曲面与空间曲线的方程
1、 一动点移动时，与A (4, 0, 0) 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点M (x , y , z ) ，所求的轨迹为C ，
则M (x , y , z ) ∈C
2
2
⇔
2
=z
=z
亦即(x -4) +y +z
∴(x -4) 2+y 2=0
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x -4) 2+y 2=0
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为2a ，则二定点的坐标为(a , 0, 0), (-a , 0, 0) ，设动点M (x , y , z ) ，所求的轨迹为C ，则
M (x , y , z ) ∈C
2
⇔
2
2
(x -a ) 2+y 2+z 2=m (x +a ) 2+y 2+z 2
2
2
2
2
亦即(x -a ) +y +z =m [(x +a ) +y +z ]
经同解变形得：(1-m )(x +y +z ) -2a (1+m ) x +(1-m ) a =0 上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c ，距离之和常数为2a 。设动点M (x , y , z ) ，要求的轨迹为C ， 则M (x , y , z ) ∈C
2
2
2
2
2
2
2
⇔
(x -c ) 2+y 2+z 2+(x +c ) 2+y 2+z 2=2a
222222亦即(x -c ) +y +z =2a -(x +c ) +y +z
两边平方且整理后，得：(a -c ) x +a y +a z =a (a -c ) （1）
2222222222
a >c ∴令b 2=a 2-c 2
从而（1）为b x +a y +a z =a b 即：b x +a y +a z =a b
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（3）建立如（2）的坐标系，设动点M (x , y , z ) ，所求的轨迹为C ， 则M (x , y , z ) ∈C
⇔
(x -c ) 2+y 2+z 2+(x +c ) 2+y 2+z 2=±2a
x 2y 2z 2
类似于（2），上式经同解变形为：2-2-2=1
a b c
其中 b 2=c 2-a 2
(c >a ) （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为(0, 0, c ) ，再令距离之比为
m 。
设动点M (x , y , z ) ，所求的轨迹为C ，则
M (x , y , z ) ∈C ⇔
x 2+y 2+z 2=m z
将上述方程经同解化简为：x 2+y 2+(1-m 2) z 2-2cz +c 2=0 （*） （*）即为所要求的轨迹方程。
2、 求下列各球面的方程：
（1）中心(2, -1, 3) ，半径为；R =6 （2）中心在原点，且经过点(6, -2, 3) ； （3）一条直径的两端点是(2-3, 5) 与(4, 1, -3) （4）通过原点与(4, 0, 0), (1, 3, 0), (0, 0, -4) 解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：
(x -2) 2+(y +1) 2+(z -3) 2=36
（2）由已知，球面半径R =
62+(-2) 2+32=7
所以类似上题，得球面方程为
x 2+y 2+z 2=49
（3）由已知，球面的球心坐标a =
2+4-3+15-3
=3, b ==-1, c ==1，球的半径222
R =
1
(4-2) 2+(1+3) 2+(5+3) 2=21，所以球面方程为： 2
(x -3) 2+(y +1) 2+(z -1) 2=21
（4）设所求的球面方程为：x +y +z +2gx +2hy +2kz +l =0
2
2
2
因该球面经过点(0, 0, 0), (4, 0, 0), (1, 3, 0), (0, 0, -4) ，所以
⎧l =0
⎪16+8g =0⎪
（1） ⎨
⎪10+2g +6h =0⎪⎩16-8k =0
解（1）有
⎧l =0
⎪h =-1⎪
⎨g =-2⎪⎪⎩k =2
∴所求的球面方程为x 2+y 2+z 2-4x -2y +4z =0
§2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程
1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1）4x 2+9y 2=36 解：各题的图形如下： （1）4x 2+9y 2=36
§2.3空间曲线的方程
1、平面x =c 与x +y -2x =0的公共点组成怎样的轨迹。 解：上述二图形的公共点的坐标满足
2
2
⎧x 2+y 2-2x =0⎧y 2=c (2-c )
⇒⎨⎨
⎩x =c ⎩x =c
从而：（Ⅰ）当0
⎧⎧⎪y =c (2-c ) ⎪y =-c (2-c )
及 ⎨⎨
⎪⎪⎩x =c ⎩x =c
即为两条平行轴的直线；
（Ⅱ）当c =0时，公共点的轨迹为：
⎧y =0
即为z 轴； ⎨x =0⎩
（Ⅲ）当c =2时，公共点的轨迹为：
⎧y =0
即过(2, 0, 0) 且平行于z 轴的直线； ⎨
⎩x =2
（Ⅳ）当c >2或c
2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？
（1）x 2+y 2+16z 2=64； （2）x 2+4y 2-16z 2=64； （3）x 2-4y 2-16z 2=64； （4）x 2+9y 2=16z 解：（1）曲面与xoy 面的交线为：
⎧x 2+y 2+16z 2=64⎧x 2+y 2=64
⇒⎨⎨
z =0z =0⎩⎩
此曲线是圆心在原点，半径R =8且处在xoy 面上的圆。
222
同理可求出曲面x +y +16z =64与yoz 面(x =0) 及zox 面(y =0) 的交线分别为：
⎧y 2+16z 2=64⎨
⎩x =0⎧x 2+16z 2=64
， ⎨
⎩y =0
它们分别是中心在原点，长轴在y 轴上，且处在yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在
x 轴上，且处在zox 面上的椭圆；
222
（2）由面x +4y -16z =64与xoy 面(z =0) ，yoz 面(x =0) ，zox 面(y =0) 的交线
分别为：
⎧x 2+4y 2-16z 2=64⎧x 2+4y 2-16z 2=64⎧x 2+4y 2-16z 2=64
, ⎨, ⎨ ⎨
⎩z =0⎩x =0⎩y =0
⎧x 2+4y 2=64⎧y 2-4z 2=16⎧x 2-16z 2=64
亦即：⎨, ⎨, ⎨
z =0x =0y =0⎩⎩⎩
即为中心在原点，长轴在x 轴上，且处在xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在y 轴，且处
在yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x 轴，且处在zox 面上的双曲线。
222
（3）曲面x -4y -16z =64与xoy 面(z =0) ，yoz 面(x =0) ，zox 面(y =0) 的交线
分别为：
⎧x 2-4y 2-16z 2=64⎧x 2-4y 2-16z 2=64⎧x 2-4y 2-16z 2=64
, ⎨, ⎨ ⎨
⎩z =0⎩x =0⎩y =0
⎧x 2-4y 2=64⎧-4y 2-16z 2=64⎧x 2-16z 2=64
亦即⎨, ⎨, ⎨
z =0x =0y =0⎩⎩⎩
即为中心在原点，实轴在x 轴，且处在xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在
x 轴上，且处在zox 面上的双曲线。
（4）曲面x 2+9y 2=16z 与xoy 面(z =0) ，yoz 面(x =0) ，zox 面(y =0) 的交线分别为：
⎧x 2+9y 2=16z ⎧x 2+9y 2=16z ⎧x 2+9y 2=16z
, ⎨, ⎨ ⎨
z =0x =0y =0⎩⎩⎩
⎧x 2+9y 2=0⎧9y 2=16z ⎧x 2=16z
亦即⎨, ⎨, ⎨
⎩z =0⎩y =0⎩x =0
即为坐标原点，顶点在原点以z 轴为对称轴，且处在yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点，以z 轴为对称轴，且处在zox 面上的抛物线。
3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。
⎧x 2+y 2-z =0⎧x 2+z 2-3yz -2x +3z -3=0=0（1）⎨; （2）⎨
⎩z =x +1⎩y -z +1=0
222
⎧⎧x +2y +6z =5⎪x +y +z =1
（3）⎨（4）⎨2 22
3x -2y -10z =7⎪⎩⎩x +(y -1) +(z -1) =1
⎧x 2+y 2-z =0解：（1）从方程组⎨
⎩z =x +1
分别消去变量x , y , z ，得：(z -1) +y -z =0
亦即： z +y -3z +1=0 （Ⅰ）
2
2
2
2
z -x -1=0 （Ⅱ）
x 2+y 2-x -1=0 （Ⅲ）
（Ⅰ）是原曲线对yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线
（Ⅰ）对yoz 平面的射影柱面方程；y -z +1=0；
（Ⅱ）对zox 平面的射影柱面方程；x -2z -2x +6z -3=0；
2
2
（Ⅲ）对xoy 平面的射影柱面方程。x 2-2y 2-2x +2y +1=0。 （3） 原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：2y +7z -2=0
原曲线对zox 平面的射影柱面方程：x -z -3=0 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：7x +2y -23=0 （4） 原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：y +z -1=0
原曲线对zox 平面的射影柱面方程：x +2z -2z =0 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：x 2+2y 2-2y =0 1．球面
例1 求球心在点M 0(x 0, y 0, z 0) ，半径为R 的球面方程． 解 设M (x , y , z ) 为球面上任意一点，则 M 0M =R
即
=R
也就是 (x -x 0) +(y -y 0) +(z -z 0) =R （1）
特别地，球心在原点的球面方程为 x +y +z =
R 说明 球面方程的特点： （1）x , y , z 项系数相同； （2）没有xy , yz , xz 项．
例2 方程x +y +z -2x +4y -4=0表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可改写成 (x -1) +(y +2) +z =9 它表示球心在点(1,-2,0) ，半径为3的球面． 2．柱面
直线L 平行于定直线并沿定曲线C 移动所形成 的曲面叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线， 动直线L 叫做柱面的母线．
例3 求准线为xoy 面上的圆x +y =R ，母线平行于
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2222
z 轴的圆柱面方程．
L
解 设M (x , y , z ) 为这圆柱面上任意一点，
过点M (x , y , z ) 的母线与xoy 面的交点M 1(x , y ,0) 一定在 准线上，所以不论点M (x , y , z ) 的竖坐标z 取何值，它的 横坐标x 和纵坐标y 都满足方程x 2+y 2=R 2，所以所求 的圆柱面方程为x +y =R ．
2
2
2
x
说明 ○1注意比较同一方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中对应图形的不同 如（1）x =2在数轴上表示一个点，在平面直角坐标系中表示一条直线，而在空间直角坐标系中表示一个平面；
（2）在平面直角坐标系中，而在空间直角坐标系中，x 2+y 2=R 2表示圆，x 2+y 2=R 2
⎧x 2+y 2=R 2
表示圆柱面，可以用⎨表示xoy 面上的圆．
z =0⎩
x 2y 2x 2y 22
2方程2+2=1, 2-2=1, x =2py 分别表示以xoy 面上的二次曲线为准线，母○
a b a b
线平行于z 轴的椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，它们的特点是方程中不含z （如图）．
z
3 柱面方程的特点：方程中只含有两个变量，且在方程中缺哪个变量，该柱面的母线○
就平行于其对应的坐标轴．
3．旋转曲面
一条平面曲线C 绕同一平面上的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面，平面曲线C 和定直线L 依次叫做旋转曲面的母线和轴．
我们只讨论母线在坐标面上，绕某坐标轴旋转所得的旋转曲面．
例如，求由yOz 平面上的曲线C ：f (y , z ) =0绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程． 设M (x , y , z ) 为这旋转曲面上任意一点，它总可以 看成由已知曲线上的某点M 1(0,y 1, z 1) 绕z 轴旋转而得
y 1, z 1)
到的，因此有z =z 1且M , M 1两点到z 轴的距离相等， 即
=y 1
也就是
y 1=z 1=z
而点M 1在已知曲线上，因此f (y 1, z 1) =0，于是有
f (z ) =0
类似地，曲线C 绕y 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
f (y , =0．
说明 （1）求旋转曲面方程的方法：
对于坐标面上的曲线， 绕哪个坐标轴旋转，曲线方程中对应的变量不变，另一个变量用其余两个变量的平方和开方的正负来代替即可． 例如，yOz 平面上的直线z =ky (k >0) 绕z 轴旋转
所得的圆锥面方程为
z
=±z =k (x +y ) ．（如图）
（2）旋转曲面方程的特点：
方程中含有两个变量的平方和．
例如方程z =2-x -y 可看成由xOz 平面上的
2
2
2222
抛物线z =2-x 绕z 三、空间曲线及其方程 1．空间曲线C 的一般方程⎨
2
y
⎧F (x , y , z ) =0
（1）
⎩G (x , y , z ) =0
其中F (x , y , z ) =0, G (x , y , z ) =0是两个曲面的方程，C 为两个曲面的交线．
例如⎨
⎧2x +3z =6
表示平面与圆柱面的交线，为一椭圆． 22
⎩x +y =1
⎧x =x (t ) ⎪
2．空间曲线的参数方程⎨y =y (t ) （2）
⎪z =z (t ) ⎩
例4设点M 在圆柱面x +y =a 上以角速度ω绕z 轴匀速旋转，同时又以线速度ν沿平行于z 轴的正方向匀速上升，点M 的运动轨迹叫做螺旋线. 在
2
2
2
M 0(a ,0,0) 处，求螺旋线的方程．
解 取时间t 为参数，设在时刻t 动点由M 0运动到M (x , y , z ) ， 点M 在xoy 面上的投影为M ' (x , y ,0) ，于是有
⎧x =a cos ωt ⎪
⎨y =a sin ωt ． ⎪z =νt ⎩
1．下面有四个方程，四个图形，四个曲面的名称，请指出它们的对应关系．
x 2y 2z 2
++=1 方程：（1）z =x ； （2）z =x +y ； （3）y +z =4； （4）
9164
2
2222
图形：(a ),(b ),(c ),(d ) 曲面名称：椭球面；圆柱面；旋转抛物面；抛物柱面．
y
(c )
(d )
(b )
2． 指出下列方程组所表示的曲线：
⎧x 2+y 2+z 2=25⎧x =0（1）⎨ （2）⎨
z =4y =0⎩⎩
22
⎧z =6-x -y ⎧x +y =0⎪
（3）⎨ （4
）⎨
⎩x -y =0⎪⎩z =五、小结
1．比较平面和曲面方程、直线和曲线方程 平面和曲面都可以用一个三元方程来表示；而直线和曲线都需用两个或两个以上的方程构成的方程组来表示．
2．根据方程特征，识别曲面的类型；
3．熟悉以下几种常见的曲面的方程与图形：
（1）球面 x +y +z =R 或(x -a ) +(y -b ) +(z -c ) =R （2）圆锥面
z =
2
2
2
2
2
2
2
2
或z 2=k 2(x 2+y 2)
2
2
（3）旋转抛物面 如z =x +y （4）圆柱面 如x +y =R 等．
2
2
2