稳定材料在应力_平面上屈服曲线的特性

第32卷第5期

1998年9月浙　　江　　大　　学　　学　　报(自然科学版) (Nat ural Science) №5V ol. 32Sep. 1998稳定材料在应力π平面上屈服曲线的特性

童小东　龚晓南

(浙江大学土木系, 杭州, 310002) 　　　　　姚恩瑜(浙江大学数学系, 杭州, 310027)

摘　　要

　　对稳定材料来说, 在应力π平面上, 双剪应力屈服准则[1]为所有屈服准则的外包络线, M ohr -Coulomb 屈服准则为所有屈服准则的内包络线(当材料的单向拉伸强度与单向压缩强度相等时, M oh r-Co ulo mb 屈服准则退化为广义T resca 屈服准则). 但关于此问题的严格数学证明却还是空白. 本文作者通过引入凸集概念, 对上述问题做出了数学上的严格证明.

关键词:稳定材料; π平面; 屈服曲线; 包络线; 凸集; 支撑超平面

中图法分类号:TH74

1　预备知识

　　1. 凸集的定义及其有关性质.

2. 设S 为一集合, 且S 的内部非空, 又S 包含在它的任一边界点的支撑超平面[2]所形成的一个半空间中, 则S 必为凸集. 此结论可以得到证明, 详细证明过程略.

3. Drucker 塑性公设. [4][2,3]

4. 屈服面在应力π平面上的投影(即屈服曲线) 必

经过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5和A 6六点(这六点的位置由简单

拉伸、压缩试验确定) , 且根据各向同性假设, 屈服曲线

分别关于o 1′轴、o 2′轴、o 3′轴对称[4], 如图1所示.

2　关于应力π平面屈服曲线内、外包络

　线的证明

　　下面证明应力π平面上屈服曲线的内包络线为

Mohr-Coulom b 屈服准则, 外包络线为双剪应力屈服准

则, 即证明应力π平面上的任何屈服曲线都必落在

Mohr-Coulom b 屈服准则与双剪应力屈服准则之间的阴图1　应力π平面上的屈服曲线⒇3:男, ,

　　　　　　　644浙　　江　　大　　学　　学　　报(自然科学版) 　　　　　　1998年影区域内, 如图2所示

.

图2　应力π平面上屈服曲线的内、外包络线

图3　闭合应力循环

0证明:1. 首先证明屈服面与其所包含的内部所构成的集合为凸集. ij , 它可位于屈服上述的这个集合显然是内部非空的. 设在t =t 0时, 原来的应力状态为e

面上, 也可在屈服面之内. 当t =t 1时, 应力点正好开始到达屈服面上, 此时应力为e i j . 此后即

p 为加载过程, 直到t =t 2(t 2>t 1). 在此期间应力增加到e i j +d e ij , 并产生塑性应变d X ij . 然后卸

0去附加应力, 在t =t 3时应力状态又恢复到e ij , 如图3所示. 在这样一个闭合的应力循环内, 应

p 力在弹性应变上所做的功为零, 而塑性应变只在t 1

Drucker 塑性公设, 在闭合的应力循环内, 外部作用所做的功为:

ij -e ij +W =(e 0i j p ij ≥0e ) d X 2d (1)

(2) 00　　如果e ij 位于屈服面上, e ij -e ij =0, 由式(1) 得p d e ij d X ij ≥0

式(2) 即为加载准则、卸载准则和中性变载准则的统一表达式.

00如果e i j 位于屈服面之内, e i j -e ij ≠0, 在式(1) 中略去高阶项, 得

0p (e i j -e ij ) d X i j ≥0

0　　可以看出, 当e ij 位于屈服面上时, 式(3) 显然也是(3) 成立的.

将应力空间e ij 与塑性应变空间X i j 的坐标重合, 用向

量OA 和OA 分别表示e ij 和e ij , 用向量AB 表示d X ij , 如

图4所示. 则式(3) 可表示为

A 0A AB ≥0

亦即

AB (OA 0-OA ) ≤0(5)

图4　Drucker 塑性公设的几何表示00p p (4) 　　由于A 0为屈服面与其所包含的内部所构成的集合中的任意一点, A 为屈服面上的任意一点, 于是式(5) 可

用支撑超平面的概念解释为:屈服面与其所包含的内部所构成的集合是这样的一个集合, 这个集合包含在它的任一边界点的支撑超平面所形成的一个半空间中. 而在前面的预备知识部分中我们已知, 满足这样条件的集合必为凸集.

由于应力π平面为一超平面, 故其亦为凸集. 根据

凸集的性质, 凸集的交集仍为凸集, 故屈服面与其所包

含的内部所构成的集合在应力π平面上的投影亦为凸集

(即应力π平面上的屈服曲线与其所包含的内部构成了

一个凸集).

2. 关于应力π平面上屈服曲线内、外包络线的证明

a . 内包络线的证明(Moh r-Coulom b 屈服曲线)

要证明M ohr-Co ulo mb 屈服曲线为所有屈服曲线

的内包络线, 即要证明过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5和A 6六点的

凸集中, 直线边界的凸集为所有凸集的子集, 如图5所

示.

采用反证. 设直线边界所围成的凸集为S 1, 其边界

为 S 1. 假设有一经过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5和A 6六点的凸

设A *位于A 1A 2线段上(在其他线段上情况类似) , 即有

A *=T A 1+(1-T ) A 2, T ∈(0, 1)

由于S 2为凸集, 且A 1∈S 2, A 2∈S 2. 根据凸集的定义, 必有

λA 1+(1-λ) A 2∈S 2, λ∈[0,1](7)

对比(6) 、(7) 两式可知必有A *∈S 2. 而这与前面的假设相矛盾, 故不可能有S 2 S 1, 即S 1为所有经过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5和A 6六点的凸集的子集, 也即证明了Mohr-Coulomb 屈服曲线为所有屈服曲线的内包络线.

b . 外包络线的证明(双剪应力屈服曲线)

由证明a 知Mo hr-Co ulo mb 屈服曲线为所有屈

服曲线的内包络线, 故在考虑外包络线时, 可不予考

虑直线形式的内包络线, 而只需考虑过A 1、A 2、A 3、

A 4、A 5和A 6六点的光滑的屈服曲线, 如图6所示.

在图6中建立xoy 坐标系, 则光滑的屈服曲线可

以用连续函数y =f (x ) 来表示. 分别过A 1点和A 4点

作屈服曲线的切线. 由于屈服曲线关于o 1′轴对称, 故

f (x ) 为偶函数, 即有

f (x ) =f (-x )

式(8) 两边对x 求导, 可得

f ′(x ) =-f ′(-x ) (9) 图6　双剪应力屈服曲线图5　M o hr-Co ulo mb 屈服曲线[2]集S 2, 其边界为 S 2, 且有S 2 S 1, 则必可在 S 1上找到一点A *∈ S 1而A * S 2. 不失一般性, (6) (8)

在A 1点和A 4点处, x =0, 式(9) 成为f ′(0) =-f ′(0) , 故有f ′(0) =0. 由导数的几何意义知, f ′(0) =0表明过A 1点、A 4点的屈服曲线的切线与x 轴平行, 即此两条切线与y 轴(o 1′轴) 垂直. 同样方法, 可以证明过A 2点、A 5点的屈服曲线的切线与o 3′轴垂直; 过A 3点、A 6点的屈服曲线的切线与o 2′轴垂直(见图6).

在二维平面内, 对于由屈服曲线与其所包围的内部所构成的凸集来说, 屈服曲线的切线即为此凸集的支撑超平面[2,3], 也就是说, 由屈服曲线与其所包围的内部所构成的凸集必为过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5和A 6六点的屈服曲线的切线所围成的凸集的子集. 简言之, 过此六点的屈服曲线的切线所形成的六边形(即双剪应力屈服曲线) 为所有屈服曲线的外包络线.

3　结　语

本文对应力π平面上屈服曲线的内、外包络线做出了数学上的严格证明. 另外, 本文作者将数学上的凸集与其相关概念引入到土塑性力学领域, 并证明了屈服面及其所包围的内部所构成的集合为凸集, 这为以后利用凸集的有关性质对屈服面进行进一步的深入研究开辟了途径.

参　考　文　献

1　俞茂宏等. 双剪应力强度理论研究. 西安:西安交通大学出版社, 1988

2　汪树玉等, 优化原理. 方法与工程应用, 杭州:浙江大学出版社, 1991

3　Bazar ra M S, Sh etty C M. N onlinear pr og ramming ——Theo ry and alg orithms. John Wiley &So ns, 19794　龚晓南, 土塑性力学. 杭州:浙江大学出版社, 1990

Th e property of the yield curv es of the

stable material on the stress πplane

To ng Xiaodong 　Gong Xiaonan

(Dept. o f Civ il Engineering , Zhe j iang U niv e rsity , Hang zhou, 310027)

Yao Eny u

(Dept. o f M athematics, Zhejia ng U niv ersity , Hang zho u, 310027)

Abstract

　Tw in shea r stress , yield criterion is the ex terior envelo pe a nd Mohr -Co ulo mb yield criteri-o n is the interior envelope of all the yield criteria of the stable material on the stress πpla ne (if the streng th of simple ex tension test equa ls tha t of simple com pression test, Moh r -Coulom b yield criterio n deg enerates into ex tensive Tresca criterio n ). But there is still a blank in the area of the strict ma thematical proo f of this problem. In this paper, the authors solve the problem by citing the mathem atical co ncept o f co nv ex set.

Key words :stable ma terial ; πpla ne ; yield curv e ; env elo pe ; co nv ex set ; supporting hyperplane