电磁场与电磁波答案
习题一
1.1.设:E=Eyy0=y010
相速vp = ?
解:1)矢量E在y0方向;2)波沿-x0方向传播;
3)波幅为 10-3,频率f =106Hz,相位常数k =2π×10−2,相速vp =ω/k=108m/s
1.2.写出以下时谐变量的复数表示(如果可能的话)
(a) V (t)=6sin(ωt+π/6) ⇒V=6e−jπ/3=3−j3
(b) I (t)= –10sinωt ⇒I=10ejπ/2−3cos2π×106t+2π×10−2x V/m ()问:矢量E在什么方向?波沿什么方向传播?波的幅度多大?频率f = ?相位常数k = ?=10j
j0 (c) A (t)=3cosωt–2sinωt ⇒A=3e
−2e−jπ/2=3+2j −jπ/2(d) C (t)=10cos(1000πt–π/2) ⇒C=10e=−10j
(e) D (t)=1–sin (ωt) 不存在
(f) U (t)=sin (ωt+π/6) cos (ωt+π/3) 不存在
1.3.由以下复数写出相应的时谐变量
a) C=3+4j=5ejatan(4/3)⇒C(t)=5cos(ωt+atan(4/3)) (b) C= 4exp (-j1.8)⇒ C(t)=4cos(ωt-1.2)
(c) C=3exp (jπ/2)+4exp(j0.8)⇒C(t)=3cos(ωt+π/2)+4cos(ωt+0.8)
1.4.写出以下时谐矢量的复矢量表示: ˆ0+4sin(ωt)yˆ0+cos(ωt+π/2)zˆ0 (a) =3cos(ωt)x
答:Vˆ=3x0ˆ0+jzˆ0 −4jy
ˆ0+8[cosωt-4sinωt]zˆ0 (b) =[3cosωt+4sin(ωt)]x
ˆ0+(8+8j)zˆ0 答:=(3-4j)x
ˆ0 (c) =0.5cos(kz-ωt)x
ˆ0 答:=0.5exp(−jkz)x
1.5.从下面复矢量写出相应的时谐矢量。
ˆ0−jyˆ0 (a)=xˆ0+sinωtyˆ0 答:=cosωtxˆ0−jyˆ0) (b)=j(xˆ0+cosωtyˆ0 答:=−sinωtx
ˆ0+jexp(jkz)yˆ0) (c)=exp(−jkz)xˆ0−sin(ωt+kz)yˆ0 答:=cos(kz−ωt)x
ˆ0+jyˆ0+(1+j2)zˆ0,=xˆ0−(2+2j)yˆ0−jzˆ0,求:⋅,×,1.6.假定=x
⋅*,Re(×*)。
答:⋅=1−j(2+2j)−j(1+j2)=5−3j
ˆ0ˆ0y⎡x×=⎢j⎢1
⎢⎣1−(2+2j)ˆ0⎤zˆˆˆ1+2j⎥⎥=(-1+6j)x0+(1+3j)y0−(2+3j)z0
−j⎥⎦
⋅*=1−j(2−2j)+j(1+2j)=−3−j
ˆ0ˆ0y⎡xRe(×*)=⎢j⎢1
⎢⎣1−(2−2j)ˆ0⎤zˆˆˆ1+2j⎥⎥=(5+2j)x0+(1+j)y0−(2−j)z0
j⎥⎦
1.7.计算下列标量场的梯度
22ˆ+2yx2z2yˆ+2zy2x2zˆ (1) u=x2y2z2 => ∇u=2xyzx
ˆ+2yyˆ−2zzˆ (2) u = 2x2+y2-z2 => ∇u=4xx
ˆ+(x+z)yˆ+(x+y)zˆ (3) u = xy+yz+xz => ∇u=(y+z)x
ˆ+2(x+y)yˆ (4)u = x2 +y2 +2xy => ∇u=2(x+y)x
ˆ+xzyˆ+yxzˆ (5) u = xyz => ∇u=yzx
1.8.求曲面z = x2 + y2 在点(1, 1, 2) 处的法线方向.
答:令f(x,y,z)=x+y−z,22∇f=2xx0+2yy0−z0,因为梯度的方向就是该点的发现方向,所以在点(1.1.2)处的法线方向为∇f(x=1,y=1,z=2)=2x0+2y0−z0
1.9.求下列矢量场的散度、旋度。
(2) A=(y+z)x0+(x+z)y0+(x+y)z0 ∇⋅A=0,∇×A=0 (1) A=xx0+yy0+zz0 ∇⋅A=2x+2y+2z,∇×A=0 222
(3) A=(x+y)x0+x2+y2y0 ∇⋅A=1+2y,∇×A=(2x−1)z0
(4) A=5x0+6yzy0+x2z0 ∇⋅A=6z,∇×A=−6yx0−2xy0
1.10.求∇⋅A和∇×A
(1) A(ρ,ϕ,z)=ρ0ρ2cosϕ+ϕ0ρsinϕ ()
∇⋅A=1∂(ρAρ)1∂Aϕ∂Az=(3ρ+1)cosϕ ++ρ∂ρρ∂ϕ∂z
1∂
ρ∂ρ
Aρρ0ρϕ0∂∂ϕρAϕ∇×A=z0∂=(2+ρ)sinϕz 0∂zAz
(2) A(r,θ,ϕ)=r0rsinθ+θ011sinθ+ϕ02cosθ rr
∇⋅A=∂(r2Ar)
r2∂r+1
rsinθ∂Aϕ⎤⎡∂2+sinAθ()θ⎢⎥=3sinθ+2cosθ/r ∂ϕ⎦⎣∂θ
r01∂∇×A=2rsinθ∂r
Arrθ0∂∂θrAθrsinθϕ0cos2θcosθ∂=3r0+30−cosθϕ0 rsinθr∂ϕrsinθAϕ
ˆ0Iδ(x)δ(y)激发的恒定磁场及其旋度∇×。 1.11.求z方向无限长线电流z
ˆ答:=φI
2πρˆ0Iδ(x)δ(y) ; ∇×==z
ˆ,φˆ的旋度. ˆ0,θ1.12.求球坐标中单位矢量r00
ˆ=ˆ0=0;∇×θ答:∇×r0ˆ011ˆ1ˆˆ=ˆsinθ)=rˆ(coscotrrrθ−θθ−θ0 φ0;∇×φ0002rrrrsinθ
ˆ,求⋅d的值,其中S是由x+y=r,z=0,z=h组成1.13.若矢量场=xx
S222
的闭合曲面。
答:作出图形后,可以知道,闭合曲面S上下底面法向与A的点积为0 ⋅d=∫∫S02πh0ˆ=∫dzdφρ⋅ρ2π0∫h0dzdφr2cos2φ=πhr2
ˆ+Ayyˆ+Azzˆ+Byyˆ+Bzzˆ,=Bxxˆ,证明(1.5.49)是正确的。 1.14.假定=Axx
答:左右分别代入,左边=右边,即可证明。
1.15.证明(1.5.50)、(1.5.51)成立。
答:可参照1.14题
1.16.证明(1.5.47)、(1.5.48)成立。
答:同上。
ˆ+yyˆ+zzˆ变换到cyl和sph。 1.17.将rec=xx
ˆ+zzˆ+(−xsinφ+ycosφ)φˆ 答: cyl=(xcosφ+ysinφ)ρ
其中 φ=arctan(y/x)
ˆsph=(xsinθcosφ+ysinθcosφ+zcosθ)r
ˆ +(xcosθcosφ+ycosθsinφ−zsinθ)θ
ˆ+(−xsinφ+ycosφ)φ
x2+y2
和φ=arctan(y/x) 其中θ=arctan(z
1.18.将柱坐标矢量cyl=ˆ变换到直角坐标、球坐标中,。 ˆ+cosφφρ2ρsphrec
2ˆ ˆ+(ρsinφ+sinφcosφ)y答:rec=(ρ2cosφ−sinφcosφ)x
ˆρ2cosθ+φˆcosφ ˆρ2sinθ+θsph=r
1.19.导出在直角坐标系与圆柱坐标系有如下关系: ∂∂cosφ∂∂∂sinφ∂=sinφ+和=cosφ−, ∂y∂ρρ∂φ∂x∂ρρ∂φ并以f(ρ,φ)=ρ2+tanφ或者f(x,y)=x2+y2+
∂∂∂ρ∂∂φ=+ ∂y∂ρ∂y∂φ∂yy为例,进行验证。 x答:由全微分:
而∂ρy∂φx1==sinφ,=2=cosφ, ∂yρ∂yρρ
∂∂cosφ∂=sinφ+ ∂y∂ρρ∂φ
∂∂sinφ∂=cosφ− ρ∂φ∂x∂ρ代入就可以得到:同理,可以得到:
验证略。