基本不等式
解不等式
1.不等式2xx20的解集为 . 2.不等式
x3
x2
<0的解集为 ( ) (A)x2x3
(B)xx2 (C)xx2或x3 (D)xx3
3.不等式
x5
(x1)
2
2的解集是_________. 4.不等式x2
x2
3x2
0的解集是 . 5.不等式(1x)(2x)0的解集为 ( )
(A)(,1)(2,) (B) (,2)(1,) (C)(1,2) (D) (2,1)
6.已知不等式ax2
bxc0的解集为{x|12
3x2},则不等式cxbxa0的解为
( )
(A){x|3x1
(B)x|x3或x
12
2 (C)x|2x1 (D)13
x|x2或x3
7.解关于x的不等式:2x1
x3
8.解不等式x2x1.
9.解不等式x2x43
10.解不等式
0x2
x24.
10已知不等式ax2
3x64的解集为{x|x1或xb}.
(1)求a,b; (2)解不等式ax2(acb)xbc0.
基本不等式
1. 若
aR,下列不等式恒成立的是 ( )
A.a2
1a B.12
a21
1 C.a296a D.lg(a1)lg|2a|
2. 若0ab且ab1,则下列四个数中最大的是 ( )
A.1
2
2
B.
ab2
C.2ab D.a
3. 设x>0,则y33x1
x
的最大值为 ( )
A.3
B.3 C.3
D.-1
4. 设x,yR,且xy5,则3x
3y
的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D. 5. 若x, y是正数,且1x4
y
1,则xy有 ( )
A.最大值16 B.最小值
116 C.最小值16 D.最大值1
16
6. 若a, b, c∈R,且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 ( )
A.a2b2c22 B.(abc)2
3
C
.
1a
1b
1c
D
.abc7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A.
1xy14 B.111
xy
1 C
2 D.xy1 8. a,b
是正数,则
ab
ab
2
,2ab
三个数的大小顺序是 ( )
A.ab2ab2ab
ab2ab
2
ab
C.
2ababab2
D.2abab
ab
2
9. 某产品的产量第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年平均增长率为x,则有(A.xpq2 B.xpqpqpq
2 C.x2 D.x2
10. 下列函数中,最小值为4的是 ( )
A.yx
4x
B.ysinx4sinx (0x)
C.yex4ex D.
ylog3x4logx3
二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上. 11.
函数y12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m2 的造价为200元和
150元,那么池的最低造价为.
13. 若直角三角形斜边长是1,则其内切圆半径的最大值是x2y214. 若x, y为非零实数,代数式xy
y2x28(yx
)15的值恒为正,对吗?答三、解答题, 本大题共4小题,每小题12分,共48分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和
演算步骤.
15. 已知:x2y2a,m2n2b(a,b0), 求mx+ny的最大值.
16. 设a, b, c(0,),且a+b+c=1,求证:(111
a1)(b1)(c1)8.
17. 已知正数a, b满足a+b=1(1)求ab的取值范围;(2)求ab
1
ab
的最小值.
)
简单的线性规划
一、画出下列不等式表示的平面区域:
(1)x -y +6<0 (2)2x3y60 (3)2x5y100 (4)4x3y12 二、画出下列不等式组表示的平面区域:
x2y1.(1)y2x112
20 (2)
xy3xy6
0x8
2xy5y2(3)xy4 (4)
x0x2y30
x30
5x3y50xy20
2、画出不等式组
xy30,表示的平面区域,并求其面积。
3x03、若点(1,3)和(-4,-2)在直线2xym0的两侧,则m的取值范围是 4、用二元一次不等式组表示由直线xy20,2xy10及x2y10围成的三角
形区域(包含边界)。
xy5≥0,
5.已知x,y满足约束条件
xy≥0,则z2x4y的最大值为( )
x≤3.A.5
B.38
C.10
D.38
6.已知点P1
1(0,0),P2(11),,P33,0
,则在3x2y1≥0表示的平面区域内的点是( ) A.P1,P
2 B.P1,P
3 C.P2,P3
D.P2
x≤7.若
2,y≤2,则目标函数zx2y的取值范围是( )
xy≥2,A.[2,6]
B.[2,5]
C.[3,6]
D.[3,5]
8.给出下面的线性规划问题:求z3x5y的最大值和最小值,使x,y满足约束条件
5x3y≤15,y≤x1,
x5y≤3.9.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务.该公司有8辆载重6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次;每辆卡车每天往返的成本费A型为320元,B型为504元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?若只安排A型或B型卡车,所花的成本费分别是多少?
10.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表.
现在要在一天内运输至少2 000t粮食和1 500t石油,需至少安排多少艘轮船和多少架飞机?
x4y≤3,11.已知目标函数z2xy中变量x,y满足条件
3x5y25,则( )
x≥1.A.zmax12,zmin3 B.zmax12,无最小值 C.zmin3,无最大值
D.z无最大值,也无最小值
12. 满足|x||y|≤2的整点(横、纵坐标为整数)的个数是( ) A.11
B.12
C.13
D.14
2.1数列的概念及基本表示法
1.数列1,3,7,15,…的通项公式an 等于( ).
(A)2n (B)2n+1 (C)2n-1 (D)2
n-1
2.记数列{a2
n}的前n项和为Sn,且an=6n+2n-1,则Sn= ( ) A. n2(2n-1) B. n·(6n2+2n-1) C. 2n(n2
+2n-1) D. n·(2n2
+4n+1) 3.已知数列的通项an5n2,则其前n项和Sn .
4.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a1n}满足an+1=1-aa8=2,则a1=________.
n5数列a1n的通项公式an
nn1
,则该数列的前( )项之和等于9
A 98 B99
C96 D97
6 已知数列的S2
nnn1,则a8a9a10a11a12=_____________
7.数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________
8.设数列an中,a12,an1ann1,则通项an __________。
2.2 等差数列作业
1.等差数列—3,1,5,…的第15项的值是( ) A.40
B.53
C.63
D.76
2.在等差数列an中,已知a12,a2a313,则a4a5a6等于( )
A.40 B.42 C.43
D.45
3.(2013年上海高考数学试题(文科))在等差数列an中,若a1a2a3a430,则
a2a3_________.
4.(2013年高考大纲卷(文))等差数列an中,a74,a192a9,(I)求an的通项公式; 5若等差数列an中,a3a7a108,a11a44,则S13__________.
2.3 等差数列前n项和
1.已知an是等差数列,a1010,其前10项和S1070,则其公差d( )
A.
23 B.13 C.13 D.23
2.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
3.已知an是等差数列,a4a66,其前5项和S510,则其公差d . 4.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S1221,则a2a5a8a115.等差数列中,S10120,则a1a10=______.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9( ) A.63 B.45 C.36 D.27
7.设SS31S6
n是等差数列{an}的前nS63S12
=( )
A
3111
10 B 3 C 89
8.设Sn是等差数列an的前n项和,若S735,则a4( ) A.8 B.7 C.6 D .5
(2013年高考重庆卷(文))若2、a、b、c、9成等差数列,则ca____________. Sn等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若
T2n
,则an=( ) n3n1bn
A22n
3 B13n1 C2n13n1
D2n13n4 10.在数列{a中,a52
a2
n}n4n,1a2ananbn,nN*,其中a、b为常数,则
ab( )
(A)-1 (B)0 (C)-2 (D)1
2.4等比数列作业
1.21与21,两数的等比中项是( )
1
A.1 B.1 C.1 D.2
13
1
2.已知一等比数列的前三项依次为x,2x2,3x3,那么2是此数列的第( )项
A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2( )
A.4 B.6
C.8 D.10 4.已知等差数列
an的公差为2,若a1、a3、a4成等比数列,则a2等于( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.--10
1
5.在ABC中,tanA是以4为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tanB是以3为第三项,
9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对 6.在等比数列an中, 若a33,a975,则a10=___________.
7.在等比数列
an中, 若a1,a10是方程3x22x60的两根,则a4a7=___________.
8.在正项等比数列an中,a1a5
2a3a5a3a725,则a3a5_______。
a189.在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5,则a10等于( )
23A.23
或
3
232 B.3 C. 2 D. 3或2
2.5等比数列前n项和
1.等比数列
an中, a29,a5243,则an的前4项和为( )
A.81 B.120 C.168 D.192 2.在公比为整数的等比数列
an中,如果a1a418,a2a312,那么该数列的前8项之和为
225
( )A.513 B.512 C.510 D.8
3.在等比数列中,
a1a2a36,a2a3a43,则a3a4a5a6a7111993
( )A. 8 B. 16 C. 8 D. 4
4.在等比数列
an中,a15,S555,则公比q等于 ( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 2或4
5.某工厂去年产值为a,计划5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起五年内这个工厂的总产值为 ( )
A. 1.14a B. 1.15
a C. 101.151a D.
111.151
a 6.若等比数列an的前n项和
Sn2n
r,则r ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
n7.已知等比数列an中,an231
,则
由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( )A. 3n1
B. 313
n1
9n139n
1 C. 4 D. 4
8.等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为 ( )
66
22A. 54 B. 64 C.
360
D. 3
9.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3S62S9,求公比q。
2.6 数列综合应用
1.一张报纸,其厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的
n2+n
9.[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn,n∈N*.
2
(1)求数列{an}的通项公式;
厚度和面积分别为 ( ) (2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
1111
b C. 128a,b D. 256a,b A. 8a,b B. 64a,
864128256
1
2.已知公比为qq1的等比数列an的前n项和为Sn,则数列的前n项和为 10.[2014·全国卷] 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
an )A. qn
(S B. Sn1Snqn C. Sn1
D. 2n1 nnqa1q
3.[2014·重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 4.[2014·天津卷] 设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( ) A.2 B.-2 C.112 D.-2
5.求和:12x3x2
...nx
n1
6.[2014·北京卷] 已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和.
7.[2014·福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an;
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn
8.[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
11.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C.
n(n+1)n2(n-1)
2
12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a2
n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式;
(2)求数列an
2n
的前n项和.
13.[2014·重庆卷] 已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和. (1)求an及Sn;
(2)设{b2
n}是首项为2的等比数列,公比q满足q-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
1. 1.1正弦定理作业
1、 在ABC中,若3a2bsinA,则B等于 ( ) A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120
2、在ABC中,已知b
2,c1,B45,则a等于 ( )
A.
2
62
2B. 2
C. 21 D. 32
3、不解三角形,确定下列判断中正确的是 ( )
A. a7,b14,A30,有两解 B. a30,b25,A150,有一解 C. a6,b9,A45,有两解 D. b9,c10,A60,无解
4、在ABC中,已知3b2asinB,cosBcosC,则ABC的形状是(A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5、在ABC中,A60
,a3,则
abc
sinAsinBsinC
( )
A.
833 B. 239263
3 C. 3
D. 23 6、在ABC中,已知A30,C45
a20,解此三角形。
7、在ABC中,已知b3,c33,B30,解此三角形。
1. 1.2余弦定理作业
1. A为△ABC的内角,则sinAcosA的取值范围是( ) A. (2,2) B. (2,2) C. (1,2] D. [2,2]
2. 在△ABC中,若C900,则三边的比
ab
c
等于( ) A.
2cos
AB
2
B. 2coAB C. 2sinAB D.2siAB
22
2
3. 在△ABC中,若a7,b3,c8,则其面积等于( ) A. 12 B.
21
2
C. 28 D. 63 4. 在△ABC中,若(ac)(ac)b(bc),则A( ) A. 900
B. 600
C. 1200
D. 1500
二、填空题
5. 在△ABC中,若cos2Acos2Bcos2C1,则△ABC的形状是______________. 6. 在△ABC中,若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________. 7. 在△ABC中,若b2
ac,则cos(AC)cosBcos2B的值是_________.
三、解答题
8. 在△ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),请判断三角形的形状. 9. 如果△ABC内接于半径为R的圆,且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,求△ABC的面积的最大值.
10. 在△ABC中,若(abc)(abc)3ac,
且antAant3C3,
AB
边上的高为求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
)
1. 1.3 正、余弦定理综合作业
1.在△ABC中,若C900,a6,B300,则cb等于( ) A.1 B.1 C.2 D.2
2.若A为△ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A.sinA B.cosA C.tanA D.
1
tanA
3.在△ABC中,角A、B均为锐角,且cosAsinB,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为600
,则底边长=( )A.2 B.
3
2
C.3 D.23 5.在△ABC中,若b2asinB,则A等于( )
A.300
或600
B.450
或600
C.1200
或600
D.300
或1500
6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.900
B.1200
C.1350
D.1500
7.A为△ABC的内角,则sinAcosA的取值范围是( ) A.(2,2) B.(2,2) C.(1,2] D.[2,2]
8.在△ABC中,若C900
,则三边的比
ab
c
等于( ) A.2cosABABABAB
2 B.2cos2 C.2sin2 D.2sin2
9.在△ABC中,若a7,b3,c8,则其面积等于( ) A.12 B.
21
2
C.28 D.6 10.在△ABC中,∠C=90°,00
A450
,则下列各式中正确的是( ) A.sinA>cosA B.sinB>cosA C.sinA>cosB D.sinB>cosB
11.在△ABC中,若(ac)(ac)b(bc),则∠A=( ) A.900
B.600
C.1200
D.1500
tanAa2
12.在△ABC中,若tanBb2
,则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 13.在△ABC中,A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于( ) A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶3∶2 D.2∶∶1
14.在△ABC中,若C900,a6,c10,则AB边上的高等于( ) A.24 B.2.4 C.48 D.4.8
15.在△ABC中,若A2B,则a等于( )
A.2bsinA B.2bcosA C.2bsinB D.2bcosB
16.在△ABC中,若lgsinAlgcosBlgsinClg2,则△ABC的形状是( )A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 17.在△ABC中,若(abc)(bca)3bc,则A=( ) A.900
B.600
C.1350
D.1500
18.在△ABC中,若a7,b8,cosC13
14
,则最大角的余弦是( ) A.
15 B.16 C.11
7
D.8 二、填空题
1.在Rt△ABC中,C=900
,则sinAsinB的最大值是_______________。
2.在△ABC中,若a2b2bcc2
,则A_________。 3.在△ABC中,若b2,B300
,C1350
,则a_________。
4.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则C=_____________。
5.在△ABC中,AB
62,∠C=300,则AC+BC的最大值是________。
11.若在△ABC中,∠A=600,b1,Sabc
ABC,则
sinAsinBsinC
=_______。
12.若A、B是锐角三角形的两内角,则tanAtanB_____1(填>或
15.在△ABC中,若a,b2,c
2
2
则A_________。 三、解答题(四个小题,每题10分,共40分)
1.在△ABC中,若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么? 4.在△ABC中,设ac2b,AC
3
,求sinB的值。
5.在△ABC中,若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB),请判断三角形的形状。 7.已知△ABC的三边abc且ac2b,AC
2
,求a∶b∶c
8.在△ABC中,若b2
ac,求cos(AC)cosBcos2B的值。 9.在△ABC中,A1200,cb,a
21,SABC,求b,c。
10.[2014·天津卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=1
4,2sin B=3sin C,则cos A的值为________. 11.[2014·广东卷] 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则a
b=________.
12.[2014·安徽卷] 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;(2)求sinπ
A4
的值.
13.[2014·北京卷] 如图1-2,在△ABC中,∠Bπ
3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=17(1)求sin∠BAD; (2)求BD,AC的长.
图1-2
14.[2014·福建卷] 在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 3,则△ABC的面积等于________. 15.[2014·湖南卷] 如图
1-5所示,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.
图1-5
(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD721
14,sin∠CBA=6,求BC的长.
16.[2014·江西卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π
3,则△ABC的面积是( ) A.3 B.9 3 C.3 3
2 2 D.3
3
17. [2014·全国卷] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=1
3,求B. 18.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为________.
4.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是1
2AB=1,BC=2,则AC=( ) A.5 5 C.2 D.1
19.,[2014·山东卷] 在△ABC中,已知→AB·→AC=tan A,当A=π6时,△ABC的面积为______. 20. [浙江卷] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c3,cos2A-cos2B=3sin Acos A3sin Bcos B.
(1)求角C的大小;(2)若sin A=4
5△ABC的面积.