{x |x ＜－2或x ＞1}．

例2 解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．

解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞) 三部分，故分三个区间来讨论．

⑴ 当x ≤1时，原不等式可化为－(x －1) －(x －2) ＞x ＋3，即x ＜0．故不等式的解集是{x |x ＜0}．

⑵ 当1＜x ≤2时，原不等式可化为(x －1) －(x －2) ＞x ＋3，即x ＜－2．故不等式的解集是∅．

⑶ 当x ＞2时，原不等式可化为(x －1) ＋(x －2) ＞x ＋3，即x ＞6．故不等式的解集是{x |x ＞6}．

综上可知，原不等式的解集是{x |x ＜0或x ＞6}．

例3 已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，求a 的取值范围． 解：∵ x ＝5时，|x －5|＝0；x ＝3时，|x －3|＝0．

⑴当x ≤3时，原不等式可化为－x ＋5－x ＋3＜a ，即a ＞8－2x ，由x ≤3，所以－2x ≥－6，故a ＞2．

⑵当3＜x ≤5时，原不等式可化为－x ＋5＋x －3＜a ，即a ＞2．

⑶当x ＞5时，原不等式可化为x －5＋x －3＜a ，即a ＞2x －8＞10－8＝2，故a ＞2． 综上知a ＞2．

无理不等式与绝对值不等式

●考试目标 主词填空

1. 含有绝对值的不等式

①|f (x )|0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a ②|f (x )|>a (a >0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f (x )>a 或f (x )

③|f (x )|>|g (x )|⇔ f 222. 无理不等式

对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组) 求解. 其基本类型有两类: ①⎧⎧g (x ) g (x ) ⇔⎨或 ⎨2f (x ) ≥0⎪[]f (x ) >g (x ) ⎩⎩

②⎧f (x ) ≥0⎪f (x )

⎪2⎩f (x )

3. 含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”.

4. .

5. 三角不等式

||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |,此不等式可推广如下：

|a 1+a 2+a 3+„+a n ||a 1|+|a 2|+|a 3|+„+|a n |当且仅当a 1, a 2, a 3, „a n 符号相同时取等号.

●题型示例 点津归纳

【例1】 解无理不等式. (1)x -1>2; (2)

(3) x -1>2x －4; x +1

⎧x -1≥0【解前点津】 (1)因2>0,故原不等式可化为不等式组:⎨. ⎩x -1>4

(2)因右边2x 符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.

⎧x -1≥0⎧x ≥1【规范解答】 (1)化原不等式为:⎨⇒⎨⇒x >5. x -1>4x >5⎩⎩

⎧x -1≥0⎧x -1≥0⎪(2)化原不等式为:⎨2x -4≥0 或⎨⎩2x -4(2x -4) ⎩

⎧x ≥2⎧x ≥117+17+. ⇒⎨2或⎨⇒2≤x

(3)化原不等式为两个不等式组:

⎧x ≥-1⎧x +1≥0⎪1⎪⎪⇒⎨x ≥-⇒x >0. ⎨2x +1≥02⎪⎪2x +10

【解后归纳】 将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算. 对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.

【例2】 解下列含有绝对值的不等式：

(1)|x 2－4|≤x +2;

(2)|x +1|>|2x －1|;

(3)|x －1|+|2x +1|

【解前点津】 (1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x +2)≤x 2－4≤(x +2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x =1,－1时, 有x －1=0及2x +1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号. 2

【规范解答】 (1)原不等式可化为:

2⎧⎪x +x -2≥0⎧x ≤-2或x ≥1－(x +2)≤x －4≤x +2⇒⎨. ⇒⎨2-2≤x ≤3⎪⎩x -x -6≤0⎩2

故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.

(2)化原不等式为|x +1|2>|2x －1|2 ⇒(2x －1) 2－(x +1)2

(2x －1+x +1)·(2x －1－x －1)

(3)令x －1=0得x =1,令2x +1=0得x =－1. 2

1⎧411⎤⎪x ≤-⎛当x ∈ -∞, -⎥时, 原不等式可化为:－(x －1) －(2x +1)

⎛1⎤当x ∈ -, 1⎥时, 原不等式可化为:－(x －1)+(2x +1)

⎧11⎪-

⎧x >14当x ∈(1,+∞) 时, 原不等式可化为:(x －1)+(2x +1)

⎛41⎤⎛1⎤⎛4⎫⎛44⎫综上所述知: -, -⎥⋃ -, 1⎥⋃ 1, ⎪= -, ⎪为原不等式解集. ⎝32⎦⎝2⎦⎝3⎭⎝33⎭

【解后归纳】 解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段? 分几段? 这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n 个不同的分点，将数轴分割成了(n +1)段.

【例3】 若不等式x >ax +3的解集是(4,m ), 求a , m 的值. 2

3(x ≥0) 的图像. 若2【解前点津】 在同一坐标系中作出两个函数y =x (x ≥0) 及y =ax +

y =x 的图像位于y =ax +3图像的上方，则与之对应的x 的取值范围就是不等式的解. 2

3【规范解答】 设y 1=x , 它的图像是半条抛物线; y 2=ax +(x ≥0), 它的图像是经过点(0, 2

3), 斜率为a 的一条射线. 2

33的解即当y 1=x 的图像在y 2=ax +(x ≥0) 的图像上方时相应的x 的22

33取值范围，因为不等式解集为(4,m ), 故方程x =ax +有一个解为4, 将x =4代入x =ax +22

31得:4=4a +⇒a =. 28

13再求方程x =x +的另一个解，得:x =36,即m =36. 82不等式x >ax +

【解后归纳】 用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.

【例4】 解不等式|log 2x |+|log 2(2－x )|≥1.

【解前点津】 从x 的可取值范围入手，易知0

【规范解答】 ∵x >0且2－x >0故0

当x ∈(0, 1]时, 因lo g 2x ≤0,lo g 2(2－x ) ≥0, 故此时原不等式为:

－lo g 2x +log 2(2－x ) ≥1⇒lo g 22-x ≥lo g 22 x

⎧2-x ≥2⎧2-x ≥2x 2⎪⇒⎨x ⇒⎨⇒0

当x ∈(1,2)时, 因为lo g 2x >0,log 2(2－x )

lo g 2x －lo g 2(2－x ) ≥1⇒lo g 2x ≥lo g 2 22-x

⎧x ≥2⎧x ≥2(2-x ) 4⎪⇒⎨⇒≤x

⎛2⎤⎡4⎫故原不等式的解集为 0, ⎥⋃⎢, 2⎪. ⎝3⎦⎣3⎭

【解后归纳】 本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.

5.2.3无理不等式的解法

一、引入：

1、无理不等式的类型： ①、⎧f (x ) ≥0⎫⎪⇒定义域 f (x ) >g (x ) 型⇔⎨g (x ) ≥0⎬⎭⎪f (x ) >g (x ) ⎩

②、⎧g (x ) ≥0⎧g (x ) g (x ) 型⇔⎨f (x ) ≥0或⎨⎪f (x ) >[g (x )]2⎩f (x ) ≥0⎩

⎧f (x ) ≥0⎪ f (x ) 0⎪f (x )

二、典型例题：

例1、解不等式x -4-

例2、解不等式-x 2+3x -2>4-3x

例3、解不等式2x 2-6x +4

例4、解不等式2x +1>

例5、 解不等式x 2+1-ax ≤1(a >0)

例6、解不等式2-x +

三、小结：

x -3>0 x +1-1 x -1>1

四、反馈练习：

解下列不等式

1．2x -3+x -5>x -6

2．3x -3+x +3

3．4--x >2-x

4．(x -1) x 2-x -2≥0

5．2-x -x +1>1

第6课 无理不等式与绝对值不等式习题解答

1.C 对a =3进行检验，考虑不等式的几何意义.

2.C 利用x >0,化简另一个不等式.

3.D 由0

4.B 由4－x ≥0且x +1>0且4－x

5.B 分别画出:y =a 2-x 2, 与y =2x +a 的图像，看图作答.

6.B |x －a |

当|x －y |

7.A 若0|lgc |>|lgb |>0,ac －1－(a +c )=ac +1－a －c =(c －

1) ·(a －1)8.B 因x >0,当log 2x

9.B 4-x 2≥-|x |, 当0

⎧⎧-2≤x

10. 由(|x |－1) ·(|x |－3)

11. 由x ≥0知, x －x －2≤0,( x －2) ·(x +1)≤0⇔0≤x ≤2⇔0≤x ≤4.

12. 考察y =-x 2, y =x +a 的图像, 即直线y =x +a 在半圆x 2+y 2=1(y ≥0) 上方⇒a ∈(2,+∞).

⎧3-x ≥0⎧x +3≥013.(1)化原不等式为:⎨或⎨⇒13⇒x >1. x +3>(3-x ) 3-x

⎧x ≥-1⎧x +1≥0⎪⎪22⎪2(2)化原不等式为:⎨1-2x ≥0 ⇒⎨-≤x ≤22⎪⎪22⎩(x +1) ≥1-2x ⎪3x 2+2x ≥0⎩

⎡22⎤⎡2⎤⇒原不等式解集为:⎢-, -⎥⋃⎢0, ⎥. 3⎥⎢⎣2⎦⎢⎣2⎥⎦

3⎧⎧3⎧x >5⎪x ≤-⎪-

115,故原不等式解集为:(－∞, －7) ∪(,+∞). 33

15. 由a (a －x ) ≥0⇒x ≤a . 解之:x

a a 时, a －2x

a 3a a (2)当x ≤时, a －2x ≥0, 平方得a (a －x )>(a －2x ) 2,0

综上所述得:(0, a ].

16. 化原不等式为:|2loga x +1|－11|loga x +2|

1111则|2t +1|－|t +2|

1当a >1时, 解集为(, a ), a

1当0