高三上学期文科数学单元测试(2)

2010届高考导航系列试题

高三上学期文科数学单元测试（2）

[新课标人教版] 命题范围 函数（必修1第二三章）

注意事项：

1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

x

1．（09广东）若函数y =f (x ) 是函数y =a （的反函数，且f (2)=1， a >0，且a ≠1）

则f (x ) = A ．log

2

（ ）

B ．

12

x

x C ．log

12

x

D ．2x -2

⎧f (x +1), x

2, x ≥4⎩

C ．19

B ．偶函数

D ．24

（ ）

A ．-23

B ．11 是

3

．函数y =

x +4+x -3

（ ）

A ．奇函数 C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

C ．(2,3) D ．(3,4)

1

1

x

4．方程3x +x=3的解所在的区间为

A ．(0,1) B ．(1,2)

（ ） （ ）

5．下列四个函数中，在区间（-1，0）上为减函数的是

A ．y =log

x

2

B ．y=cosx C ．y =-()

2

D ．y =x 3

6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，

那么函数解析式为y =2x +1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有

A ．10个

B ．9个

C ．8个

D ．7个

2

（ ）

7．f(x)，g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)g(x)，则“f(x)，g(x)均为奇函数”是“h(x)为

偶函数”的

A ．充要条件

C ．必要而不充分的条件

（ ）

B ．充分而不必要的条件 D ．既不充分也不必要的条件

8．已知函数f (x ) =ax 2-x -c ，且f (x ) >0的解集为（-2，1）则函数y=f(-x) （ ）

9．设函数f(x)=ax+bx+c(a≠0) ，对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t)成立，则函

数值f(-1),f(1),f(2),f(5)中，最小的一个不可能是

A ．f (-1)

B ．f (1)

12

2

（ ）

C ．f (2) D ．f (5)

（ ）

10．设函数f(x)(x∈R) f (1) =

A ．0

B ．1

, f (x +2) =f (x ) +f (2), 则f (5) =

C ．

2

52

D ．5

（ ）

11．（09安徽）设a

x ≤0⎧log 2(4-x ),

12．（09山东） 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)= ⎨，则f （3）

f (x -1) -f (x -2), x >0⎩

的值为 A ．－1

B ．－2

C ．1

D ．2

（ ）

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．用二分法求方程x 3－2x －5=0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x 0=2．5,

那么下一

个有解区间为

14．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该

水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是_______________． 15．定义在R 上的函数f(x)满足：f (x +2)=

1-f 1+f

(x )

，当x ∈（0，4）时，f(x)=x2-1，则(x )

f(2010)＝__________。

16．对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x ∈[a,b]，均有|f(x)-g(x)|

≤1，则称f(x)与g(x)在区间[a，b]上是接近的，若函数y =x 2-3x +4与函数y =2x -3在区间[a ，b ]上是接近的，则该区间可以是 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分) 。 17．（12分）设a ＞0，f （x ）＝ （1）求a 的值；

（2）证明f （x ）在（0，＋∞）上是增函数

18．（12分）已知函数f(x)=log4(4x +1)+kx(k∈R ) 是偶函数．

(1)求k 的值;

(2)若方程f(x)-m=0有解, 求m 的取值范围．

e

x

a

+

a e

x

是R 上的偶函数．

19．（12分）某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投

资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A ，B 两种产品的

利润表示为投资的函数，

并写出它们的函数关系式。

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配

这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。

2

20．（12分）（1）已知函数f(x)=x+lnx-ax在（0，1）上是增函数, 求a 的取值范围; （2）在（1）的结论下, 设g(x)=e2x -ae x -1,x ∈[0, ln 3], 求g(x)的最小值．

21．（12分）已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R, 且x ≠0}．对定义域内的任意x 1、x 2，都有

f(x1·x 2)=f(x1)+f(x2), 且当x>1时，f(x)>0,f(2)=1． （1）求证：f(x)是偶函数；

（2）求证：f(x)在(0,+∞) 上是增函数； （3）解不等式f(2x2-1)

22．（14分）已知函数y=g(x)与f(x)=loga

(x-1)

(a>1)的图象关于原点对称．

（1）写出y=g(x)的解析式；

（2）若函数F(x)=f(x)+g(x)+m为奇函数，试确定实数m 的值；

（3）当x ∈[0，1）时，总有f(x)+g(x)≥n 成立，求实数n 的取值范围．

参考答案

一、选择题

x

1．A; 解析:函数y =a （的反函数是f (x ) =log a x , 又f (2)=1, 即log a 2=1, a >0，且a ≠1）

所以, a =2, 故f (x ) =log 2x , 选A ． 2．D ；解析：f (log

2

3) =f (3+log

2

3) =

2

3+log

2

3

=24

3．B ；解析：先求定义域，再化简解析式即可；

4．A ；解析：数形结合；求函数零点的范围（二分法）；

5．A ；解析：分别考察了对数、余弦、指数、幂函数的变化趋势； 6．B ；解析：新定义题型，先理解题意，后转化成数学问题处理；

7．B ；解析：f (x ) ，g (x ) 是定义在R 上的函数，若“f (x ) ，g (x ) 均为奇函数”，则“h (x ) 为偶函数”，而反之若“h (x ) 为偶函数”，则“f (x ) ，g (x ) 不一定均为奇函数”，所以“f (x ) ，g (x ) 均为奇函数”，是“h (x ) 为偶函数”是充分而不必要的条件，选B ； 8．D ；解析：结合了三个二次的关系，和函数的图像变换准则处理，f(x)与f(－x) 的图像关

于y 轴对称；

9．B ；解析：f (2+t ) =f (2-t ) 说明函数的对称轴为x=2； 10．C; ∵f(1)=f(-1)+f(2) ∴f(2)=2(1)=1 ,f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)=

2

52

, 故选C ．

11．C; 解析:可得x =a , x =b 为y =(x -a ) (x -b ) =0的两个零解．

当x b 时, 则f (x ) >0. 选

C 。

12．B ．解析:由已知得f (-1) =log 25, f (0)=log 24=2, f (1)=f (0)-f (-1) =2-log 25,

f (2)=f (1)-f (0)=-log 25, f (3)=f (2)-f (1)=-log 25-(2-log 25) =-2, 故选

B ． 二、

13．[2，2．5] 解析：令f(x)=x-2x-5,f(2)= -1

3

458

>0,f(3)=16>0,因此零点位置在

[2，2．5]内

14．1；解析：注意“至少打开一个水口”，不可以都不开；

15．3；解析：通过转化因式可以得到f (x +4) =f (x ) ，函数的周期性为4；

16．[2，3]；解析：新定义题目，“接近”这一新概念要正确的用不等式表示即可，可以得

到结果； 三、17．解：（1）∵f （x ）=

e

x

a

+

a e

1a

x

是R 上的偶函数，∴f （x ）－f （－x ）=0．„„2分

∴

e

x

a

1a

+

a e

x

-

e

-x

a

x

-

a e

-x

=0⇒(-a ) e +(a -

x

1a

e

-x

＝0

„„„„4分

⇒(-a )(e -e

-x

) =0

e －e 不可能恒为“0”，∴当

x -x

1a

－a ＝0时等式恒成立，∴a ＝1．„„„„6分

（2）在（0，＋∞）上任取x 1＜x 2， f （x 1）－f （x 2）＝

=(e

x 1

e

x 1

a

x

+

1e

x 1

-e

x 2

-

1e

x 1

x 2

=(e

x

x 1

-e 2) +(

1e 1e

x

x 2

x

1e

x 1

-e

x 2

-e 2) +(e

x

x 2

-e 1)

x 2

1e 1e

x

x 2

=(e -e 2)(1-

＝

(e

x 1

-e

x 2

)(e e

x 1

x 2

x 1

-1)

e e

„„„„10分

∵e ＞1，0

x 1

x x

x 2

＞1，

(e

x 1

-e

x 2

)(e e

x 1

x 2

x 1x 2

-1)

e e

＜0，

∴f （x ）是在［0，＋∞］上的增函数． „„„„12分

x -x

18．解:由函数f(x)是偶函数, 可知f(x)=f(-x),∴log 4(4+1)+kx=log4(4+1)-kx„„„„2分

即log 4

4+14

-x x

+1

=-2kx,log44=-2kx, ∴x=-2kx对一切恒成立．∴k=-

x

12

„„„„6分

x

(2)由m=f(x)=log4(4+1)- ∵2x +

12

x

x

12

x, ∴m=log4

4+12

x

=log4(2+

12

x

12

x

) ．„„„„8分

≥2, ∴m ≥

12

„„„„10分

故要使方程f(x)-m=0有解,m 的取值范围为m ≥„„„„12分

19．（1）投资为x 万元，A 产品的利润为f (x ) 万元，B 产品的利润为g (x ) 万元，

由题设f (x ) =k 1⋅x ，g (x ) =k 2⋅由图知f (1) =从而f (x ) =

1414

x ，．

„„„„2分

∴k 1=

14

，又g (4) =

54

52

∴k 2=

54

„„„„4分

x , (x ≥0) ，g (x ) =x ，(x ≥0) „„„„6分

（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业的利润为y 万元 Y=f (x ) +g (10-x ) =

x 4+54

2

-x ，（0≤x ≤10）， „„„„8分

令-x =t , 则y =

52

10-t 4

+

54

t =-

254

14

(t -

52

+

2

2516

, (0≤t ≤), „„„„10分

当t =

，y max ≈4，此时x =10-

=3．75

∴当A 产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润约为4万

元。

1x

-a , ∵f(x) 在（0，1）上是增函数, ∴2x+

1x

1x

„„„„12分 -a ≥0在(0,1)上恒成立,

20．解:(1)f '(x ) =2x +

即a ≤2x+

1x

x

1x

恒成立, ∴只需a ≤(2x+

22

) min 即可．„„„„4分

∴2x+≥22 (当且仅当x=时取等号) , ∴a ≤22 „„„„6分

(2) 设e =t , x ∈[0, ln 3], ∴t ∈[1, 3].

a 2

a

2

设h (t ) =t -at -1=(t -

a 2

32

2

) -(1+

2

4

，其对称轴为 t=

a 2

，由（1）得a ≤22，

∴t=≤2＜

a 2

„„„„8分

a 2

则当1≤≤2, 即2≤a ≤22时,h(t)的最小值为h()=-1-

a

2

4

,

当

a 2

＜1, 即a ＜2时，h(t)的最小值为h(1)=a „„„„10分

a

2

当2≤a ≤22时g(x) 的最小值为-1-分

4

, 当a ＜2时g(x) 的最小值为a ．„„„„12

21．解析:(1)因对定义域内的任意x 1﹑x 2都有

f(x1x 2)=f(x1)+f(x2), 令x 1=x,x2=-1，则有f(-x)=f(x)+f(-1)．

又令x 1=x2=-1,得2f(-1)=f(1)．再令x 1=x2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0, 于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数． „„„„4分 (2)设0

x 2x 1

)=f（x 1）-[f(x1)+f(

x 2x 1

)]=-f(

x 2x 1

) ．

由于0

x 2x 1

>1,从而f(

x 2x 1

)>0,故f(x1)-f(x2)

所以f(x)在(0,+∞) 上是增函数． „„„„8分 (3)由于f(2)=1，所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),

2

于是待解不等式可化为f(2x-1)

结合（1）（2）已证的结论，可得上式等价于 |2x2-1|

2

, 且x ≠0}． „„„„12分

22．解：（1）设M （x ，y ）是函数y =g (x ) 图象上任意一点，

则M （x ，y ）关于原点的对称点为N （－x ，－y ）

N 在函数f (x ) =log a (x +1) 的图象上，∴-y =log a (-x +1)

∴y =-log a (1-x )

(x +1) a

-log

(1-x ) a

„„„„4分

（2） F (x ) =log

∴F (-x ) =-F (x ) ∴log

(1-x ) a

+m 为奇函数．

-log

1+x 1-x

(1+x ) a

+m =-log

1-x 1+x

(1+x ) a

+log

(1-x ) a

-m

∴2m =log

a

+log

a

=log

1a 1+x

=0≥n

∴m =0 „„„8分

（3）由f (x ) +g (x ) ≥n 得, log

1+x

a

1-x

设Q (x ) =log

F (x ) =log

a

1-x

, x ∈[0, 1)

，, 由题意知, 只要Q(x)

min

≥n 即可 „„„„11分

(-1+a

21-x

)

在[0，1) 上是增函数

„„„„14分

∴Q (x ) min =Q (0) =0. 即n ≤0即为所求．