函数的表示方法,函数的奇偶性单调性
承接上次课:
函数的表示方法:解析法:
(函数的解析式是函数的一种常用的表示方法, 要求两个变量间的函数关系, 一是要求出它
们之间的对应法则, 二是要求出函数的定义域;
无论运用哪种方法表示函数, 都不能忽略函数的定义域; 对于分段函数, 还必须注意在不同的定义范围内, 函数有不同的对应关系, 必须先分段研究, 再合并写出函数的表达式.
)
解题方法及其题型:
1. 定义法:已知f (2x +1) =x 2+1,求f (x ) ;
解:(1)设t =2x +1,则x =t -1
2
,
∴f (t ) =(
t -1
2
2
+1.
从而f (x ) =(
x -1
2
2
+1.
2. 换元法:
{已知f[g(x)]求f (x ),把g (x )看成一个整体,进行换元,解出f (x )}
例题:已知f (1x
x ) 1-x f (x ) .
解法一:设t =1x x =1t t ≠0) ,代入f (1x
x =1-x 2
,
1
得f (t ) =
t t x
t 2
-1f (x ) =1-(1x 2-1
(x ≠0) . t
2
1
解法二:∵f 1x =x x x
1-x 2
,∴f (x ) =2x ≠0) . (12x x
-1
-1
3. 配凑法:
4. 方程组法:
例题1:已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ,求f (x ) . 1
解:2f (x ) +f () =3x ①,
1x
x
113
把①中的x 换成2f +f (x ) =②,
x x x
31
①×2-②得3f (x ) =6x -,∴f (x ) =2x -x x
例题2:
5. 特殊值法:
6. 待定系数法:
{已知函数类型: 一次函数y=ax+b;
二次函数:y=ax^2+bx+c;
反比例函数:y=k/x(x不等于0)}
例题1:已知f (x ) 是一次函数,
且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17, 求f (x ) ;
解:设f (x ) =ax +b (a ≠0) ,
则3f (x +1) -2f (x -1)
=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17,
∴a =2,b =7,∴f (x ) =2x +7.
例题2. 求一个一次函数f(x), 使得f{f[f(x)]}=8x+7 解:设f(x)=ax+b(a≠0)则 f{f[f(x)]} =f{f[ax+b]}
=f[a(ax+b)+b]=?
解:设f(x)=ax+b(a≠0),
依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7
∴a^3 x+b(2a+a+1)=8x+7,∴f(x)=2x+1
7. 函数性质法:
8. 反函数法:
9. 图像法:
第三课时:函数的的单调性、函数的奇偶性
一、单调性:
定义: 1. 增函数:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
2. 减函数:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,
如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f(x2) ,那么就说f(x)在区间D 上是减函数。
3. 函数的单调性定义:
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间:
4. 判断函数单调性的方法步骤:
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
2 作差f(x1) -f(x2) ; ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负); ○
5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)。 ○
方法:
1、直接法:(一次函数、二次函数、反比例函数单调性可以直接说) y =f(x)与y =-f(x) 单调性相反 在公共区间内,增+增=增,减+减=减 2、图像法:
单调区间是定义域的子集
3、分析法:同增异减
5. 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1
f (x 1) >f (x 2) ) .
3反映在图象上,若f (x ) 是区间D 上的增(减)函数,则图象在D 上的部分从左到右是○
上升(下降)的。
例题1:. 求证:函数f (x )=x +
解:设x 1
1(0,1)上是减函数
,在区间x
f (x 1)-f (x 2)=x 1+ =(x 1-x 2)+
11-x 2-x 1x 2
x 2-x 1x 1x 2
⎛1⎫
=(x 1-x 2) 1-⎪
x x ⎝12⎭(x x -1) =(x 1-x 2)12
x 1x 2
∵
x 1
x 1x 2∈(0,1)x 1x 2>0
∴
x 1x 2-1
∴f (x 1)-f (x 2)>0 ∴f (x 1)>f (x 2)
∴f (x )=x +例题2:
1
在区间(0,1)上是减函数。 x
若函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上是增函数,那么 ( C ) A.b>0 B. b0 D.m
例题3:
函数y =
x 2+2x -3的单调减区间是 ( C )
A. (-∞, -3] B.[-1, +∞) C.(-∞, -1] D.[1, +∞)
例题4:
已知函数y =8x +ax +5在[1, +∞) 上递增,那么a 的取值范围是__[-16,+∞)______.
2
例题5:设函数f (x ) 为R 上的增函数,令F (x ) =f (x ) -f (2-x )
(1)、求证:F (x ) 在R 上为增函数
(2)、若F (x 1) +F (x 2) >0,求证x 1+x 2>2
解:
例题6:
定义域为R 的函数f (x )在区间( —∞,5)上单调递减,对注意实数t 都有
f (5+t ) =
f (5-t ) ,那么f (—1),f (9),f (13)的大小关系___f(9)<f(—1) <f(13)___
二、最小值、最大值: 最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f(x0) = M
那么,称M 是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value)。 最小值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≥M ; (2)存在x 0∈I ,使得f(x0) = M
那么,称M 是函数y=f(x)的最小值(Minimum Value)。 求最大值与最小值的方法:
1)图象法 2)配方法(二次函数) 3)判别公式法 (二次函数)
2
例题1. 函数f (x ) =x -2ax +a +2在[0,a ]上的最大值为3,最小值为2,则a 的值为
( C )
A .0 B .1或2 C .1 D .2
2
例题2. 已知函数f (x ) =x +2ax +2,x ∈[-5,5],
(1)当a =-1时,求函数f (x ) 的最大值与最小值;
(2)求实数a 的取值范围,使函数y =f (x ) 在区间[-5,5]上是单调函数。 解:
2
(1)当a =-1时,f (x ) =x -2x +2的图象的对称轴为直线x =1.
∴f (x ) min =f (1)=1,f (x ) max =f (-5) =37.
2
(2)∵函数f (x ) =x +2ax +2在[-5,5]上是单调函数,∴区间[-5,5]一定都在抛物线的对称轴x =-a 的同一侧.
∴-a ≤-5或-a ≥5,即a ≥5或a ≤-5.
∴所求实数a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
三、奇偶性
对于函数f (x ) ,其定义域关于原点对称: ..........
偶函数:一般地,对于函数f (x ) 的定义域内的任意一个x ,都有f (-x ) =f (x ) ,那么f (x ) 就叫做偶函数.
奇函数:一般地,对于函数f (x ) 的定义域的任意一个x ,都有f (-x ) =-f (x ) ,那么f (x ) 就叫做奇函数.
具有奇偶性的函数的图象的特征:
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:
(1)用奇、偶函数的定义,主要考察f(-x)是否与-f(x),f(x),相等。 (2)利用一些已知函数的奇偶性及下列准则:
奇+奇=奇;偶+偶=偶;奇+偶=既非奇函数,也非偶函数; 奇x 奇=偶;偶x 偶=偶;奇x 偶=奇。
例题1. 判断下列函数是否具有奇偶性
2
(1) f (x ) =2x (2)f (x ) =(x -1) 2
(3)f (x ) =0 (4)f (x ) =x -1, x ∈(0, 1)
(5)f (x ) =x -1+-x (6)f (x ) =x 5+2x 3+3x
解:(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)偶函数(4)非奇非偶函数
(5)非奇非偶函数(6)奇函数
例题2.判断下列函数是否是偶函数. (1)f (x ) =x
2
x ∈[-1,2]
x 3-x 2
(2)f (x ) =
x -1
解:函数f (x ) =x , x ∈[-1,2]不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.
2
x 3-x 2
函数f (x ) =也不是偶函数,因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1},并不关于
x -1
原点对称.
点评:判断函数的奇偶性,先看函数的定义域。 例题3:(1)、f (x ) =x +x (2)、f (x ) =(x -1)
3
x +1
x -1
(3)、解:
f (x ) =
x 2-4+2-x 2
33
(1)函数的定义域为R ,f (-x ) =(-x ) +(-x ) =-x -x =-f (x ) 所以f (x ) 为奇函数
(2)函数的定义域为{x |x >1或x ≤-1},定义域关于原点不对称,所以f (x ) 为非奇非偶函数
(3)函数的定义域为{-2,2},f (-x ) =0=f (x ) =-f (x ) , 所以函数f (x ) 既是奇函数又是
偶函数
例题4. 函数f (x ) 是R 上的偶函数,且在[0, +∞) 上单调递增,则下列各式成立的是( B )
A .f (-2) >f (0) >f (1) B.f (-2) >f (-1) >f (0) C. f (1) >f (0) >f (-2) D.f (1) >f (-2) >f (0) 例题5. 函数y =f (x ) 是奇函数,图象上有一点为(a , f (a )) ,则图象必过点( C )
A . (a , f (-a )) B. (-a , f (a )) C. (-a , -f (a )) D. (a ,
1
) f (a )
例题6. 设f (x ) 是(-∞, +∞) 上的奇函数,f (x +2) =-f (x ) ,当0≤x ≤1时,f (x ) =x ,则f (47. 5) 等于 ( B )
(A )0.5 (B )-0. 5 (C )1.5 (D )-1. 5 例题7. 定义在(-1, 1) 上的奇函数f (x ) =
x +m
,则常数m =__0__ ,n =__0___ .
x 2+nx +1
第四课时:指数函数、对数函数、幂函数 一、指数函数 1. 分数指数幂:
由整数幂规律推导:观察以下式子,并总结出规律:a >0
==a 2=a ;
4
8=a ;
10
==a =a 3=a ;
==a 5=a .
10
12
(1)
利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
(x >0, m , n ∈N *, 且n>1)
方根的结果和分数指数幂是相通的. 综上我们得到正数的正分数指数幂的意义: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a =对任意的有理数r,s, 均有下面的运算性质: ①a ∙a =a (a >0, r , s ∈Q )
r s rs
②(a ) =a (a >0, r , s ∈Q )
r r r
③(a ∙b ) =a b (a >0, b >0, r ∈Q )
0的n 次实数方根等于0
在化简a n 时,不仅要注意n 是奇数还是偶数,还要注意a 的正负;
n 12
例题1. 已知n ∈N +则[1-(-1) ](n -1) =(n^2-1)/4 (n为奇数) ; 0 (n 为偶数) .
8
n m
a >0, m , n ∈N *, n >1)
r s r +s
例题2. 化简:
-
12
(1)(π+π) -4 (2)5-26
解:(1)π-
1
π
(240
例题3:. a -2+(a -4) 有意义,则a 的取值范围是( B )
A .a ≥2 B .2≤a 4 C .a ≠2 D .a ≠4
2. 无理数指数幂:
结论:一般地,无理数指数幂a (a >0, α是无理数)是一个确定的实数 有理数指数幂的运算同样适用于无理数指数幂 例题α
解:a^(7/8)
3. 指数函数:
x
y =a (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义定义:一般地,函数
域为R .
1 指数函数的定义是一个形式定义; 注意:○
2 注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、和零。 ○例题1. 函数y =(
a
2
-3a +3) ⋅a 是指数函数,则有( C )
x
A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且a ≠1
性质:图像:
在同一坐标系中画出下列函数的图象:
(1)y =()
13
x
(2)y =()
x
12
x
(3)y =2 (4)y =3 (5)y =5
x x
由指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质:
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f (x ) =a (a >0且a ≠1) 值域是[f (a ), f (b )]或[f (b ), f (a )]; (2)若x ≠0,则f (x ) ≠1;f (x ) 取遍所有正数当且仅当x ∈R ; (3)对于指数函数f (x ) =a (a >0且a ≠1) ,总有f (1) =a ; (4)当a >1时,若x 1
例题1. 下列关系式中正确的是( )
x x
A.(
1) 2
23
<
2
-1.. 5
<(
1) 21) 2
13
B.(
1) 2
13
<(
1) 2
23
<
2
-1.. 5
C.
2
-1.. 5
<(
1) 2
2313
<(
D.
2
-1.. 5
<(
1) 2
2
13
<(
1) 2
23
例题2.下列函数中值域是(0,+∞)的函数是( )
A.y =
2
1x
B.y =
2
x
-1 C.y =
x
+1 D.y =(
1) 2
2-x
例题3.函数y =
a
x
在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a等于( )
A.0.5 B.2 C.4 D.0.25
例题4. 函数f (x ) =
的定义域是
例题5.已知f(x)=
2
x
,则f[f(-1)]= .
2
2x
例题6.设0
-3x +2
>a
2x 2+2x -3
。
例题7. 设y 1=40. 9, y 2=80. 44, y 3=() -1. 5,则( D )
12
A .y 3>y 1>y 2
(1)1. 7
2. 5
3
B .y 2>y 1>y 3 C .y 1>y 2>y 3 D .y 1>y 3>y 2
-0. 1
例题8. 比较下列各题中两个值的大小。
与1. 7; (2) 0. 8
与0. 8
-0. 2
; (3) 1. 7
0. 3
与0. 9
3. 1
. (找中间值1)
< < >
二、对数函数
定义:一般地,如果 a (a >0, a ≠1)的b 次幂等于N, 就是 a b =N ,那么数 b叫做 以a 为底 N的对数,记作 log a N =b ,a 叫做对数的底数,N
注意:
⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵log a 1=0,log a a =1
∵对任意 a >0且a ≠1, 都有 a =1 ∴log a 1=0 同样易知: log a a =1 ⑶对数恒等式
log N b
如果把 a =N 中的 b写成 log a N , 则有 a a =N
⑷常用对数:我们通常将以10,N 的常用对数log 10N 简记作例如:log 105简记作lg5 ;log 103. 5简记作lg3.5. ⑸自然对数:N 的自然对数log e N 简记作例如:log e 3简记作ln3 ;log e 10简记作ln10
(6)底数的取值范围(0, 1) (1, +∞) ;真数的取值范围(0, +∞
例题1. ⑴log 927,⑵log 481,⑶log (2+3)(2-)
,⑷log 35625
解析:将对数式写成指数式,再求解.
解:⑴设 x =log x
x
927 则 9=27, 3
2=33, ∴x =
32
x ⑵设 x =log 44
381则
3)
x
=81, 3=34, ∴x =16
⑶令 x =log -1
(2+3)(2-3)=log (2+3)(2+)
,
∴(2+3
)x
=(2+)
-1
, ∴x =-1
4⑷令 x =log 4x
3
x 5
4
625, ∴
5)=625, 5
=54, ∴x =3
例题2.对数式的值为 ( B )
(A ) 1(B )-1(C )(D )-
例题3. 若log -17[ log3( log 2x)] = 0,则x
2
为( D ).
(A).12 (B).
133
(C).
12
例题4. 计算
(1)3
(2+log 32)
=18 (2)52log 53=9
例题5. 已知a >0且a ≠1,log 2m +n
a 2=m ,log a 3=n ,求a = 12的值。
运算规律:
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。
如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a MN =log a M +log a N (2)log M
a
N
=log a M -log a N (3)log n a M =n log a M (n ∈R )
(D).
24
例题1. 用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:
2(1)logxy
y
a z
;
(2) log x a
z
解析:利用对数的性质化简. 解:(1)log xy
a
z
=log a (xy )-log a z =log a x+log a y-log a z
(2)log x 2y
a
z
=log a (x
2
y ) -log a z
= log 2
a x +log a
y -log a z
=2log 11
a x+
2log a y -3
log a z 例题2:(1)lg14-2lg
7lg 243lg 27+lg 8-3lg 3+lg7-lg18 (2)lg 9 (3)lg 1. 2(1)解法一:lg14-2lg
7
3
+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32
×2) =lg2+lg
解法二:
lg14-2lg
772
14⨯73+lg7-lg18=lg14-lg(3) +lg7-lg18 =lg
7=lg 1=0(3
) 2⨯18(2) lg 243lg 355lg 35lg 9=2
=2lg 3=2lg 3
113(3)
lg 27+lg 8-3lg lg(3) 2
+lg 23
=3lg(102
lg 1. 2=
)
3⨯22
lg
10
3
(lg3+2lg 2-1)
=lg 3+2lg 2-1=3
2
例题3. 已知x +y -4x -2y +5=0,求log x y 的值。
2
2
x
例题4. 若a 、b 是方程2lg 2x -lg x 4+1=0的两个实根,求lg(ab ) ⋅(log a b +log b a )的值。
12
性质:
指对数互化关系::
例题1:
log 67, log 76; ⑵log 3π, log 20. 8分析:由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对数值中间插入一个已解:⑴ log 67>log 66=1,log 76log 7⑵ log 3π>log 31=0,log 20. 8log 20. 8; 例题2:求下列函数的定义域、值域: ⑴y =
2
-x 2-1
-
12
⑵y =log 2(x +2x +5) 4
⑶y =log 1(-x +4x +5) ⑷y =
3
2
log a (-x 2-x ) (0
2-x
2
-1
-
1
≥0 即:-x 2-1≥-2⇒-1≤x ≤1 4
22
∵-1≤x ≤1 ∴-1≤-x ≤0 从而 -2≤-x -1≤-1
2211111
≤2-x -1≤ ∴0≤2-x -1-≤ ∴0≤y ≤ 42442
∴
∴定义域为[-1,1],值域为[0, 1
2
22
⑵∵x +2x +5=(x +1) +4≥4对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而log 2(x +2x +5) ≥log 24=2 即函数值域为[2, +∞2
⑶要使函数有意义,则须:
-x 2+4x +5>0⇒x 2-4x -5
2
由-1
∴ 0≤-x +4x +5≤92
从而 log 1(-x +4x +5) ≥log 19=-2 即:值域为y ≥-2
3
3
2
∴定义域为[-1,5],值域为[-2, +∞⎧-x 2-x >0
⑷要使函数有意义,则须:⎨2
⎩log a (-x -x ) ≥0
由①:-1
由②:∵0
2
2
当-1
112
∴0
∴log a (-x -x ) ≥log a
2
11
∴ y ≥log a
44
∴定义域为(-1,0),值域为[log 1a 4
+∞)
例题3:比较log 20.7与log 10.83
解:考查函数y=log2x
∵2>1,∴函数y=log 2x 在(0,+∞)上是增函数 又0.7<1,∴log 20.7<log 21=0 再考查函数y=log 1x
3
∵0<
1
3
<1 ∴函数y=log 1x 在(0,+∞)上是减函数 3
又1>0.8,∴log 10.8>log 11=0
3
3
∴log 20.7<0<log 10.8
3
∴log 20.7<log 13
例题4. 设P =log 13, Q =log 1
1
1, T =log 12 ( 2
353
A. Q
P