2016年初中数学能力达标练习07
2016年初中数学能力达标练习(七)
(满分:100分;考试时间:120分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分) 1.-3的倒数是 A .-
11
B . C .3 D .-3
33
2. 新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港,西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口,横贯亚欧两大洲中部地带,总长约为10900公里,10900用科学记数法表示为
A .1. 09⨯10 B .1. 09⨯10 C .1. 09⨯10 D .0. 109⨯10
3. 一个不透明的盒子中装有3个红球,2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为 A.
2
3
4
5
1 6
B .
11 C . 32
3
6
D .
2
3
1 9
4. 下列计算错误的是 ..
A
.= B .x ⋅x =x C .-2+|-2|=0 D .(-3) -2=
2
5. 如图, 在△ABC 中, 分别以点A , B 为圆心, 大于AB 长为半径画弧, 两弧分别交于点D , E ,
2C 则直线DE 是
A. ∠A 的平分线 B. AC 边的中线 C. BC 边的高线 D.AB 边的垂直平分线
第5题
B
6. 小刚身高1. 7m ,测得他站立在阳光下的影子长为0. 85m ,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1. 1m ,那么小刚举起的手臂超出头顶 A .0. 5m
B .0. 55m
C .0. 6m
D .2. 2m
7. 如图,在正方体的平面展开图中A 、B 两点间的距离为6,折成正方体后A 、B 两点是正方体的顶点,则这两个顶点的距离是 A .32
B .
32
C .6 D . 3
2
'
C '
第7题
第8题
∠CAB =65,8. 如图,在∆ABC 中,在同一平面内,将∆ABC 绕点A 逆时针旋转到∆AB C
'
的位置,使得C C ∥AB ,则∠B AB 等于
'
' '
A .50 B .60 C .65 D .70
0000
9. 命题:“关于x 的一元二次方程x +bx +1=0,当b
CD 的长为
2
B .b =-2 C .b =-3 D .b =-4
C
10. 如图.⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于E 点,∠A =22.5︒,OC =4, A .4
二、填空题(每小题4分,共24分) 11
.计算:-4-9= .
12. 分解因式:m +6m +9=.
13.甲、乙、丙三人进行飞镖比赛,已知他们每人五次投得的成绩如图,那么三人中成绩最
稳定的是 .
2
B .8 C
. D
.B
E D
O
A
第10题
A D
C
第13题 第14题 第15题
14. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =4,将△ABC 沿CB 方向平移得到△DEF ,若平移 的距离为2,则四边形ABED 的面积等于 .
15. 如图,⊙O 的半径为1,圆心O 到直线AB 的距离为2,M 是直线AB 上的一个动点,MN 与⊙O 相切于N 点,则MN 的最小值是 . 16. 正比例函数y 1=k 1x 的图像与反比例函数y 2=
k 2
的图象相交于A 、B 两点,其中点 x
A (2,n) ,且n>0,当y 1>y 2时,x 的取值范围是
三、解答题(共46分)
a 2+4a 2-4
-4) ÷217. (本题10分)先化简,再求值:(,其中a =-1. a a +2a
18. (本题10分)如图,直线y =kx +b 经过A (-3,
20)、B (5,-4)两点,过点3
A 作AD ⊥x 轴于D 点,过点B 作BC ⊥y 轴于C 点,AB 与x 轴相交于E 点,判
断四边形BCDE 的形状,并加以证明.
19. (本题13分)已知二次函数y =x 2+bx +c (b ,c 为常数).
(1)当b =2,c =-3时,求二次函数的最小值;
(2)当c =5时,若在函数值y =1的情况下,只有一个自变量x 的值与其对应,求
此时二次函数的解析式;
(3)当c =b 时,若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下,与其对应的函数
值y 的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
2
20. (本题13分)如图,在∆ABC 中,∠ACB =90,点P 到∠ACB 两边的距离相等,且
PA =PB .
(1)先用尺规作出符合要求的点P (保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP
的形状,并说明理由;
(2)设PA =m ,PC =n ,试用m 、n 的代数式表示∆ABC 的周长和面积;
CD CD
(3)设CP 与AB 交于点D ,试探索当边AC 、BC 的长度变化时,的值是+
AC BC
否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.
C
(第 20 题图)
A B
C
A B
(备用图)
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.D 8.A 9.A 10. D 二、填空题(每小题4分,共24分)
11.1 12.乙 14. 8 15. (m +3) 2 13.三、解答题
16.-22
a 2+4a 2-4
-4) ÷217. 解:( a a +2a
a 2-4a +4a (a +2)
=┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ⋅
a (a +2)(a -2)
=a -2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
当a =-1时
原式=-3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
20⎧
-3k +b =⎪
18. 解:根据题意得:⎨3┄┄┄┄┄┄2分
⎪⎩5k +b =-4
4⎧k =-⎪⎪3
解得:⎨ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
8⎪b =⎪3⎩
直线AB 为:y =-
48
x + ┄┄┄┄┄┄┄┄5分 33
当y =0时,x =2 ∴E (2,0) ┄┄┄┄6分 ∵AD ⊥x 轴于D 点,BC ⊥y 轴于C 点,A (-3,
20
)、B (5,-4) 3
∴D (-3,0),C (0,-4)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 ∴DE =5,BC =5,CD =OC 2+OD 2=又∵DE ∥CB
∴四边形BCDE 是菱形┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
219. 解:(1)当b =2,c =-3时,二次函数为:y =x +2x -3┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
42+32=5 ┄┄┄┄┄┄┄┄9分
即y =(x +1) -4┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 所以,当x =-1时,二次函数的最小值为-4. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
2
(2) 当c =5时, 二次函数为:y =x +bx +5 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
2
由题意得:方程x +bx +5=1有两个相等的实数根 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
2
2
所以△=b -16=0 解得:b 1=4,b 2=-4┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 此时,二次函数的解析式为:y =x 2+4x +5或y =x 2-4x +5┄┄┄┄┄7分
(3)当c =b 时,二次函数的解析式为:y =x 2+bx +b 2, 图象的开口向上,对称轴为直线:x =-①若-
2
1b . 2
1
b 0,在b ≤x ≤b +3的情况下,y 随着x 的增大而增大 ┄8分 2
2
当x =b 时,y =b 2+b 2+b 2值最小,3b =21
解得:b 1=②若b ≤-
7,b 2=-(不合舍去)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄9分
1
b ≤b +3,即-2≤b ≤0 21121322
当x =-b 时,y =(-b ) +b ⋅(-b ) +b =b 的值最小┄┄┄┄┄┄┄10分
2224
32
b =21,解得:b 1=27(不合舍去),b 2=-27(不合舍去)┄┄┄┄11分 4
1
③若-b >b +3,即b
2
12分
当x =b +3时,y =(b +3) 2+b (b +3) +b 2=3b 2+9b +9的值最小
3b 2+9b +9=21,解得:b 1=1(不合舍去),b 2=-4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
综上所述:b =
7或b =-4
此时,二次函数为:y =x 2+x +7或y =x 2-4x +16 20.解:(1)依题意,点P 既在∠ACB 的平分线上, 又在线段AB 的垂直平分线上.
如图1,作∠ACB 的平分线CD ,
作线段AB 的垂直平分线MN ,CD 与MN 的
交点即为所求的P 点。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 △ABP 是等腰直角三角形.
理由:过点P 分别作PE ⊥AC 、PF ⊥CB ,垂足为E 、F 如图2. ∵PC 平分∠ACB ,PE ⊥AC 、PF ⊥CB ,垂足为E 、F ,∴PE =PF .
又∵ PA =PB ,∴ Rt ΔAPE ≌Rt ΔBPF . ┄┄┄┄┄┄┄┄4分 ∴ ∠APE =∠BPF .
∵∠PEC =90︒,∠PFC =90︒,∠ECF =90︒, ∴∠EPF =90︒, 从而∠APB =90︒.
又PA =PB ∴ △ABP 是等腰直角三角形. ┄┄┄┄┄┄┄┄5
(2)如图2,在Rt ΔPCE 中,∠PEC =90︒,
PA =PB ,PA =m . ∴AB =2m . 由Rt ΔAPE ≌Rt ΔBPF ,△PCE ≌△PCF , 可得AE =BF ,CE =CF .
∴CA +CB =CE +EA +CB =CE +CF =2CE .
在Rt ΔPCE 中,∠PEC =90︒,∠PCE =45︒,PC =n ,
∴CE =PE =
2
n . ∴CA +CB =2CE =2n . ┄┄┄┄6分 2
所以△ABC 的周长为:AB +BC +CA =
2m +2n . ┄┄┄┄7分
因为△ABC 的面积=△PAC 的面积+△PBC 的面积-△PAB 的面积
111112
=⋅AC ⋅PE +⋅BC ⋅PF -⋅PA ⋅PB =(AC +BC ) ⋅PE -PA
22222
=
121112n ⋅n -m 2=n 2-m 2(n >m )┄┄9分 22222
111
AC ⋅BC =(AC +BC ) 2-(AC 2+BC 2) =(n 2-m 2) . 242
(3)方法一:过点D 分别作DM ⊥AC 、DN ⊥BC ,垂足为M 、N 如图3.
或 S ∆ABC =
[]
∵ DM =DN =CD ⋅sin 45︒=
2
CD . ┄┄┄┄10分 2
D 图 3
B
由DN ∥AC 得 DN =DB ①┄┄┄┄┄┄┄┄11分
AC AB
由DM ∥BC 得
①+②,得
DM AD
② ┄┄┄┄┄┄12分=BC AB
DN DM DB +AD DN DM ,即 +=+=1.
AC BC AB AC BC
CD CD
∴ 2(CD +CD ) =1, 即 += ┄┄┄┄13分
AC BC 2AC BC
方法二:∵ DM =DN =CD ⋅sin 45︒=
2
CD . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 2
1
AC ⋅BC . 2
又 S ∆ABC =S ∆ACD +S ∆BCD ,S ∆ABC =
∴ S ∆ACD +S ∆BCD =
1112AC ⋅DM +BC ⋅DN =(AC +BC ) ⋅CD ┄┄11分 2222
∴
121
(AC +BC ) ⋅CD =AC ⋅BC . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 222
(AC +BC ) CD CD CD
=2,即 +=2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
AC ⋅BC AC BC
∴
方法三:过点D 作DN ⊥BC ,垂足为N 如图4.
在Rt ΔCDN 中,∠DCN =45︒,DN =CN =
2
CD ┄┄┄10分 2
由DN ∥AC 得DN =DB ①; CN =AD ②┄┄┄┄┄11分
AC AB BC AB ①+②,得
DN CN DB +AD DN CN
,即 +=+=1. ┄┄┄┄12分
AC BC AB AC BC
∴
CD CD CD CD (+) =1,即 +=2. ┄┄┄┄┄┄┄┄13分
AC BC 2AC BC
方法四:过点B 作BG ∥DC ,交射线AC 于点G 如图5.
∵ ∠G =∠ACD =∠BCD =∠CBG =45︒,
BG =BC =2CG . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
BG AG
∵BG ∥DC ,∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 =
CD AC
(AC +BC ) ⋅CD
∴ 2BC =AC +BC ,=2. ┄┄┄┄┄12分AC ⋅BC CD AC
CD CD 即 +=2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
AC BC
方法五:过点A 作CB 的平行线,交射线CD 于点K 如图6.
得CK =又
D 图 5
H
C
2AC ,DK =CK -CD =2AC -CD ┄┄10分
CD 2AC -CD CD DK
, 即 ┄┄┄┄┄┄12分 ==
BC AK BC AC CD CD CD CD
所以 ,=2-+=2 ┄┄┄┄┄┄┄┄13分 BC AC AC BC
方法六:分别过点A 、B 分别作CD 的平行线, 交射线BC 于点H ,交射线AC 于点G 如图7.
得AH =又
D 图 6
C
2AC ,BG =2BC ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
B
CD AD CD BD
, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分==
BG AB AH AB A CD CD ∴ +=1,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
AH BG CD CD CD CD 即+=1,+=2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
AC BC 2AC 2BC
D 图 7
K