关于一元函数连续性的几个问题
第2l卷第6期2007年6月
成都大学学报(教育科学版)
JournalofChengduUniversity(EducationalSciencesEdition)
Vbl.2lNO.6
Jun.2007
关于一元函数连续性的几个问题
金友良
(丽水职业技术学院浙江丽水323000)
【摘要】阐述一元函数在某点连续的论证、函数的间断点、复合函数的连续性、初等函数的连续性及最值点问题,更加深刻地理解一元函数连续性这一重要概念。
【关键词】一元函数;连续性;问题【中图分类号】0171
【文献标识码】A
【文章编号】1008—9144(2007)06一(X)74—02
因为学生根据上面的定义而得到的。因此,给一元函数的间断点重新下一个定义:设fC戈)在XO的某个空心邻域
夕
一元函数的连续性是微积分的一个重要概念。在教学
和学习这一重要概念时,对以下几个问题常常认识不清,造成错误。
一、函数在某点的连续性证明问题,常常犯循环论证的错误
例1.证明Y=sinx在茗=0处连续。
错解:显然,Y=sinx在茹=0的某个邻域内有定义,
_/’
二
I:I、
内有定义,若戈。是以戈)的不
连续点,则称XO为函数“茗)的间断点。这样,区间(一3,一1)中的任意点都不满足此条件,不应为函数厂(茁)的间断
点。至于戈=一3、茹=一1和石=2也不是间断点。根据函数
’.‘limsinx=sinO=0(*),又Ao)=0’.-.1imsinx=以o),即Y=sinx在茹=0处连续。
分析:这个证法看似很有道理,好像充分利用了一元函数在某点连续的概念来证得结果。事实上,这个证法错在(*)式,把Y=sinx在茗:0处连续当已知条件来证明自己,犯了循环论证错误。而这种错误学生往往不容易检
查、发现,总以为很完整。
在区间上连续定义,函数“x)在(一∞,一3]U[一1,2]上
连续。
三、关于复合函数的连续性问题
教材中关于复合函数连续性的定理是:
设函数Y=以“)在Uo处连续,比=g(x)在XO处连续,且g(省。)=uo,则复合函数Y=九g(x)]在粕处连续,即lira氕g(x)]=Ⅱlirag(省)]。
r’10’一勺
正解:显然,Y=sinx在茹=0的某个邻域内有定义,
-.1im.sinx=lira.警.茹=l・0=o,又“o)=0'...1im.sinx枷删省棚
’
因此,很多教材在推导Y=log。x(口>O且口≠1)导数
=“O),即),=sinx在茗=0处连续。
二、关于函数的闻断点的定义问题
公式时出现如下错误:
很多教材都是这样定义的,称函数不连续点就是函数的间断点。对不连续点与间断点两个概念不加区别,等同两者概念。笔者认为,间断点一定是不连续点,但不连续点并不一定是间断点。
例2.考察函数.厂(z)的连续性:
厶2
△',k(菇+ax)一k石log,,(1+譬)
厶
2
△善
:{k(1+譬)主,
,/:魉筹:…lim--。-1。d枷砒△M^log。(1+譬)孟
戈
(1)
f1,
并s一3;
八省):{:+3—1乏茗≤2。
唆
:冀
画出图象可以看出:戈=3及戈=4是“髫)的不连续点
而不是间断点。同时还应注意:不应把区间(一3,一1)中的
={log。[投(1+譬)焘](2)
={l。舭
上面从(1)式到(2)式,是根据什么?虽然log。Ⅱ在(0,
+∞)上是连续的,但函数(1+堡)左在血:0处不连续,
因此不能直接用复合函数的连续性来求极限。
应如何求这类极限呢?现给出一定理:
点视为间断点。曾有许多学生误认为有无穷个间断点,这是【收稿日期]2007—02—17
・74・
【作者筒介】金友良(1舻)男,丽水职业技术学院,高级讲师。研究方向:数学教学。
万方数据
第6期
200r7年6月
金友良:关于一元函数连续性的几个问题
No.6Jun.200r7
定理:如果M=g(茹)当菇一粕时有极限m,且函数不能说函数在其定义域内是连续的。
以u)在u=m处连续,则复合函数Y=Ⅱg(并)]在粕处因此,我们在教学中必须注意初等函数的定义域中孤有极限且等于灭m)。即limfEg(髫)]=,(m)。
立点对其连续性的影响,应将上述结论改为:一切初等函’_.勺
证明:‘.‘limⅡ=limg(茗)=m即当并一X,0时,u=
数在其定义区间内是连续的。
r’勺r・勺
g(髫)一m’...1im九g(x)]=liraf(u)=以rrt)(因Y=例5.已知八茗)= ̄/石2(2x一3)3,求lir矾并)和
’’勺
…
.“M)在“=m处连续)。
邺茗)。
解:初等函数fC茁)的定义域E={xI戈=0或石≥利用此定理,回到对对数导数公式的推导上来:
由导数的定义推导得到下式,即
昔},虽以算)在茗=o处有定义,但x=o是一孤立点,即在她塞=一liml,log。(1+譬)壹,
其附近函数无定义,所以li啦“算)不存在。而点并=2在其
#叫,
由lira(1+譬)孟:e即厶一。时,u:(1+n..x)丕一
定义区间[号,+m)内,由新结论得:li・矾石)=f(2)=2。
五、关于闭区间上连续函数最值点的问题
e得删lim出ay=一lira!。1啦(1+iAx,m.L={l,im.109。I‘;
闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大值和最小
因log。u在1/,=e处连续,得limlog。u=log,e;
值。哪些点有可能是最值点呢?很多教材是这样指出的:
综合得,,=她塞=llog。e。
[口,b]上连续函数的最大(小)值仅可能在区间内极值点
和区间端点处取得。
四、关于初等函数的连续性问题
笔者认为这种说法是不正确的。事实上有些连续函某些教材中对初等函数的连续性是这样给出的:一切数,其最值也可以在非极值点和非端点处取得。
初等函数在其定义域内都是连续的。某些教师也是这样给1
f1一I石一2
l,—}董茁<3;
学生教授的。事实上,对任意初等函数来说,在其定义域中孤立点处是不连续的,因此在其定义域内并不连续。、例7・函数人x);{0,
3<戈<4;
L茹一4,4<髫<6.
例3.讨论初等函数Y=4-COSX+√一COSX在其定义域内的连续性。
在区间[÷。6]上是连续的,但是最小值是在区间[3,
解:函数Y=√e_..08X+ ̄/一COSX的定义域为E={髫l
4]上韵所有点处取得。而根据极值点的定义知[3,4]上的茹:/or+要,k∈Z},依据上述结论,函数在定义域内每一
点都不是极值点一。
上述错误说法产生的原因是忽视了一个事实:若是点都连续。而事实上,E是一孤立点集,函数Y在这些点的[口,b]上的连续函数在(口,b)内的一个最大(小)值点粕,空心邻域内都是没有定义,根据连续性定义自然它在这些则粕可能是极大(小)值点,从而粕是驻点或是函数不可点处无连续可言,故在E上是不连续的。
导点。‰还有可能不是极值点,这时存在一个小区间[C,d]例4.讨论初等函数“茗)= ̄/石2(茁一1)在其定义域
c(a,6),Xo∈[c,d]。函数在[c,d]上是一个常值,这个内的连续性。
值就是函数在[口,6】上的最大(小)值。显然(c,d)内的点解:函数火省)的定义域为E={xI髫=0或并≥1t,都是驻点,端点c和口可能是驻点,也可能是不可导的点。
依上述结论,文戈)在E上是连续的。而事实上,虽然函数在所以,严格地说,[a,b]上连续函数的最大(小)值仅
[1,+∞)上是连续的,但茹=0是孤立点,函数在点x=0可能在区间内的驻点、不可导的点,以及区间两端点处取的空心邻域内无定义,所以函数在茹=0处是不连续的,故
得。
Concerning
a
Few
ProblemofADollarFunctionContinuous
JINYou—hang
(LishuiVocanonaland
Technical
College,ZhejiangUshlli,323000)
Abstract:FAalx)mtedAdoⅡarfunctionisin
a
certain
andcontinuousargument,thefunctionintermptedsa
point,thecontinuous
ofthe
compoundfunction,thecontinuousoftheelementarygradefunctionandbeworthsomepmblemmost,deepergeographysolovesAdollarfunctioncontinuousthisimportantconcept.
Keywords:Adollarfunction;continuous;problem
・75
・
万
方数据
关于一元函数连续性的几个问题
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
金友良, JIN You-liang
丽水职业技术学院,浙江丽水,323000
成都大学学报(教育科学版)
JOURNAL OF CHENGDU UNIVERSITY(EDUCATIONAL SCIENCES EDITION)2007,21(6)1次
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引证文献(1条)
1. 曹媛 函数连续性的几个问题[期刊论文]-天津职业院校联合学报 2010(2)
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